湖南省永州玉潭高级中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份湖南省永州玉潭高级中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设，，则有（ ）
A. B. C. D. .
【答案】C
【解析】
【分析】由作差法判断两式大小.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故选：C.
2. 设集合，，函数已知，且，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，求的范围，判断其与集合的关系即可．
【详解】结合函数图象，
当时，则，
又因为，所以结合图象得，
故选：C．
3. 已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件化为，再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，均为正实数，，均为正实数，且，
则，
整理得：，因为，，
所以，
即，当且仅当时，即时，等号成立.
故选：C
4. 若函数是定义域为，且对，且，有成立，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对给定不等式合理变形，转化为，再利用定义法判断出在上单调递增，转化为，求解不等式即可.
【详解】欲求的解集，
则求解集即可，且令，
故求的解集即可，
因为，，，
所以，即，
故得在上单调递增，则求的解集即可，
解得，则不等式解集为，故C正确.
故选：C
5. 已知幂函数在0,+∞上单调递减，则实数m的值为（ ）
A. B. C. 1D. 或1
【答案】A
【解析】
【分析】由是幂函数结合函数单调性得出实数m的值．
【详解】由于为幂函数，所以或；又函数在0,+∞上单调递减，故当时符合条件，
故选：A
6. 已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据偶函数的定义域关于原点对称求出，再根据偶函数的对称性和题设给的的增减性解题即可
【详解】 是定义在上的偶函数，，解得，的定义域为
又，当时，
单调递减，
再由偶函数的对称性可知，解得
答案选C
【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽略所有括号中的取值都必须在定义域内
7. 函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据单调函数的定义直接得到答案
【详解】由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是
故选：C
【点睛】本题考查根据函数图象求函数单调区间.属于基础题
8. 高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，即可求解.
【详解】根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；
再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.
【点睛】本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
二、多选题（每小题6分少选得部分分共18分）
9. 已知为任意实数，关于的方程，则（ ）
A. 当时，方程有两实数根
B. 当时，方程有两异号的实数根
C. 当时，方程有两实数根，，则
D. 若方程有两个实数根，，则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用根的判别式一一计算可得.
【详解】对于A：因为，当时，
所以方程有两实数根，故A正确；
对于B：若方程有两异号的实数根，则，解得，
即当时，方程有两异号的实数根，故B正确；
对于C：当时，方程无实数根，故C错误；
对于D：若方程有两个实数根，，则，即，
当时，方程的两根，，显然无意义，故D错误.
故选：AB
10. 已知函数的图象经过点，则（ ）
A. 的图象经过点B. 在内的值域为
C. 在定义域上单调递减D. 的图象关于轴对称
【答案】AB
【解析】
【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数性质判断．
【详解】将点的坐标代入，可得，则，
对A，当，，所以的图象经过点，A正确；
根据幂函数图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，
函数在内的值域为，故CD错误，B正确，
故选：AB．
11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，下列说法正确的是（ ）
A. 时，函数解析式为
B. 函数在定义域上为增函数
C. 不等式的解集为
D. 不等式恒成立
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于A，利用奇函数定义求时，函数解析式为；对于B，研究当时，的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知在上的单调性；对于C，求出，不等式，转化为，利用单调性解不等式；对于D，分类讨论与两种情况是否恒成立.
【详解】对于A，设，，则，
又是奇函数，所以，
即时，函数解析式为，故A错；
对于B，，对称轴为，所以当时，单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以在上为增函数，故B对；
对于C，由奇函数在上为增函数，则时，，解得，（舍去），即，
所以不等式，转化为，
又在上为增函数，得，解得，
所以不等式的解集为，故C对；
对于D，当时，
，
当时，
不恒大于0，故D错；
故选：BC
【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.
考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：
（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；
（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；
（3）已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法；
（4）若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）
12. 已知函数且，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式可得出为奇函数，再利用奇函数性质计算可得结果.
【详解】易知满足，即为奇函数，
所以，可得，
即可得，所以.
故答案为：
13. 已知幂函数在0,+∞上单调递减，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论．
【详解】由题意，解得或，
若，则函数为，在(0,+∞)上递增，不合题意．
若，则函数为，满足题意．
故答案为：．
14. 已知函数（p，q为常数）满足，则的值为_________
【答案】
【解析】
【分析】分别代入数值，两式相加可得答案.
【详解】因为，，所以，
，两式相加可得，
所以.
故答案为：.
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. 已知函数是定义在上的奇函数且.
（1）求的表达式；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）答案及解析 （3）
【解析】
【分析】（1）对于奇函数，有，再结合，可以求出函数中的参数和，从而得到函数表达式.（2）要判断函数单调性，可通过设出区间内的两个自变量，，然后作差，根据差的正负来判断单调性.（3）根据函数的奇偶性和单调性来解不等式即可.
【小问1详解】
因为是奇函数，定义域为，所以，
即，所以.又因为，，
把代入得，解得.
所以，经验证此时为奇函数.
【小问2详解】
在上单调递减.理由如下：
设.
因为，所以，，，，.
所以，即，所以在上单调递减.
【小问3详解】
解关于的不等式，因为是奇函数，
所以可化为.
又因为在上单调递减，所以，
解得.解得.
解得.
综上，取交集得.
16. 函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数都有，记，求之间的大小关系.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可构造函数，结合函数单调性定义可得在上单调递减，再将用表示出来后，结合单调性即可得解.
【详解】由，，则，
设，则在上单调递减，
，，
由是定义在上的奇函数，
则，
由，即.
（2020·上海高一课时练习）
17. 已知是奇函数，是偶函数，且，则_________；________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据，利用是奇函数，是偶函数，得到，然后列方程组求解.
【详解】∵是奇函数，是偶函数，
∴，.
则，
即.
两式相减，解得；两式相加，解得，
故答案：；.
【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式，属于基础题.
18. 已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，.
（1）求；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）由定义域区间关于0对称可得；
（2）由已知得单调性，再利用偶函数性质和单调性解不等式．
【小问1详解】
依题意，，解得:；
【小问2详解】
对任意，当时，，
即时，，
所以函数在上单调递增，又是偶函数，
故等价于，解得:，
不等式的解集为:．
19. 已知函数是奇函数，且当时，，
（1）求函数的表达式
（2）求不等式的解集
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】（1）求出函数x＜0的解析式，即得解；（2）分三种情况解不等式最后综合得解.
【详解】解：（1）根据题意，函数是奇函数，则，
当时，，则，
又由函数为奇函数，则，
则，
（2）根据题意，，
当x>0时，，此时即，解可得，此时不等式的解集为，
当x=0时，，成立；此时不等式的解集为，
当时，，此时即，解可得，此时不等式的解集为，
综合可得：不等式的解集或．