2025年新高考数学一轮复习第8章重难点突破09一类与斜率和、差、商、积问题的探究(四大题型)练习(学生版+教师版)

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\l "_Tc176599536" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176599536 \h 3
\l "_Tc176599537" 题型一：斜率和问题 PAGEREF _Tc176599537 \h 3
\l "_Tc176599538" 题型二：斜率差问题 PAGEREF _Tc176599538 \h 12
\l "_Tc176599539" 题型三：斜率积问题 PAGEREF _Tc176599539 \h 22
\l "_Tc176599540" 题型四：斜率商问题 PAGEREF _Tc176599540 \h 29
\l "_Tc176599541" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176599541 \h 40
1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．
2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．
3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．
4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．
题型一：斜率和问题
【典例1-1】（2024·山东淄博·二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．
【解析】（1）由题意，2ab=4，
又，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）如图所示
①设直线AB的方程为，设
联立，得
(*)
=
，，
整理得，
所以直线和直线的斜率之和为定值0．
②由①，不妨取，则
设原点到直线AB的距离为d，则
又，所以
当且仅当时取等号．
．
即四边形ABCD的面积的最大值为4．
【典例1-2】如图，已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与轴交于点，过点的直线与交于两点，点为直线上任意一点，设直线与直线交于点，记的斜率分别为，求证：．
【解析】（1）由条件可得，解得，
故椭圆的方程为；
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，，若直线与轴不重合时，
设直线的方程为，点，
代入椭圆方程整理得，显然，
则，
，
若直线与轴重合时，则，
此时，而，故．
综上所述，．
【变式1-1】（2024·四川·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与的交点为.
(1)若，求抛物线的方程及焦点的坐标；
(2)若点为轴正半轴上的任意一点，过点作直线交抛物线于两点，点关于原点的对称点，连接交抛物线于点，求证：.
【解析】（1）设直线方程为：，
由抛物线的性质可知：.
联立消得：，
，
，解得，
抛物线的方程：，焦点.
（2）设，则，直线的方程为，
联立消得：，，
，
而，
又知，
所以.
【变式1-2】如图所示，已知分别过椭圆的左、右焦点的动直线，相交于点P，且，与椭圆E分别交于点A，B和点C，D，直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为，，，，满足，请问是否存在定点M，N，使得为定值？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】设点，，，．
设点，，将点代入得．
从而直线的方程为，则①．
椭圆方程为，即．
整理得．
上式两边同除以得．
由韦达定理得．
同理可设，将点和代入得，则②．
同理可得．
由得，整理得．
因为，所以，即．
所以点Px,y在椭圆上，所以存在点M，N使得为定值，点M，N的坐标分别为，．
【变式1-3】（2024·江西鹰潭·二模）设椭圆E：经过点，且离心率，直线垂直x轴交x轴于T，过T的直线l1交椭圆E于Ax1,y1，Bx2,y2两点，连接，，．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线PA，PB的斜率分别为，．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求的值．
【解析】（1）由题意知
解得，
所以椭圆E的方程为；
（2）（ⅰ）易知，，，，
设直线的方程为，由直线过知，
联立方程
得，
变形得：，
即；
（ⅱ）设直线的倾斜角分别为,
则，，，,，，
在中，，
在中，，
所以
由知，，即，
故.
【变式1-4】（2024·重庆渝中·模拟预测）已知椭圆的离心率为，点在上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为.证明：
（i）为定值；
（ii）直线过线段的中点.
【解析】（1）由题可知：，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）①当直线的斜率为0时，则不妨设，，
所以为定值.
②当直线的斜率不为0时，设直线，Px1,y1，Qx2,y2，
联立直线与椭圆的方程，消去整理得，
则，，，所以，
所以
.
综上，为定值.
（ii）设线段的中点为，易得，
可得直线的方程为，则，
直线的方程为，则，
所以，
由（i）知，，所以，
又直线的方程为，所以点在直线上，
即直线过线段的中点.
【变式1-5】（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条倾斜角互补的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，求的值；
(3)设，求的值.
【解析】（1）设切点，
因为，所以，，
以点为切点的切线的斜率为，
以点为切点的切线的方程为，
∵切线过点，所以，
∴，同理， ，
所以为方程的两根，
∴，，
，
∴，，∵
∴ ，∴抛物线方程为.
（2）设方程为，联立和抛物线方程，得
∴， ，
解得：，
设，，，
∴，同理，.
∴.
∴.
（3），
∴，
由（2）可得，，
同理，
∴，∴点共圆，
，
题型二：斜率差问题
【典例2-1】已知椭圆的离心率为，A，B，C分别为椭圆的左顶点，上顶点和右顶点，为左焦点，且的面积为．若P是椭圆M上不与顶点重合的动点，直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线QN和直线QC的斜率）．
【解析】（1）由题意得，又，
解得，
∴椭圆M的标准方程为．
（2）方法一：
直线，
依题意可设直线（且），（注：P不为椭圆顶点），
由，则，
所以，
由，
，所以，
由B，P，N三点共线得，即，
得，
所以，
所以为定值．
方法二：
设直线QC的斜率为k，则直线QC的方程为：，
又，，直线AB的方程为，
由，解得，所以，
由，得，
由，
则，所以，
则，∴，
依题意B、P不重合，所以，即，
所以，
∴直线BP的方程为，
令，即，解得，
∴，
∴，
∴为定值．
方法三：
设点，则，，，
由B，P，N三点共线得，
即，
，，
联立，得，
所以
，
所以
.
方法四：
设点Px0,y0，则（且）,
由B，P，N三点共线得，即，
直线，，
联立，得，，
所以，
.
【典例2-2】椭圆C：的离心率，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．
【解析】（1）由椭圆的离心率，则，
又，
解得：，，
则椭圆的标准方程为：；
（2）证明：因为，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为
联立整理得．
则，故，则．
所以
又直线AD的方程为．
联立，解得
由三点，共线，
得，所以．
的斜率为．
则．
为定值．
【变式2-1】在平面直角坐标系中，已知定点A(1，0)，点M在轴上运动，点N在轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)点Q为圆上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记分别为切线QS，QT的斜率，当Q运动时，求的取值范围.
【解析】(1) 设N(0，b)M(a，0)，P(x，y).
因为
所以，即
因为
所以
所以x＝-a，y＝2b，
所以y2＝4x
(2)设Q(x，y)，x∈[-3，-1]
由题意知:切线斜率存在，设为k
切线方程为:y-y0＝k(x-x0)，
联立，化简得:ky2-4y+4y0-4kx0=0
△＝16-16k(y-kx0)=0
∴将代入得
，
∴.
∴的取值范围是
【变式2-2】设、为抛物线上的两点，与的中点的纵坐标为4，直线的斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，、为抛物线（除原点外）上的不同两点，直线、的斜率分别为，，且满足，记抛物线在、处的切线交于点，线段的中点为，若，求的值.
【解析】（1）设，.
又、都在抛物线上，
即所以，.
由两式相减得，
直线的斜率为，.
两边同除以，且由已知得，
所以，即.
所以抛物线的方程为.
（2）设，，.
因为
所以，所以，
设直线的斜率为，则直线，
由消得.
由，得，即.
所以直线，
同理得直线.
联立以上两个方程解得
又，
所以，
所以.
【变式2-3】如图,已知点是抛物线：的焦点,点在抛物线上,且.
（1）若直线与抛物线交于两点,求的值;
（2）若点在抛物线上,且抛物线在点处的切线交于点,记直线的斜率分别为,且满足,求证：的面积为定值.
【解析】（Ⅰ）设,由题意,得,
故,即
代入中,得,所以,
所以抛物线方程为,
联立方程,得
消去,得,
,记,
根据根与系数的关系,得,
故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,抛物线方程为,,
设,,,
因为直线MP,MQ的斜率分别为,
则,
又因为,所以,
直线,直线,
易得
因为直线,
如图,过S作y轴平行线交PQ于点E,
将的值代入直线PQ的方程,可得,
所以.
所以的面积为定值32.
【变式2-4】如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记，的面积分别为，，若，求的值；
(3)设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．
【解析】（1）设椭圆的焦距为．
依题意可得，，
解得，．
故．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设点，，，．
若，则，即有，①
设直线的方程为，与椭圆方程，
可得，
则，，②
将①代入②可得，解得，
则；
（3）由（2）得
，，
所以直线的方程为，
令，得，即．
所以．
所以，
，
，
.
题型三：斜率积问题
【典例3-1】（2024·河北保定·三模）设椭圆C：的左、右顶点和椭圆的左、右焦点均为E，F.P是C上的一个动点（异于E，F），已知直线EP交直线于点A，直线FP交直线于点B.直线AB与椭圆交于点M，N，O为坐标原点.
(1)若b为定值，证明：为定值；
(2)若直线OM，ON的斜率之积恒为，求b.
【解析】（1）证明：易知，，设P（m，n），则，即，
直线PE：，联立，则，
所以，
直线PF：，，则，
所以，
所以；
（2）设直线AB：，则，，
则，即，
令直线AB与椭圆联立，消去y，整理得，
需满足，设，，则，，
因为，，
所以，
所以，所以，
整理得，所以，
所以，解得.
【典例3-2】已知椭圆左右焦点分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于两点，交椭圆于点，且与的周长之差为.
(1)求椭圆与椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由椭圆的定义可知的周长为的周长为，
又与的周长之差为，
所以，
又因椭圆左右焦点分别为椭圆的左右顶点.
，
联立解得，从而有，
所以，解得，
所以所求椭圆的方程为，椭圆的方程为.
（2）由（1）可知椭圆的方程为，
设，则有，
于是.
【变式3-1】（2024·高三·浙江·开学考试）如图，已知抛物线的焦点为，过点作一条不经过的直线，若直线与抛物线交于异于原点的两 点，点在轴下方，且在线段上．
(1)试判断：直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
(2)过点作的垂线交直线于点，若的面积为4，求点的坐标，
【解析】（1）若的斜率不存在，则点不存在或与原点重合；
若的斜率不存在，则点A与原点重合，因此，直线与的斜率均存在，
设直线，
代入抛物线方程得：，
设则，，
，
所以直线的斜率之积为定值1.
（2）由题意可知，的斜率为，方程为，
设点，所以直线，
解方程组，得，
因此直线与的交点坐标为，
因为，由（1）得，
所以直线，解方程组，
得，得，
所以为的中点，从而，
，
所以因为，解得或，
因此，所求的点的坐标为与．
【变式3-2】（2024·广东·一模）设两点的坐标分别为. 直线相交于点，且它们的斜率之积是. 设点的轨迹方程为.
(1)求;
(2)不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点.
【解析】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是，
所以直线 的斜率，
同理，直线 的斜率，
由已知，有，
化简，得点的轨迹方程为，
即点的轨迹是除去 两点的椭圆.
（2）证明：设
①当直线斜率不存在时，可知 ，
且有，
解得，此时直线为 0，
②当直线斜率存在时，设直线 ，则此时有：
联立直线方程与椭圆方程 ，
消去 可得： ，
根据韦达定理可得： ，，
所以，
所以，
所以
所以，则或，
当时，则直线 恒过点与题意不符，舍去，
故，直线恒过原点，
结合①，②可知，直线恒过原点 ，原命题得证.
【变式3-3】（2024·广西柳州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，的面积为，点为椭圆的下顶点，.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)椭圆上有两点，（异于椭圆顶点且与轴不垂直），当的面积最大时，证明：直线与的斜率之积为定值.
【解析】（1）由题意可得：在中，，即，所以，
椭圆：中，令可得，
所以，可得，所以，
所以，因为，，
则，
可得，所以，，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）设直线的方程为：，，，
由可得：，
，即，
，，
所以
，

点到直线的距离，
所以的面积为

，当且仅当即时等号成立，
，
所以当的面积最大时，直线与的斜率之积是.
【变式3-4】（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点．
【解析】（1）由已知得，，所以，
又点在上，故，
解得，，
所以双曲线的方程为：．
（2）当斜率不存在时，显然不满足条件．
当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得，
由已知得，且，
设，，则，，
直线，的斜率分别为，，
由已知，故，
即，
所以，
化简得，又已知不过点，故，
所以，即，
故直线的方程为，所以直线过定点．
题型四：斜率商问题
【典例4-1】（2024·湖北荆州·三模）已知，圆心是原点，点，以线段为直径的圆内切于，动点的轨迹记为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若直线，点，直线过点与曲线交于两点，与直线交于点.
①若，求直线的斜率；
②若记直线的斜率分别为问是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由.
【解析】（1）设的中点为，切点为，连接，，取关于轴的对称点，
连接，则，
故，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
其中，，则，则曲线C的方程为；
（2）设
依题意，直线的斜率必定存在，设，
，可得，恒成立，
则有，，
①若，则有，
解得，故其斜率为；
②易得，， ，同理可得，
则，而，
由，，则，则，
故，即定值为.
【典例4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，过点且斜率不为的直线与曲线交于，两点.
(1)求曲线的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)已知点，设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得为定值？若存在，求出值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设点，，则，由，
即，
因此，而，即，
所以曲线的方程为．
（2）设直线为，，，
由，消去整理得，
由，则，
所以，，
所以
，
令，，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为.
（3）存在，，使得为定值.
依题意，，且，，
则，
所以，
，
要使为定值，则，解得或（舍去），
所以存在，使得为定值.
【变式4-1】在平面直角坐标系中，抛物线：．，为上两点，且，分别在第一、四象限．

(1)直线与正半轴交于，与负半轴交于，若，求横坐标的取值范围；
(2)直线与正半轴交于，与负半轴交于，记的重心为，直线，的斜率分别为，，且．
若，证明：为定值．
(3)若过，作抛物线的切线，，交点在直线上，求面积的最小值.
【解析】（1）设，，由题意知，设直线：，
又直线与正半轴交于，与负半轴交于，
则，，
联立，整理得，
所以，，
则，
，
若，则，
解得，，
又，则横坐标的取值范围为；
（2）因为为重心，所以，
由（1）可得
设，，
又直线与正半轴交于，与负半轴交于，
则，，
由直线：，则，，，
所以，
由，则，即，
又，
，
因此时，为定值．
（3）设过点的切线方程为，
则联立方程，化简可得，
因为直线与抛物线相切，则，得，
而为抛物线上一点，则，
代入可得，得，
，则，即，
即过点的切线方程为．
因此过的切线：,
过的切线： ,
又切线与切线的交点在直线上，可设，
，，
即，的坐标都满足方程，
所以，直线方程为，
故直线过定点，因此,
由联立可得，,
可得，，
则，
当且仅当时取等号.
所以面积的最小值为.
【变式4-2】如图，已知椭圆C：与顶点，经过点且斜率存在的直线l交椭圆于Q，N两点，点B与点Q关于坐标原点对称，连接AB，AN．求证：存在实数λ，使得恒成立．
【解析】设，由，可得．
设，则
,
∴．
又N，E，Q三点共线，则，即，∴．
∵，则，
∴存在实数，使得恒成立．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点是椭圆的右焦点，抛物线与椭圆在第一象限的公共点的横坐标为．
(1)求抛物线与椭圆的标准方程；
(2)若分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的两点，直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
【解析】（1）由抛物线的定义知，，
抛物线的标准方程为，
．
设椭圆的左焦点为，则F1-1,0，
连接，由椭圆的定义知，
解得，
又F1,0，则，
，
椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知，
若直线的斜率为0，由椭圆的对称性知直线的斜率与直线的斜率互为相反数，不满足题意，故直线的斜率不能为0，
设，直线的方程为，
代入并整理，得，
①
．
由题知，
，
，解得．
将代入①得，
直线的方程为，则直线过定点．
【变式4-4】（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C：的焦距为，离心率，过点作两条直线，，直线交椭圆于A，B两点，直线交椭圆于M，N两点，A，B，M，N四点均不在坐标轴上，且A，O，M三点共线．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)记直线AM与BN的斜率分别为，且，判断是否存在非零常数，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得，，
所以，，
则，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）如图所示：
由题意可知A，M是椭圆C上不在坐标轴上的两点，且A，M关于坐标原点O对称，
设Ax0,y0，则，，，且，．
设直线：，，
联立方程可得，消去y，得，
则，所以．
因为，，
所以，
所以，
所以．
同理，设直线：，Nx2,y2，
因为，，
所以，
所以，
所以．
因为直线AM与BN的斜率分别为，，所以，
，所以，
所以存在非零常数，使得，且．
1．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知点，点在以为直径的圆上运动，轴，垂足为，点满足，点的轨迹为.
(1)求的方程：
(2)过点的直线交于点，设直线的斜率分别为､，证明为定值，并求出该定值.
【解析】（1）依题意，点在圆上运动，设，
由，得，
则，又，即，
所以的方程为.
（2）依题意，直线斜率存在，设直线的方程为，
由，得，则，
又，
则
，
所以为定值.
2．已知椭圆的长轴长与短轴长的差为2，且离心率为为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为.
①证明：直线与的斜率之积为定值；
②当的面积最大时，求直线的方程.
【解析】（1）设的半焦距为，
由已知，得解得
故的方程为.
（2）
①由题可设.
将，消去，得.
当，即时，有.
所以，即，
可得，所以，即直线与的斜率之积为定值.
②由（1）可知
又点到直线的距离，
所以的面积.
设，则，
当且仅当，即时等号成立，且满足.
所以当的面积最大时，直线的方程为或.
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知椭圆C：的右顶点为，离心率为，过点的直线l与C交于M，N两点．
(1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为，，求的值；
(2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上．
【解析】（1）由题意知，
解得，，，
所以C的方程为，
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，Mx1,y1，Nx2,y2，
由，得，
由方程的判别式，可得，
所以，，
易得，所以，，
所以
，
（2）证明：设线段MQ的中点为，又Mx1,y1，Nx2,y2，
所以，，即，又A，N，Q三点共线，
所以，即，
所以，又，
又
所以
，
所以，即线段MQ的中点在定直线上．
4．已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）由椭圆过点，得，
由，得椭圆半焦距，则长半轴长，
所以的方程为.
（2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，
由消去x得，显然，
，直线的方程为，
令，得点的纵坐标，同理点的纵坐标，
因此
为定值，
所以为定值.
5．如图所示，设点，点M，N是椭圆上的两个不同的点，且直线AM与直线AN的斜率之积为．证明：直线MN过定点．
【解析】纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到平面．
通过仿射变换后，椭圆变为圆．
于是．
同理，故．
如图所示，连接，，则，，故直线，的倾斜角与，互余．
从而，，故．
∵，∴
设直线与轴交于点，点，到直线的距离分别为，．
从而，故，即，此时是的中点．
∵点，，且易知点，∴直线必过定点．
因此，直线MN也过点．
6．（2024·河北保定·三模）设椭圆的左､右顶点分别为，离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为椭圆上异于的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.直线与轴相交于点，求的面积的最大值.
【解析】（1）因为，
所以解得
所以椭圆的标准方程为；
（2）由可得点，
设，直线，直线，
联立消去得，解得.
联立消去得，解得.
因为，且，
此时，
设，由三点共线，所以，
则
，
所以.
所以，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最大值为.
7．（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知椭圆，右焦点为且离心率为，直线，椭圆的左右顶点分别为为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为与椭圆C的另一个交点为.

(1)直线和直线的斜率分别记为，求证：为定值；
(2)求证：直线过定点.
【解析】（1）由题意，可得，
所以椭圆，且
设，则，即，
可得，
所以为定值.
（2）解法一：设，则，
可得，
设直线，，
联立方程，消去x可得，
则，解得，
且，
则，
整理可得，
则，
因为，则，解得，
所以直线过定点
解法二：设，则，
直线，可知与椭圆必相交，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
同理，
直线的斜率存在时，，
则，
令，；
当的斜率不存在时，则，解得；
综上所述：直线过定点
8．求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
9．（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．
【解析】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即，
又离心率为所以
．
所以椭圆C的方程为：．
（2）依题意，直线l与x轴不重合，
设l的方程为：．
联立得：，
因为在椭圆内，所以，
即，易知该不等式恒成立，
设，
由韦达定理得．
又，则

注意到，即：
.
10．已知椭圆：的离心率为， 点，在椭圆上运动. 当直线过椭圆右焦点并垂直于轴时，的面积为（为坐标原点）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)延长到， 使得，且与椭圆交于点， 若直线，的斜率之积为， 求的值.
【解析】（1）由题意可得：，
解得：，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设点，，，，则，
，
，，
且，，，
，
整理可得：，
，即，故.
11．设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，.
(1)求的方程；
(2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明：
（ⅰ）为定值；
（ⅱ）直线恒过定点.
【解析】（1）由焦半径公式知：，，
的方程为：.
（2）由（1）知：，
可设直线方程为：，设则
直线方程为：
联立
，将代入得，
，同理：
（ⅰ），
（ⅱ）直线的方程为：
由得：即，
，
直线的方程为：，
直线恒过定点.
12．如图所示，已知点，F是椭圆的左焦点，过F的直线与椭圆交于两点，直线分别与椭圆交于两点．

(1)证明：直线过定点．
(2)证明：直线和直线的斜率之比为定值．
【解析】（1）证明：因为F是椭圆的左焦点，所以，
当直线斜率为0时，直线方程为，则定点在轴上；
当直线斜率不为0时，
经过与的二次曲线可以设为，
设经过四点的二次曲线系为．
因为点F在直线上，所以将代入上式，解得．
从而直线和直线的方程为．
令，得，解得或（与点重合，舍去），
故直线过定点．
（2）证明：设直线和直线的斜率分别为，，
设曲线系方程为，
因为上式等号左边的系数为，y的系数为为互为相反数，
所以上式等号右边也满足该条件，前的系数为，y前的系数为，
于是，即，
所以．
13．（2024·广西·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为和，的周长为6，记顶点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为，．
（ⅰ）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数，使得当时，；
（ⅱ）若，当最大时，求四边形EPFQ的面积．
【解析】（1）由点的坐标分别为和，其中的周长为，
可得，则，
又由椭圆定义可知，动点在以为焦点，且长轴长为4的椭圆上，
又不能在直线上，所以椭圆的方程为．
（2）（ⅰ）设，，，设直线EF的方程为，
联立，整理得，可得，
则，，即，
同理可得，所以，
欲使，则，即，所以，
所以存在唯一常数，使得当时，．
（ⅱ）由（ⅰ）知，且，
则，
即，同理可得，
因为，所以，
记，
所以，
当且仅当，即时取等，
由椭圆的对称性，不妨设此时，，且直线EF和PQ的夹角为，
则，可得，
此时， ，且，
所以四边形EPFQ的面积为．
14．（2024·福建福州·模拟预测）已知双曲线的上、下顶点分别为．
(1)若直线与交于两点，记直线与的斜率分别为，求的值；
(2)过上一点作抛物线的切线和，切点分别为，证明：直线与圆相切．
【解析】（1）由双曲线可知其焦点坐标为，
如图：
易知，.
由得：，整理得：，.
，设Mx1,y1，Nx2,y2.
则，，所以.
因为：，，
所以.
（2）证明：由，求导得：.
设，，，则，
则切线的方程为：，
同理切线的方程为：，
为，的交点，联立以及，
可得：.
因为直线必存在斜率，设直线方程为：，
代入得，需满足，
则，，所以，
又在双曲线上，所以.
所以原点到直线的距离：.
所以直线与圆相切．
15．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程．
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．
【解析】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，解得，
由三角形面积为，得，则，，
所以的方程是.
（2）（i）由（1）知，点，设直线的方程为，设，
由消去x得：，
则，
直线与的斜率分别为，，
于是
，整理得，解得或，
当时，直线过点，不符合题意，因此，
直线：恒过定点.
（ii）由（i）知，，
则，
因此的面积
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
16．（2024·全国·模拟预测）已知点，直线与抛物线交于B，C两点（均不同于点A）．设直线AB，AC的斜率分别为，有．
(1)证明：直线经过定点．
(2)若B，C两点在轴的异侧，则存在几条直线，使的面积为4？
【解析】（1）设直线的方程为（一定存在，且．
联立，得整理，得．
由，得，即．
设Bx1,y1,Cx2,y2，则．
由题意，得．同理可得．
由，得．
化简，得，故，即．
故直线的方程为，所以直线经过定点．
（2）
由及，可得，解得或．
因为及，所以，且，解得且．
由弦长公式，得．
由点到直线的距离公式，得点到直线的距离，
所以的面积为．
设函数，则．
因为当且时，恒成立（当时，），
所以当时，；当时，．
故在区间上单调递减，在区间，上单调递增．
因为的面积为4，所以．
又，
所以由零点存在定理，可知方程有唯一实根，
所以存在唯一一条直线，使的面积为4．
17．（2024·高三·贵州·开学考试）已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)证明：直线AE与AF的斜率之积为定值．
【解析】（1）因为双曲线的实轴长为6，所以，
因为双曲线的离心率为，所以，解得，
由，得，则C的方程为．
（2）
设，，因为直线过定点B-2,0，显然直线l不垂直于轴，则设直线，
联立方程组，消去x得，
由，得，
则，，
因为A为双曲线C的左顶点，所以，
直线AE的斜率，直线AF的斜率，
所以
，
即直线AE与AF的斜率之积为定值．