河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2024-2025学年高三上学期12月测试（一）数学试题

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数学答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
C
D
B
B
A
ABD
BD
题号
11









答案
BCD









12．
13.
14．
15．（1），
∴≌，，
取中点，连接，
为等腰三角形，，
又，平面，
平面，又平面，；
（2）法一：射影面积法，
过点作⊥，交的延长线于点，连接，
因为和所在平面垂直，且交线为，平面，
所以⊥平面，
由（1）知，≌，
，
故≌，故，
故⊥，同理可得平面，两两垂直，
不妨设，∵，
，，
设平面与平面所成角为，
由勾股定理得，
，
在中，
，
，
故二面角的夹角正弦值为；
法二：过点作⊥，交的延长线于点，连接，
因为和所在平面垂直，且交线为，平面，
所以⊥平面，
由（1）知，≌，
，
故≌，故，
故⊥，同理可得平面，两两垂直，
以为原点，方向分别为轴，如图建系，
不妨设，∵，
，，
平面的法向量，
又，
，
设平面的法向量为，
，
令，则，故，
设平面与平面所成角为，
，
故，
故二面角的夹角正弦值为；
16．（1）由正弦定理可知，，
所以，
所以，即.
由余弦定理，所以.
（2）因为，所以等号两边同时平方可得，.
又由（1）知，所以，即，所以，
所以的周长为.
（3）由正弦定理可得，，即，
，即.
因为四边形的内角和为，且，所以，
所以.
，记，
令，
则.
因为在中，所以，所以，
所以当时，单调递增.
当，即时，；当，即时，，
则，所以.
17．（1）因为，所以，
依题意，即，
所以，定义域为0,+∞，则，
所以当时f′x>0，当时f′x0，即ℎ′x>0，
所以ℎx在上单调递增，即存在，使得，
这与当时，恒成立矛盾，故舍去；
综上可得．
18．（1）由题意甲第2局赢的概率为，
所以乙赢的概率为；
（2）（ⅰ）由已知时，，
所以，又，所以数列是等比数列，公比为，
所以，所以；
（ⅱ）即，
令，则，易知是减函数，，
所以时，，递减，
显然，因此要求的最大值，即求的最小值，
又，为奇数时，，为偶数时，，
且在为偶数时，是单调递增的，
所以是中的最小值，，
所以，
又在上是减函数，所以，
而，（∵），
所以，
所以满足的整数的最小值为．
【点睛】方法点睛：重复进行的概率问题，一般都要通过独立事件的概率公式、互斥事件概率公式等确定概率的递推关系，然后构造新的等比数列，从而利用等比数列通项公式求得出表达式．
19．（1）由条件得，整理得，所以的方程为；
（2）因为，关于原点“伸缩变换”，
对作变换，得，
联立，解得点的坐标为，
联立，解得点的坐标为，
所以，所以或，
所以或；
因此椭圆的方程为或；
（3）对作变换，
得抛物线，得，
又因为，所以，即，
当时，，
得，适用上式，
所以数列的通项公式.
【点睛】思路点睛：结合题目给的数学情景，运用到新的数学问题中，学会将已经学习过的知识方法迁移到新的问题中.