福建省部分重点高中2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试题含答案

这是一份福建省部分重点高中2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的一个方向向量是（ ）
A．B．C．D．
2．已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．168B．196C．200D．210
3．已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等差数列
B．若是等比数列，则是等比数列
C．若是等差数列，则是等比数列
D．若是等比数列，则是等差数列
4．已知数列的通项公式为，下列说法正确的是（ ）
A．数列从第3项起各项数值逐渐增大
B．当时，取最大值
C．是该数列的项
D．数列的图象与的图象相同
5．圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离B．相交C．外切D．内切
6．已知直线，则这条直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线将圆分成面积分别为，的两个部分，当的值取最大时，的值为（ ）
A．0B．2C．D．
8．一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5m，则n的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错得0分.
9．已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．若满足在轴上的截距与在轴上的截距相等，则
B．必过定点
C．若，则或4
D．若，则
10．已知圆，点，直线不全为，则下列说法正确的是（ ）
A．若与圆相切，则点在上B．若与圆相交，则点在外
C．若与圆相离，则点在内D．若与圆相离，则点在外
11．斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，.则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．.直线与之间的距离是
13．已知圆与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），动点C满足，则的面积最大值为 .
14．定义在上的函数满足对任意的x，y都有（为常数），且，设，数列an的前n项和为，当且仅当时，取到最大值，则t的取值范围是 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知数列的前项和，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值.
16．已知直线过点，且的一个法向量是.
(1)求直线的方程；
(2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程；
(3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程.
17．设数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
18．已知直线和圆交于A、B两点.
(1)当时，求直线l被圆C所截得的弦长；
(2)探究：x轴的负半轴上是否存在一个定点M，使得x轴平分，如果有，求出M点坐标，如果没有，说明理由.
19．定义：对于数列若存在常数，对任意的都有，则称数列为和谐数列.
(1)已知数列，判断是否为和谐数列，并说明理由；
(2)设是数列的前项和，证明：若是和谐数列，则也是和谐数列；
(3)若、都是和谐数列，证明也是和谐数列.
答案
1．A
解析：直线的斜率为，
所以，该直线的方向向量为，
故该直线的一个方向是.
故选：A.
2．A
解析：因为数列是等差数列，
所以.
故选：A.
3．C
解析：对于AC选项，若数列为等差数列，设其公差为，则为正常数，
所以，数列是等比数列，
但不是常数，故数列不是等差数列，A错C对；
对于BD选项，若数列为等比数列，设其公比为，
则不是常数，故数列不是等比数列，
不是常数，故数列不是等差数列，BD都错.
故选：C.
4．C
解析：对于A，，由二次函数的性质可知从起起各项数值逐渐增大，故A错误；
对于B，由，可知时，取最大值，无最大值，故B错误；
对于C，令，可得，解得或，
所以是数列中的项，故C正确；
对于D，数列的图象是函数的图象中横坐标为正整数的孤立的点，
所以数列的图象与的图象不相同，故D错误.
故选：C.
5．B
解析：由可得，
即圆心，半径，
由圆可得，
即圆心，半径，
所以圆心距，
所以，所以两圆相交.
故选：B
6．D
解析：直线的斜率．
因为直线的倾斜角为，则，
根据正切函数的性质可得．
故选：D．
7．D
解析：由题意可得，直线过定点，且当弦长最短时，的值取最大，
此时直线与直线垂直，
圆的圆心为，半径为3，
所以，
所以.
故选：.
8．A
解析：设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为，
由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列，
则第n次着地后经过的路程为，
即，结合选项，检验时，，时，成立，
故选：A
9．BC
解析：当时，方程为 ，也满足在轴上的截距与在轴上的截距相等，故A错；
把变形得，
所以，所以必过定点，故B对；
若，则满足或1，故C对；
若，则满足或，故D错；
故选：BC
10．ABC
解析：对于A，因为与圆相切，
所以圆心到直线的距离，所以，
即点满足直线的方程，所以点在上，故A正确；
对于B，若与圆相交，所以圆心到直线的距离，
所以，即点不满足直线的方程，
所以点在外，故B正确；
对于CD，与圆相离，所以圆心到直线的距离，
所以，所以点在内，故C正确，D错误.
故选：ABC．
11．BCD
解析：由题设，，，A错；
由，则，故，B对；
由，结合B的结论有，，，，
所以，C对；
，D对；
故选：BCD
12．
解析：根据平行线间距离公式可得两直线距离为
13．
解析：设动点C的坐标为，由题意知，,
由，得，
化简得，即动点C 在圆上，
设的面积，当时，取最大值.
故答案为：.
14．
解析：由，
令，得，则，又，
所以，所以，
因为，
所以，
，又，
所以数列an是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，
又当且仅当时，取到最大值，
所以满足，
则则t的取值范围是.
故答案为：
15．(1)
(2).
解析：（1）当时，，
则，
当时，，满足上式，所以.
（2）由
.
所以，即的最小值为.
16．(1)
(2)
(3)
解析：（1）因为直线的一个法向量是，
又过点所以可得直线的方程为，
化简得，所以所求直线的方程为.
（2）因为直线与轴交于点，由（1）知的方程为，所以，
因为，所以，
将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，
则，所以.
由点可知直线方程为，即.
（3）设直线的倾斜角为，因为，
所以，，则，
所以，的角平分线所在直线的倾斜角为，
则的角平分线所在直线的斜率为
，
因此，的角平分线所在直线的方程为，即.
17．(1)
(2)
解析：（1）依题意有，
所以，，，.
累加这（）个式子得，，
又，所以显然满足上式，所以.
（2）由（1）知，所以，
，
两式相减得：，
所以，
整理得.
18．(1)；
(2)存在，.
解析：（1）当时，直线，圆心到直线的距离，圆的半径为2
所以.
（2）假设存在点满足题意，设点坐标为x1,y1，点坐标为x2,y2，点坐标为，
依题意有平分，则，
所以，即，
又，
所以上式可化为，
即.
由，得，
易知，，，
因此，，
即，
又，则，整理得，
因此轴上存在一个定点符合题意.
19．(1)是和谐数列，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：（1）解：an是和谐数列，
理由如下：，
上式，
所以，数列an是和谐数列.
（2）证明：因为是和谐数列，所以存在常数，对任意的，
有，
即.
则
.
所以数列an是和谐数列.
（3）解：若数列an、bn是和谐数列，则存在常数、，
对任意的，有，
，
，
即，同理：.
因为，所以，
所以.
记，，
则有
，
所以
，
所以，数列也是和谐数列.