吉林省长春市实验中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码.
2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1 已知，，则（ ）
A. B. 2C. D. 10
2. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（ ）
A. 20B. 18C. 16D. 14
4. 过点，，的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 1或
6. 已知三棱锥中，平面，，，，.为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆，点是直线上的动点，若圆上总存在不同两点，，使得直线垂直平分线段，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线，直线，则下列选项正确的是（ ）
A. 直线恒过定点B. 直线可能与轴垂直
C. 若，则D. “”是“”的充分不必要条件
10. 已知椭圆，左、右焦点分别为、，上、下顶点分别为、，点为椭圆上一动点，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最大值为4
B. 存在点，使得
C. 若点不与、重合，则直线与的斜率之积为定值
D. 椭圆与直线总有两个不同交点
11. 已知正方体棱长为1，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（ ）
A. 时，
B. 时，的最小值为
C. 时，三棱锥的体积为定值
D. 时，直线与面的交点轨迹长度为
12. 关于曲线有以下结论，其中正确是（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线围成的图形面积为
C. 曲线上任意两点间的最大距离为4
D. 若点在曲线上，则
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线与圆相切，则_________.
14. 如图，在直三棱柱中，，，，点为的中点，则点到平面的距离为_________.
15. 已知圆与圆公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为_________.
16. 以原点为对称中心椭圆C1，C2焦点分别在x轴，y轴，离心率分别为e1，e2，直线l交C1，C2所得的弦中点分别为，若，则直线l的斜率为__________．
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知 ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
18. 如图，在长方体中，，.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 已知点，动点M满足，点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）曲线C上任意一点N（不同于A，B）和点A，B的连线分别与y轴交于P，Q两点，O为坐标原点求证：为定值．
20. 已知椭圆的离心率，一个焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为1的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程.
21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，．
（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M-BQ-C的大小为60°，求QM的长．
22. 在中，已知点边上的中线长与边上的中线长之和为，记的重心G的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若圆，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与曲线的另一个交点分别是点，求面积的最大值．