高考数学一轮复习：3导数及其应用-重难点突破8练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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(1)(对称化构造法)构造辅助函数:对结论型,构造函数;对结论型,构造函数,通过研究的单调性获得不等式.
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的欢变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式,利用函数单调性证明.
1．已知函数，函数在处的切线斜率为．
（1）求函数的单调减区间；
（2）若函数的图象与直线交于不同的两点，，，，求证：．
【解答】解：（1）函数的定义域为，，，，又，故，
，则，
令，解得，，，
故函数的减区间为，；
（2）证明：因为函数的图象与直线交于不同的两点，，，，设，
则，则，故，
令，则，
，
要证，只要证，
由于，只要证，
设，，则，
设，则，
函数在上单调递减，则（1），
又，故，
函数在上单调递增，则（1），即，即得证．
2．已知函数，为常数，且．
（1）判断的单调性；
（2）当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：．
【解答】解：（1）因为，
所以，，
设，
△，即时，恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
△，即时，方程有两个不等的实数根，且，
，
所以任意，，，单调递增，
任意，，，，单调递减，
任意，，，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在，，上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：因为（1），
所以（1），
由（1）可得时，在上单调递增，
不妨设，
要证，即证，
所以，
所以，
所以，
设，，
，
所以时，，单调递增，
所以（1）（1），
所以．
3．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性：
（Ⅱ）若，是方程的两不等实根，求证：
；
．
【解答】解：（Ⅰ），
当时，，在上单调递增，
当时，令得，
令得，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（Ⅱ）证明：因为，是方程的两个不等实数根，即，是方程的两个不等实数根，
令，则，，即，是方程的两个不等实数根，
令，
则，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
（e），
当时，；当时，且，
所以，即，
令，
要证明，只需证明，
设，，
则，，
令，
则，
所以在上单调递增，（e），
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以得证．
要证，只需证，
只需证，
只需证，
只需证，
因为，
令得，
即①，
令得，
即②，
①②得，
所以，得证．
4．已知函数．
（1）若为的导函数），求函数的单调区间；
（2）求函数在区间，上的最大值；
（3）若函数有两个极值点，，求证：．
【解答】解：（1）函数的定义域为，
，
，
当时，在上恒成立，单调递增，
当时，令得，
所以在上，单调递减，
在，上，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
（2）当时，在，上是增函数，最大值为（e），
当，即时，在，是减函数，最大值为（1），
当，即时，在是增函数，在，是减函数，最大值为，
当，即时，在，是增函数，最大值为（e），
综上所述，当时，最大值为（e），
当时，最大值为，
当时，最大值为（1）．
（3）证明：，
因为函数有两个极值点，，
所以在上有两个不等的实数根，（假设，
则在上有两个不等的实数根，（假设，
所以与的图象有两个交点，
由函数的图象知，，，
要证：，
可得变形为，
因为，，
所以，
即证可以变形为，
进一步变形为，
令，
即证，
令，
，在上单调递增，
所以（1），即证．
5．已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若对于，都有，求实数的取值范围；
（3）若的函数图象与交于不同的两点，，，，证明：．
【解答】解：（1）因为函数定义域为，
所以，（1），
又因为（1），
所以曲线在点，（1）处的切线方程为．
（2）当时，“”等价于“”恒成立，
令，，，，
当时，，所以在区间单调递减．
当，时，，所以在区间，单调递增，
而，，
所以在区间上的最大值为．
所以当时，对于任意，都有．
（3）证明：函数定义域为，
由（1）可知，，
令，解得，与在区间上的情况如下：
故的增区间为，减区间为，
又（1），时，，时，，
与的图像交于，两点，即，
．
设，当时，，
设，则，
，
，
，
，
即当时，为增函数，
即当时，，
，
此时，
，
当时，可得，
记，即，
由当时，，即，
，此时，
又当时，为增函数，
可得，
．
6．已知函数，．
（1）若，为的导函数），求函数在区间，上的最大值；
（2）若函数有两个极值点，，求证：．
【解答】解：（1）函数的定义域为，，，
①当时，显然在上恒成立，所以在上单调递增，
所以在区间，上的最大值为（e）；
②当时，令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，上的最大值为；
③当时，显然在上恒成立，所以在上单调递减，
所以在区间，上的最大值为（1）．
综上所述，当时，最大值为；当时，最大值为；当时，最大值为．
（2）证明：，有题意可知 至少有两个零点，所以．
由，，可得，．
所以，
不妨设，令，则，下面证明．
令，则，
所以在单调递增，（1），即．
于是，，即．
7．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若直线与函数的图象有两个不同交点，，，，求证：．
【解答】解：（1）
．变化时，与变化情况如下
当时，有极小值为，
极小值为，无极大值．
（2）证明：设：，由（1）知，，，
欲证：，需证：．
由，，且在是单调递减函数，
即证：
即证：
令，，
当时，，单调递增，
，
时，．
由时，，
得证．
8．设函数．
（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若在定义域内存在两实数，满足，且，证明：．
【解答】解：（1）的定义域是，
，
当时，，即在上递增，不合题意，
当时，令，解得：，
故时，，当，时，，
故在递增，在，递减，
故，
若存在，使得成立，
则，
即，即，
令，则，
在上单调递增，
又（1），，
即实数的取值范围是；
（2）证明：当时，，则，
当时，，当时，，
在递增，在递减，
由且知，
令
，，
则，
在递增，（1），即，
，又，，
，，
又且在递减，
，即．
9．已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若函数对任意满足，求证：当，；
（3）若，且，求证：．
【解答】解：（1），．
令，解得．
在内是增函数，在内是减函数．
当时，取得极大值（2）．
（2）证明：，，
．
当时，，，从而，
，在是增函数．
．
（3）证明：在内是增函数，在内是减函数．
当，且，、不可能在同一单调区间内．
不妨设，由（2）可知，
又，．
，．
，，，且在区间内为增函数，
，即．
10．已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间及极值；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）如果，且，求证：．
【解答】
（Ⅰ）解：
令，则
当变化时，，的变化情况如下表：
在上是增函数，在上是减函数
在处取得极大值；
（Ⅱ）证明：令
则
，，
又，，在，上是增函数
又（1）时（1）
即当时，
（Ⅲ）证明：当，都在或都在时由于是单调函数，
所以，这与已知矛盾，所以，一个在内，另一个在内
不妨设，，则
由（Ⅱ）知时，，
又，
，，，
在上是增函数，，
0
减函数
极小值
增函数
0
单调递减
极小值
单调递增
2
0
极大值
1
0
极大值