安徽省合肥市六校2025届高三上学期11月期中联考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省合肥市六校2025届高三上学期11月期中联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．已知,,,则( )
A.B.C.D.
4．已知函数是R上的奇函数,且当时,,则当时有( )
A.B.C.D.
5．已知,,则( )
A.B.C.D.
6．若函数的定义域为R,则实数m取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知函数与的图象如图所示,则函数( )
A.在区间上是减函数B.在区间上是减函数
C.在区间上是减函数D.在区间上是减函数
8．定义：如果函数在区间上存在,,满足,,则称函数是在区间上的一个双中值函数,已知函数是区间上的双中值函数,则实数t的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知奇函数的定义域为R,若,则( )
A.B.的图象关于直线对称
C.D.的一个周期为4
10．函数满足,则正确的是( )
A.B.
C.D.
11．已知，，，则( )
A.的最小值为B.的最大值为
C.的最小值为D.的最小值为
三、填空题
12．已知函数对任意x满足,则___________.
13．若函数,则使得成立的x的取值范围是__________.
14．已知点A是函数图象上的动点,点B是函数图象上的动点,过B点作x轴的垂线,垂足为M,则的最小值为__________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求的最小正周期和单调增区间;
(2)若函数在存在零点,求实数a的取值范围.
16．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：当时，.
17．在锐角中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知.
(1)求角B的值;
(2)若,求的周长的取值范围.
18．已知函数,.
(1)若,求的极值;
(2)设函数在处的切线方程为,若函数是上的单调增函数,求t的值;
(3)函数的图象上是否存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线重合,若存在则求出a的取值范围,若不存在则说明理由.
19．在平面直角坐标系中,利用公式①（其中a,b,c,d为常数）,将点变换为点的坐标,我们称该变换为线性变换,也称①为坐标变换公式,该变换公式①可由a,b,c,d组成的正方形数表唯一确定,我们将称为二阶矩阵,矩阵通常用大写英文字母A,B,…表示.
(1)在平面直角坐标系中,将点绕原点O按逆时针旋转得到点（到原点距离不变）,求点的坐标;
(2)如图,在平面直角坐标系中,将点绕原点O按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变）,求坐标变换公式及对应的二阶矩阵;
(3)向量（称为行向量形式）,也可以写成,这种形式的向量称为列向量,线性变换坐标公式①可以表示为：,则称是二阶矩阵与向量的乘积,设A是一个二阶矩阵,,是平面上的任意两个向量,求证：.
参考答案
1．答案：D
解析： 且或,,
又p是q的必要不充分条件, ,,
故选：D.
2．答案：D
解析：由题意且,故,解得,故;
由得,故;
综上.
故选:D.
3．答案：C
解析：由,得;
由,得;
由,得.
.
故选:C.
4．答案：B
解析：设,则,
因为当时,
又函数是R上的奇函数
故当时有
故选:B
5．答案：A
解析：因为,,
所以,,
所以,,即,
所以由得,
所以.
故选:A.
6．答案：A
解析：由题意,函数的定义域为R,
等价于在R上恒成立,
若,则在R上恒成立,满足条件;
若,则,解得.
综上,实数m的取值范围是,
故选:A.
7．答案：B
解析：因为,
由图象知,时,,又,
所以当时,,
即在上单调递减,
当时,,又,所以当时,,
即在上单调递增,所以选项A、C和D错误,选项B正确,
故选：B.
8．答案：A
解析：,,
函数是区间上的双中值函数,
区间上存在,,
满足,
方程在区间有两个不相等的解,
令,,
则,
解得,
实数t的取值范围是.
故选：A.
9．答案：AD
解析：由函数为奇函数,则,A选项正确;
又,即,则函数关于直线对称,B选项错误;
由可知,
即,函数的一个周期为4,C选项错误,D选项正确;
故选：AD.
10．答案：AC
解析：依题意,令函数,求导得,函数在R上递减,
对于A,,,则,A正确;
对于B,,,则,B错误;
对于C,,,则,C正确;
对于D,,,则,D错误.
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：对于A，由于，，，故，
当且仅当，结合，即，时，等号成立，
即的最小值为，A正确；
对于B，由于，，，则，
当且仅当，时，等号成立，
故，即的最大值为，B正确；
对于C，又，，，得，
故
由于，，而对称轴为，
则在上单调递减，在上无最值，C错误；
对于D，令，，则，，
故，
由于，，故，，
，
则，
当且仅当，结合，即，时，等号成立，
所以，
即的最小值为，D正确，
故选：ABD
12．答案：
解析：因为,以代替x得：
,
得：,.
故答案为：.
13．答案：
解析：由函数的定义域为R,
所以函数为偶函数
当时,与为单调递增函数
所以在单调递增
所以
所以
解得：.
故答案为：.
14．答案：
解析：由于是焦点在y轴上的抛物线,故设其焦点为,
则,所以,
故求到上一点A的最小距离即可,
设,则,
记,则
由于函数在单调递增,且,,
故当时,,因此在单调递减,
当时,,因此在单调递增,
故,
因此,故,
故答案为：.
15．答案：(1),
(2)
解析：(1)对于函数
,
所以函数的最小正周期为,
令,,则,,
函数的单调递增区间为.
(2)令,即,则,
在存在零点,则方程在上有解,
若时,则,可得,
,得
故实数a的取值范围是.
16．答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知的定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：当时，，
令，则，
令，则，因为，所以，，所以当时，恒成立，所以在上单调递减，
即在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，即.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1),由正弦定理得：,
即,
由余弦定理得：,
因为,
所以;
(2)锐角中,,,
由正弦定理得：,
故,,
则
,
因为锐角中,,
则,,
解得：,
故,,
则,,
故,
所以三角形周长的取值范围是.
18．答案：(1)的极大值为,极小值为
(2)
(3)不存在,理由见解析
解析：(1)当时,,
则,
令,解得：或,列表如下：
由表可知,当时,的极大值为,
当时,的极小值为;
(2)因为,所以,
所以处切线方程为,
整理得：,
设,
则：,
由题意可知,
在恒成立.
因为,
当且仅当时,等号成立,所以应有,
而,,所以只有即时,,
即成立,
所以.
(3)由(2)可知,曲线在处切线方程为：
,
假设存在符合题意的直线,设两个切点分别为,,
则： ,
由①式可得：,代入②式,则：,
整理得：,
设,则,设,
则,
所以单调递减,
因为,所以的解为.
即,解得,
此时,
所以不存在符合题意的两点,使得函数的图象在这两点处的切线重合.
19．答案：(1)
(2),
(3)证明见解析
解析：(1)可求得,设,则,,
设点,,
故
所以.
(2)设,,则,,,
故
所以坐标变换公式为,
该变换所对应的二阶矩阵为
(3)设矩阵,向量,,则.
,
对应变换公式为：,
,
所以
故对应变换公式同样为
所以得证.
x
1
2
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增