广东省广雅中学2024-2025学年高一上学期10月教学检测数学试题-A4

这是一份广东省广雅中学2024-2025学年高一上学期10月教学检测数学试题-A4，共11页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上、用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．随x值变化而变化
2．已知，，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于
A．7B．5C．4D．3
4．函数在上单调递减，则t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．设且，函数，若，则下列判断正确的是（ ）
A．的最大值为-aB．的最小值为-a
C．D．
6．当函数，取得最小值时，（ ）
A．B．
C．D．
7．已知定义在R上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．在R上可导的函数的图象如图示，为函数的导数，则关于的不等式的解集为
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如果函数在区间上是减函数，则实数的值可以是（ ）
A．1B．2C．D．
10．已知等比数列的公比为，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．下列命题正确的是（ ）
A．“，”的否定是“，”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“且”是“”的必要不充分条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．如果幂函数的图象不过原点，则m的值是 .
13．设集合，，，则集合的子集个数为 .
14．设数列满足，若，则的前99项和为 .
四、解答题：本题共5小题、共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在正项等比数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，证明是等差数列，并求的前项和．
16．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方
程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，
并求出此定值．
17．1.已知，.
(1)若时，求.
(2)时，求a的取值范围.
18．设二次函数的图像过点和，且对于任意实数，不等式恒成立．
（1）求的表达式；
（2）设，若在上是增函数，求实数的取值范围．
19．已知抛物线的焦点为，为轴上的点．
(1)过点作直线与相切，求切线的方程；
(2)如果存在过点的直线与抛物线交于两点，且直线与的倾斜角互补，求实数的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】作差后配方可得．
【详解】由题意，
所以．
2．B
【分析】使用基本不等式求解即可
【详解】∵，，，
∴由基本不等式有： ，
当且仅当，即，时，等号成立.
∴当且仅当，时，的最大值为.
3．B
【详解】试题分析：画出 满足的可行域如下图：
可得直线与直线的交点使目标函数取得最小值，故，解得 ，代入 得，故选B．
4．A
【分析】根据复合函数的单调性可得的单调性，从而可求得t的取值范围.
【详解】因为函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得.
5．D
【分析】根据给定条件，用a表示b，c，再结合二次函数的性质求解作答.
【详解】依题意，，
因，则是奇函数，于是得，即，
因此，，而，当时，的最小值为-a，当时，的最大值为-a，A，B都不正确；
，，，
即，，因此，C不正确，D正确.
6．A
【解析】当时，；当时，利用基本不等式求得最小值，可得的取值.
【详解】当时，；当x=0时，最小.
当时，，
当且仅当，即时等号成立.
因为.
所以当时，函数取得最小值为，
故选：A.
7．D
【分析】先计算出，结合关于中心对称，得到在R上单调递增，分与两种情况，求出不等式的解集.
【详解】当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
故在上单调递增，
因为，所以关于中心对称，
所以在R上单调递增，
当时，，故只需，解得，
与取交集，结果为，
当时，，故只需，解得，
与取交集，结果为，
故不等式的解集为.
8．A
【分析】根据函数的图象，由函数的单调性得到导数的正负求解.
【详解】解：由图象可知的解为和，
函数在上递增，在上递减，在上递增，
所以当或时，，在时，，
当时，解得；当时，解得，
综上：，
9．CD
【分析】根据二次函数的性质即可求解.
【详解】为开口向上的二次函数，对称轴为，
所以，即，
10．AC
【分析】由等比数列的通项公式可得，，，，再代入四个选项，结合基本不等式和一元二次不等式的性质得到答案.
【详解】因为等比数列的公比为，且
所以，，，，
因为，故A正确；
因为，当时式子为负数，故B错误；
因为，故C正确；
因为，存在使得，故D错误.
11．BC
【分析】根据含量词的否定判断A；由等价于或判断B；由能推出，而当时也有判断C；由不等式的性质判断D．
【详解】A．根据命题的否定可知：“，”的否定是“，”，本选项不符合题意；
B．等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，本选项符合题意；
C．由能推出，而当时也有，所以“”是“”的充分不必要条件，本选项符合题意；
D．根据不等式的性质可知：由且能推出，所以“且”是“”的充分条件，本选项不符合题意．
12．1
【分析】幂函数的图象不过原点，可得幂指数小于0，系数为1，进而即可得解．
【详解】解：幂函数的图象不过原点，所以
解得m＝1，符合题意．
故答案为1
13．
【分析】解不等式可求得集合，由交集和补集定义可求得，结合元素个数可得结果.
【详解】，，
，则的子集个数为个.
14．/
【分析】先根据前项和与通项的关系得，然后求得，再根据裂项相消求和法求解即可得答案.
【详解】因为①，
所以当时，②，
将①与②式相减得：，即，
当时，也适用，
所以，，
所以，
故答案为：.
15．(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）设的公比为（），然后根据题意列方程可求出，从而可求出；
（2）由（1）可得，从而可证得是以2为首项，1为公差的等差数列，进而可求出.
【详解】（1）设的公比为（），由，得，
解得或（舍去），
因为，所以．
（2）由（1）可知，，则．
因为，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
故．
16．(1) f(x)＝x＋；(2)证明见解析
【详解】(1)解 f′(x)＝a－，
解得或
因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.
(2)在曲线上任取一点，由f′(x0)＝1－知，过此点的切线
方程为y－＝[1－] (x－x0)．
令x＝1，得y＝， 切线与直线x＝1的交点为 (1,)；
令y＝x，得y＝2x0－1，切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)；
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为
|2x0－1－1|＝2.
所以，所围三角形的面积为定值2.
17．(1)
(2)
【分析】（1）先求出，画出数轴，即可求解；（2）利用端点值的大小比较，确定a的取值范围.
【详解】（1）时，，此时
（2），需要满足：
，解得：
所以a的取值范围为
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：(1)恒成立得 ；(2)化简 ．
在区间 上为增函数且恒为正实数 ，
试题解析：
(1)f(0)＝c＝1，f(1)＝a＋b＋c＝4，
∴f(x)＝ax2＋(3－a)x＋1.
f(x)≥4x即ax2－(a＋1)x＋1≥0恒成立得
解得a＝1.
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)F(x)＝lg2[g(x)－f(x)]＝lg2[－x2＋(k－2)x]．
由F(x)在区间[1,2]上是增函数，
得h(x)＝－x2＋(k－2)x在区间[1,2]上为增函数且恒为正实数，
∴解得k≥6.
19．(1)当时，切线的方程为；当时，切线的方程为或；
(2).
【分析】（1）设切点为，利用导数求出切线斜率，由点斜式求得切线方程，将代入切线方程，即得；
（2）设直线的方程为，代入得，根据斜率公式及韦达定理得，利用判别式即得.
【详解】（1）设切点为，则，
∴点处的切线方程为，
∵过点，
∴，
解得或，
当时，切线的方程为，
当时，切线的方程为或；
（2）设直线的方程为，
代入，得，，
设，，则，，
由已知得，
即，
∴，
∴，
即，
当时，显然成立，
当时，则，
解得，且；
综上，.