2025年新高考数学一轮复习第8章重难点突破11圆锥曲线中的探索性与综合性问题(七大题型)练习(学生版+教师版)

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\l "_Tc176605899" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc176605899 \h 2
\l "_Tc176605900" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176605900 \h 2
\l "_Tc176605901" 题型一：存在点使向量数量积为定值 PAGEREF _Tc176605901 \h 2
\l "_Tc176605902" 题型二：存在点使斜率之和或之积为定值 PAGEREF _Tc176605902 \h 3
\l "_Tc176605903" 题型三：存在点使两角度相等 PAGEREF _Tc176605903 \h 5
\l "_Tc176605904" 题型四：存在点使等式恒成立 PAGEREF _Tc176605904 \h 6
\l "_Tc176605905" 题型五：存在点使线段关系式为定值 PAGEREF _Tc176605905 \h 7
\l "_Tc176605906" 题型六：存在定直线问题 PAGEREF _Tc176605906 \h 9
\l "_Tc176605907" 题型七：存在定圆问题 PAGEREF _Tc176605907 \h 10
\l "_Tc176605908" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176605908 \h 11
解决存在性问题的技巧：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．
（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
题型一：存在点使向量数量积为定值
【典例1-1】（2024·北京通州·二模）已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由．
【典例1-2】已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．
(1)求椭圆方程．
(2)过点的动直线（斜率存在）与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得为锐角？若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
【变式1-1】如图所示，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为8．
(1)求椭圆的方程．
(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在坐标平面内是否存在定点使得以为直径的圆恒过定点？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．
【变式1-2】（2024·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦．
(1)求的内心坐标；
(2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
题型二：存在点使斜率之和或之积为定值
【典例2-1】（2024·四川宜宾·三模）已知椭圆E：的左右焦点分别为，，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于C，D两点，且．
(1)求直线与的交点N的轨迹M的方程；
(2)若直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为，，，，问在（1）的轨迹M上是否存在点P，满足，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【典例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，当过坐标原点时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)当斜率存在时，线段上是否存在定点，使得直线与直线的斜率之和为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-1】（2024·高三·河北·期末）已知，分别是椭圆：的左、右顶点，是椭圆的上顶点，且，的周长为.
(1)求椭圆的方程.
(2)为坐标原点，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，直线，的斜率分别为，.是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【变式2-2】（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是直线：（其中是实半轴长，是半焦距）上不同于原点的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于，两点，斜率为的直线与双曲线交于，两点．
(1)求的值；
(2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点，满足，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
题型三：存在点使两角度相等
【典例3-1】（2024·重庆·一模）已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设过点的直线与点的轨迹交于点，且点在第一象限内．已知，请问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【典例3-2】（2024·湖南邵阳·一模）已知椭圆的短轴长为，右顶点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图所示，设点是椭圆的右顶点.过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且都在轴的上方.在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式3-1】（2024·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆的左右焦点分别为，分别为椭圆的上，下顶点，到直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别交x轴于两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】已知椭圆经过点且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)设，为椭圆上不同的两个点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且、、三点共线.其中为坐标原点.问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.
题型四：存在点使等式恒成立
【典例4-1】已知椭圆C的焦点坐标是，，过点垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D两点，且．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过定点且斜率为k的直线l与椭圆C相交于不同两点M，N，试判断：在x轴上是否存在点，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
(1)求的方程；
(2)已知点，，（）为抛物线上任意三点，记面积为，分别在点A、B、C处作抛物线的切线、、，与的交点为D，与的交点为E，与的交点为F，记面积为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【典例4-2】（2024·高三·贵州·期中）已知椭圆：的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线与椭圆相交与，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【变式4-1】（2024·北京·三模）已知椭圆 的离心率为，其长轴的两个端点分别为，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点 为坐标原点：过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
题型五：存在点使线段关系式为定值
【典例5-1】（2024·河南新乡·三模）已知椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的焦距是2，（异于）是椭圆上的动点，直线与的斜率之积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)分别是椭圆的左、右焦点，是内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
【典例5-2】（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的一个顶点在圆上，对任意实数，上存在两点关于直线对称，直线与交于点，与交于点在之间，且时．
(1)求的标准方程．
(2)是否存在与不重合的定点，使得成立，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-2】（2024·广东江门·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长的菱形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，是否存在两定点，使得点满足恒为定值？若存在，请求出定点的坐标若不存在，请说明理由．
(3)对于第（2）问，如果推广到一般的椭圆．求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
题型六：存在定直线问题
【典例6-1】（2024·上海虹口·二模）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线为的法向量为，求直线的方程；
(3)是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
【典例6-2】（2024·安徽阜阳·三模）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【变式6-1】（2024·河南安阳·一模）如图，已知直线，M是平面内一个动点，且MA与相交于点A（A位于第一象限），，且MB与相交于点B（B位于第四象限），若四边形OAMB（O为原点）的面积为．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点的直线l与C相交于P，Q两点，是否存在定直线l′:，使以PQ为直径的圆与直线l′相交于E，F两点，且为定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2024·上海·三模）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)当，且点在轴上方时，求、两点的坐标；
(3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
题型七：存在定圆问题
【典例7-1】（2024·高三·湖北武汉·期末）已知双曲线（，），点是的右焦点，的一条渐近线方程为.
(1)求的标准方程；
(2)过点的直线与的右支交于两点，以为直径的圆记为，是否存在定圆与圆内切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由.
【典例7-2】（2024·江苏宿迁·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若，是双曲线上的两个动点，且恒有，是否存在定圆与直线相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由．
【变式7-1】（2024·安徽·一模）椭圆的上顶点为，圆在椭圆内．
(1)求的取值范围；
(2)过点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为．是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由．
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，若A，B两点在一曲线C上，曲线C在A，B均存在不垂直于x轴的切线，且两条切线的斜率的平均值等于直线AB的斜率，则称AB是曲线C的一条“切线相依割线”．
(1)证明：准线平行于x轴的抛物线上任意一条割线均为“切线相依割线”；
(2)试探究双曲线在第一象限内是否存在“切线相依割线”，若存在，请求出所有的“切线相依割线”，若不存在，请说明理由．
3．已知椭圆的右焦点的坐标为，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
4．已知圆的方程为，点的坐标为．点为圆上的任意一点，线段的垂直平分线与交于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)点是圆上异于点和的任一点，直线与轨迹交于点，，直线与轨迹交于点，．设为坐标原点，直线，，，的斜率分别为，，，，问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
5．设为椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆于A，B两点．试从① 若点M，N在该椭圆上且关于原点对称，P为该椭圆上异于M，N的一点，且；②的周长为8；③的最小值为8这三个条件中选择一个作为已知条件，并解答问题．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)是否存在直线l，使得的重心为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
6．（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知椭圆，与x轴不重合的直线l经过左焦点，且与椭圆G相交于两点，弦的中点为M，直线与椭圆G相交于两点．
(1)若直线l的斜率为1，求直线的斜率；
(2)是否存在直线l，使得成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
7．（2024·广西桂林·三模）双曲线C：的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线为，过且倾斜角为的直线为，已知，之间的距离为．
(1)求C的方程；
(2)若过点的直线l与C的左、右两支分别交于两点（点不在x轴上），判断是否存在实数k使得．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
8．椭圆经过点，且离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是直线上任意一点，是经过椭圆右焦点的一条弦（不经过点）．记直线，，的斜率依次为，，，问是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
9．（2024·全国·二模）如图，过点的动直线交抛物线于两点.
(1)若，求的方程；
(2)当直线变动时，若不过坐标原点，过点分别作（1）中的切线，且两条切线相交于点，问：是否存在唯一的直线，使得？并说明理由.
10．（2024·湖南永州·二模）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为线段的中点，过点且斜率为的直线交于两点，的面积最大值为．
(1)求的方程；
(2)设直线分别交于点，直线的斜率为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
11．已知椭圆的离心率为，且a，b的等比中项为2．
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于点A，B两点，直线过点A且与C交于另外一点，直线过点B，且与C交于另外一点．
（ⅰ）设，，证明：；
（ⅱ）若直线的斜率为，判断是否存在常数m，使得k是m，的等比中项，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．