四川省重点高中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案

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8、【解】因为，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，
，此时.
14、【解】设，由题知，
化简整理得，则此圆心为，半径为，
因为是曲线上的两点，
当都与圆相切，可使最大，
又，，
此时四边形为正方形，， 显然，当时，为锐角，不满足题意，
当时，才能取得直角，故，
∴点到直线距离要满足，
∴，化简得，解得，∴实数的取值范围为.
15．【答案】(1)直线l过定点； (2)
【解】（1）直线方程可化为：，
由，解得，即直线l过定点.
（2）由向量是直线的一个方向向量，得直线的斜率，
又经过点，则方程为：，即：
16.【答案】(1)；(2)
【解】作BC中点O，连接AO，DO,
∵△ABC为等边三角形， ∴AO⊥BC, 同理DO⊥BC
又∵平面ABC⊥平面DBC ∴AO⊥平面BCD ∴AO⊥DO
∴分别以OD，OC，OA建立x,y,z轴。 设OC=1，∴OA=
C(0,1,0) B(0,-1,0) D（，0，0） A(0,0,)

设为平面ABD的法向量
令x=1,则y= ,z=1 ∴为平面ABD的一个法向量。
设直线BC与平面ABD所成角为 ∴
∴直线BC与平面ABD所成角正弦值为
（2）平面BDC的一个法向量为； 由（1）知平面ABD的一个法向量为
设平面ABD和平面BDC所成角为 ∴
∴平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值为
17．【答案】(1)，2人 (2)平均数为71，中位数为 (3)
【解】（1）由，解得，
因为（人），（人）．所以不高于50分的抽取（人）
（2）平均数．
由图可知，学生成绩在内的频率为0.4，在内的频率为0.3，
设学生成绩中位数为t，，则：，解得，所以中位数为.
（3）法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，
则．
答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A
答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
18．【答案】（1）90°；（2）.
【解】（1）在直三棱柱中，平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
易得点，，，
∴，，
∴直线AM与直线PN所成角的大小为90°；
（2）点，∴，，，
设平面的法向量为，
则，可得，取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
整理可得，即，
因为，解得.
19．【答案】(1) ； (2)；(3).
【解】（1）由题可知，设圆的方程为，
由直线与圆相切于点，
得，解得，所以圆的方程为；
（2）设圆心M（4,0）到直线的距离为d ∵|PQ|= ∴
①当直线斜率不存在时：x=1,满足M（4,0）到直线x=1的距离
②当直线斜率存在时：设方程：即

综上：直线的一般式方程为x-1=0或
（3）由题意知，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，
解得或，则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，
由题可知：，
，又，
同理，，
当且仅当时等号成立，
的最大值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
D
D
B
A
A
C
CD
AB
BD