中考数学二轮复习解答题提分训练专题05反比例函数的应用及综合问题（2份，原卷版+解析版）

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1.反比例函数的图象与性质注意问题
（1）当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．
（2）当k0)，其他条件不变，则；
③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C，则；
【答案】（1）①1，②见解析，③见解析；（2）①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（3）①4，②4，③2k
【分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当时，，而当时，，求出的值；补全图象；
（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；
（3）由图象的对称性，和四边形的面积与的关系，得出答案．
【详解】解：（1）当时，，而当时，，
，
故答案为：1；补全图象如图所示：
（2）根据（1）中的图象可得：①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
（3）如图，
①由，两点关于轴对称，由题意可得四边形是平行四边形，且，
②同①可知：，
③，
故答案为：4，4，．
【点睛】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．
5．（2022·江苏苏州·星海实验中学校考二模）背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点的横坐标分别为，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
【答案】（1）4；（2）①；②图见解析，性质如下（答案不唯一）：函数的图象是两个分支组成的曲线；函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称；当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大；③2，3，4，6．
【分析】（1）利用待定系数法解题；
（2）①设点A坐标为，继而解得点D的横坐标为，根据题意解题即可；②根据解析式在网格中描点，连线即可画出图象，根据图象的性质解题；③分两种种情况讨论，当过点的直线与x轴垂直时，或当过点的直线与x轴不垂直时，结合一元二次方程解题即可．
【详解】解：（1）由题意得，，
点A的坐标是，所以；
（2）①设点A坐标为，所以点D的横坐标为，
所以这个“Z函数”表达式为；
②画出的图象如图：
性质如下（答案不唯一）；
（a）函数的图象是两个分支组成的，是两条曲线
（b）函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称．
（c）当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大．
③第一种情况，当过点的直线与x轴垂直时，；
第二种情况，当过点的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为，
，即，
，
由题意得，
，
（a）当时，，解得；
（b）当时，，
解得，
当时，．解得；
当时，，解
所以x的值为．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
考向二、反比例函数与一次函数问题
6．（2020·江苏扬州·校考一模）如图，一次函数与反比例函数 的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出的的取值范围；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)8
【分析】（1）把A，B两点的坐标分别代入中，求得m，n的值，即可确定A，B两点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）将不等式转化为，找出图象中一次函数图象低于反比例函数图象部分对应的x的取值范围；
（3）分别过点A、B作轴，轴，垂足分别是E、C点．直线交x轴于D点，当时，求得D点坐标，继而可得，，，代入，求解即可．
【详解】（1）分别把，代入得，，
解得，，
所以点坐标为，点坐标为，
分别把，代入得：，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）根据图象可知：
当或时，；
（3）如图，分别过点A、B作轴，轴，垂足分别是E、C点．直线交x轴于D点．
当时，，解得，则点坐标为，
∴，
∵，，
∴，，
∴
．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数交点的问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、割补法求三角形的面积是解题的关键．
7．（2022·江苏镇江·模拟预测）如图，反比例函数的图象与过两点，的一次函数的图象在第二象限内相交于点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)在双曲线上是否存在点，使，若存在，请求出点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)； ；
(2)存在．点坐标为
【分析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）先利用两点间的距离公式计算出，，再证明，利用相似比计算出，则，于是可得到点坐标．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过两点，
∴，
解得，
所以一次函数解析式为；
把代入得，
解得，
则点坐标为，
把代入，
得，
所以反比例函数解析式为；
（2）解：存在．
∵，
∴， ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点坐标为．
【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、待定系数法求解析式、相似三角形的判定与性质．
8．（2022·江苏镇江·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点，并与轴交于点B．点C是线段上一点，的面积是面积的一半．
(1) ， ；
(2)求点的坐标；
(3)若将绕点顺时针旋转，得到，当点正好落在轴正半轴上时，判断此时点是否落在函数的图象上，并说明理由．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)不在，理由见解析．
【分析】（1）将分别代入，求解即可；
（2）设点，分别求出的面积和面积，根据题意，列方程求解即可；
（3）过作轴，根据求得的长度，再根据勾股定理求得的长度，求得点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：将分别代入，可得：
，
则，
故答案为：，；
（2）解：设点，
由（1）可得，
则，
由题意可得：，即
解得：
即
（3）解：不在，理由如下：
过作轴，如图：
由（2）可得，则，
由旋转的性质可得：，，
∴，
由勾股定理可得：
即
∴不在函数的图像上．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，勾股定理等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．
9．（2021·江苏苏州·校考二模）在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与一次函数的图象相交于横坐标为3的点A．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)如图，已知点在这个一次函数的图象上，点在反比例函数（）的图象上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点.如果点恰好是的中点，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据横坐标为3的点A在反比例函数（）的图象上求出点A坐标为，再代入，求出，问题得解；
（2）设点，则点，根据点在反比例函数（）的图象上，求出，，根据点在第一象限内，即可求出点的坐标为．
【详解】（1）解：∵横坐标为3的点A在反比例函数（）的图象上，
∴将代入得，
点A的坐标为，
∵点A在直线上，
∴，
，
一次函数的解析式为；
（2）解：设点，
∵点是的中点，
∴点，
点在反比例函数（）的图象上，
，
解得，，
点在第一象限内，
点的坐标为．
【点睛】本题为一次函数与反比例函数综合题，理解线段中点的坐标特点与函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题关键．
10．（2022·江苏泰州·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，有函数，，．
(1)若与相交于点，
①求与的值；
②结合图像，直接写出时的取值范围；
(2)在轴上有一点且，过点作轴平行线，分别交、、于点、、，经计算发现，不论取何值，的值均为定值，请求出此定值和点的坐标．
【答案】(1)①的值为，的值为；②
(2)①若从上到下为时，此定值为6，点的坐标为；②若从上到下为时，此定值为6，点的坐标为；③若与重合时，此定值为，点的坐标为，其中且
【分析】（1）①将点分别代入和，建立二元一次方程组，求解即可得，的值．②由①可得，，，则根据图像即可得出时的取值范围；
（2）由已知条件，分别表示出点，，的坐标，作出图形，根据图形可得出，进而可列方程求得的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：①与图像相交于点，
把分别代入和，得，解得，
的值为，的值为．
②，，，根据图像可知，时，；
（2）解：由题意，分三种情况，作图如下：
，，
，，，
若从上到下为时，如图①所示：，，

，
不论取何值，的值均为定值，
，该方程无解，故此种情况不成立；
若从上到下为时，如图②所示：，，

，
不论取何值，的值均为定值，
，解得或（由，故舍去），
此定值为6，点的坐标为；
若从上到下为时，如图③所示：，，

，
不论取何值，的值均为定值，
，解得或（由，故舍去），
此定值为6，点的坐标为；
若与重合，则，，，
，随着的变化，不可能为定值，故此种情况不成立；
若与重合，则，，，
，随着的变化，必为定值，即关于的方程有解，
，即，当时，解得，
，
，
当与重合时，此定值为，点的坐标为，其中且；
综上所述，不论取何值，的值均为定值，有①若从上到下为时，此定值为6，点的坐标为；②若从上到下为时，此定值为6，点的坐标为；③若与重合时，此定值为，点的坐标为，其中且．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像与性质是解答本题的关键．
考向三、反比例函数的实际应用
11．（2022·江苏徐州·统考二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间x的函数关系式；
(2)解释线段BC的实际意义；
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】(1)y＝；
(2)线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；
(3)恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害．
【分析】（1）应用待定系数法分段求出函数解析式即可；
（2）根据函数图象结合题意回答即可；
（3）把y＝10代入y＝中，即可求得结论．
【详解】（1）解：设线段AB解析式为y＝k1x＋b（k1≠0），
∵线段AB过点（0，10），（3，15），
代入得，解得：，
∴线段AB的解析式为：y＝x＋10（0≤x＜6），
∵B在线段AB上，当x＝6时，y＝20，
∴点B坐标为（6，20），
∴线段BC的解析式为：y＝20（6≤x＜10），
设双曲线CD解析式为：y＝（k2≠0），
∵C（10，20），
∴k2＝200，
∴双曲线CD的解析式为：y＝（10≤x≤24）；
∴y关于x的函数解析式为：y＝；
（2）线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；
（3）把y＝10代入y＝中，解得：x＝20，
∴20−10＝10，
答：恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害．
【点睛】本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数和常数函数的关系式．解答时应注意临界点的应用．
12．（2022·江苏盐城·统考二模）小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
(1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式，再将代入解析式，即可得的值；
（3）由题可知，饮水机的水温呈周期性变化，利用周期进行计算．
【详解】（1）解：当时，设．
将点，代入上式，
得，解得．

（2）解：当时，设，
将点代入上式，
得，解得，
，
将点代入，
得，解得．
（3）解：由题可知，开机分钟与开机分钟时饮水机的水温相等，
当时，．
小丽散步分钟回到家时，饮水机内的温度约为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求反比例函数解析式，根据自变量求函数值，解决本题的关键是熟练掌握待定系数法的应用．
13．（2022·江苏扬州·统考二模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时．T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：
(1)求T与x的函数关系式；
(2)观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为________．
(3)设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：
①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．
②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)①存在，不变的值为240；②当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应的周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千套．
【详解】（1）解：当0＜x≤8时，设，
根据表格中的数据，当x＝8时，T＝10，
∴，
解得：m＝120，
∴，
当8＜x≤24时，设，
根据表格中的数据，当x＝24时，T＝26，
∴，
解得：n＝1，
∴，
即：，
∴T与x的函数关系式为；
（2）解：当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为，
将x＝12，K＝32；x＝24，K＝20代入，
得：，
解得：，
∴当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为，
故答案为：；
（3）①存在，不变的值为240，
由函数图像得：当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为，
将x＝0，K＝8；x＝12，K＝32代入，
得：，
解得：，
∴当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为K＝2x＋8，
∴当0＜x≤8时，y＝KT＝(2x＋8)·＝240；
当8＜x≤12时，y＝KT＝(2x＋8)(x＋2)＝2x2＋12x＋16；
当12＜x≤24时，y＝KT＝(－x＋44)(x＋2)＝－x2＋42x＋88，
综上所述，在这24周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为240．
②（Ⅰ）当8＜x≤12时，y＝2x2＋12x＋16＝2(x＋3)2－2，抛物线的对称轴为直线x＝－3，
∴当8＜x≤12时，在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，
当2(x＋3)2－2＝286时，
解得：x1＝9，x2＝－15（舍去）；
当x＝12时，y取得最大值，最大值为2×(12＋3)2－2＝448，满足286≤y≤504；
当x＝9时，周销售量T取得最小值11，当x＝12时，T取得最大值14；
（Ⅱ）当12＜x≤24时，y＝－x2＋42x＋88＝－(x－21)2＋529，抛物线的对称轴为直线x＝21，
当x＝12时，y取得最小值，最小值为－(12－21)2＋529＝448，满足286≤y≤504；
当－(x－21)2＋529＝504时，
解得：x1＝16，x2＝26（舍去）；
当x＝12时，周销售量T取得最小值14，当x＝16时，T取得最大值18，
综上所述，当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应的周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千套．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，二次函数图像的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数图像的性质是解决本题的关键．
14．（2022·江苏南京·模拟预测）晨晨和明明是两名汽车爱好者，对甲、乙两种智能汽车进行空调制冷后舒适度测试，两人同时启动空调1小时后，开始记录数据，发现甲的舒适指数与空调启动时间成反比例关系，乙的舒适指数与空调启动时间的函数关系式为，函数图象如图，且在小时，乙的舒适指数最大．
(1)求m的值及乙的舒适指数最大值；
(2)当时，求的较大值．
【答案】(1)m的值为3，且乙的舒适指数最大值为10
(2)当w乙=9时，w乙-w甲的较大值为
【分析】（1）根据图象中给出的信息，可以得到图象上的点，，进而求出；由的值可以得到上的点，结合题意，在时，取得最大，可得出，代入点的坐标，可求出的值；
（2）由（1）可得到的解析式，求出时的值，再求出对应的的值，进而求出的值．
（1）
解：由题意，甲的舒适指数与空调启动时间成反比例关系，且的图象过点，，
由反比例函数的性质可得，，解得，（负值舍去）；
这两点的坐标为，，可得．
在3小时，乙的舒适指数最大，且过点，
，解得，
，
当时，．
的值为3，且乙的舒适指数最大值为10．
（2）
由（1）可得，，，
当，即时，
解得，，，
当，时，，则，
当时，，则，
，
当时，的较大值为．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质与二次函数的性质，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
15．（2021·江苏连云港·统考二模）我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息；
信息1：设第次线上销售水果（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
信息2：该水果的销售单价（万元/吨）与销售场次之间的函数关系式为
，且当时，；当时，．
请根据以上信息，解决下列问题．
（1）与之间的函数表达式为 ；
（2）若（万元/吨），求的值；
（3）在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）4；（3）第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元．
【分析】（1）根据“第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨”即可列出与之间的函数表达式为；
（2）根据当时，；当时，即可求出k1、k2的值，进而得到p与x的函数关系式为，再把代入分段函数，分别求出x=4，x=40，舍去不合题意的x的值，问题得解，
（3）设每场获得的利润为（万元），分和两种情况，求出w与x的函数关系式，再分别求出最大值，进行比较，问题得解．
【详解】解：（1）∵第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
∴与之间的函数表达式为；
（2）当时，，所以有，解之得，．
当时，，所以有，解之得，．
∴，
当时，，解之得，
当时，，解得．，所以舍去．
∴的值为4；
（3）设每场获得的利润为（万元），则有
当时，，
∴当时，最大，且最大值为万元．
当时，，
∴当时，最大，且最大值为万元．
∴第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元．
【点睛】本题为一次函数、二次函数、反比例函数的综合应用，考查了列一次函数解析式，分段函数、二次函数的性质，反比例函数的性质等知识，综合性较强，熟练掌握各函数性质是解题关键，注意当时，函数不是反比例函数，但注意借鉴反比例函数性质即可求解．
考向四、反比例函数新定义及阅读问题
16．（2022·江苏南通·统考二模）定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．
(1)当时，下列函数有界的是______（只要填序号）；
①；②；③．
(2)当时，一次函数的界值不大于2，求k的取值范围；
(3)当时，二次函数的界值为，求a的值．
【答案】(1)①③
(2)或，函数
(3)或
【分析】（1）利用函数有意义时自变量x的取值范围结合有界函数的定义判定；
（2）分情况讨论，①k＞0时；②k＜0时，然后求出x=m和x=m+2时的函数值，再结合有界函数与界高的定义列出方程求得k的取值，最后得到一次函数的解析式；
（3）先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，从而求得a≤x≤a+2时的最大值与最小值，再结合界值为求得a的值．
【详解】（1）解：函数，
∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，；
∵，
∴，
∴①有界；
函数，-2＜0，
∴函数的图像在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
或
∴②无界
如图，
函数的称轴为，
∵-1＜0，
∴当时，y随x增大而增大，

，
如图，
③有界；
故答案为：①③．
（2）解：当时，；当时，．
①当时，即时，y随x的增大而增大，由题意得
，解得，．
∴．
②当时，即时，y随x的增大而减小，由题意得
，解得，．
∴．
∴k的取值范围为或．
（3）解：∵，
∴该抛物线开口向上，对称轴为．
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
令，得；令，得；令，得．
①当，即时，由题意得，，解得（舍去）；
②当，即时，由题意得，，解得，（舍去）；
③当，即时，由题意得，，解得，（舍去）；
④当，即时，由题意得，，解得（舍去）．
综上所述，a的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的增减性，解题的关键是熟练利用函数的性质进行分类讨论．
17．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点”．
(1)分别判断的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．
(2)如图①，设函数的图象上的“互反点”分别为点过点B作轴，垂足为C．当的面积为5时，求b的值；
(3)如图②，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)的图象上不存在“互反点”；是的图象上的“互反点”
(2)或
(3)或
【分析】（1）由定义可知，函数与的交点即为“互反点”；
（2）求出，，可得，求出b的值；
（3）函数关于直线的对称抛物线解析式为，联立方程组，当时，，因此当时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；函数与直线的交点为，当点在直线上时，解得或，结合图象可知：时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
【详解】（1）解：中，，
∴的图象上不存在“互反点”；
中，当时，，
解得或，
是的图象上的“互反点”；
（2）解：中，当时，，
解得，
，
中，当时，，
解得，
，
，
∴，
解得或；
（3）解：函数关于直线的对称抛物线解析式为，
由定义可知，“互反点”在直线上，
联立方程组，
整理得，
，
解得，
当时，与没有交点，此时与有两个交点，
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当时，，
∴函数与直线的交点为，
当点在直线上时，，解得或，
当时，两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当时，两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
综上所述：或时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键．
18．（2022·江苏泰州·统考一模）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值是面积数值的2倍，则称这个点为“二倍点”．例如，点是“二倍点”．
(1)在点，，中，是“二倍点”的有________；
(2)若点为双曲线上任意一点，将点向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到点，求证：点为“二倍点”．
(3)若“二倍点”在抛物线的图像上，“二倍点”在一次函数的图像上，轴上有一点，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）先分别求出过一点分别作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成矩形的周长和面积，再根据“二倍点”定义进行判断即可；
（2）设，再根据平移写出，分别求出过一点分别作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成矩形的周长和面积，再根据“二倍点”定义进行证明即可；
（3）设，分别求出过一点分别作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成矩形的周长和面积，再根据“二倍点”定义即可求出坐标，再根据勾股定理的逆定理进行证明即可．
（1）
过分别作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成矩形的面积为，周长为
是4的2倍
为“二倍点”
过分别作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成矩形的面积为，周长为
不是1的2倍
不是“二倍点”
过分别作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成矩形的面积为，周长为
不是18的2倍
不是“二倍点”
综上，点，，中，是“二倍点”的是
故答案为：；
（2）
点为双曲线上任意一点
设
将点向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到点
过分别作坐标轴的垂线，
两垂线与坐标轴围成矩形的面积为
周长为
两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值是面积数值的2倍
点是“二倍点”
（3）
是直角三角形，理由如下
“二倍点”在抛物线的图像上，“二倍点”在一次函数的图像上
设
过分别作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成矩形的面积为，周长为
过分别作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成矩形的面积为，周长为
由“二倍点”得定义可得，
，
解得或（舍去），或0（舍去）

是直角三角形
【点睛】本题属于新定义题型，考查了矩形的面积及周长、反比例函数、一次函数及二次函数上的点的坐标，解一元二次方程、勾股定理的逆定理等，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A为函数图像上一动点，过A作y轴的平行线交直线：于点B，点P坐标为．当时，点恰好落在的函数图像上．
(1)求函数的解析式；
(2)以AB、AP为邻边作平行四边形
①若A的横坐标为1，点P在AB的右侧，且点C在函数的图像上，求的值；
②若平行四边形为正方形，求点A坐标；
(3)在点A运动过程中存在一点P，使恒成立，求a的值．
【答案】(1)
(2)①；②或
(3)
【分析】（1）用待定系数法直接求反比例函数解析式即可；
（2）①根据平行四边形的性质先表示出C点坐标，再代入解析式求解即可；
②根据四边形的性质可得，据此建立关于a的方程，求解即可；
（3）设，则，过P作于Q，可得，根据，建立方程，求解即可．
（1）
当时，，
∴，
∴函数的解析式为；
（2）
①由题意，得、，
∴，
∵四边形ABCP为平行四边形，
∴，
∵点，
∴，
∵点C在函数图像上，
∴，
解，得，
∵，
∴；
②若四边形ABCP为正方形，则，，
∴，，
∴，，
∴，
解，得或，
∴或；
（3）
设，则
∴，
过P作于Q，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意知，当t取任意正实数时上式恒成立，
故且，
经验证，求得．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，平行四边形的性质，正方形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．（2022·江苏泰州·统考二模）[定义]平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．
例如，图1中，矩形ABCD的边轴，轴，且顶点A、C在反比例函数的图像上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”
[解决问题]
(1)已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①，；②A（1，2），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 ；（填序号）
(2)如图1，已知点是反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式：
(3)若反比例函数的“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．）
【答案】(1)①③
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质，根据点的坐标，符合同一个反比例函数即可求解；
（2）根据矩形的性质求得的坐标，进而求得点的坐标，待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据反比例函数图象、矩形的中心对称性质，结合图形可知在反比例函数图象上，设，，则，，求得的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
即满足同一个反比例函数，
②A（1，2），C（2，3）；，
即不满足同一个反比例函数，
③A（3，4），C（2，6），，
即满足同一个反比例函数，
故答案为：①③
（2）点是反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，
则,，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
（3）证明：在上，设，，则，
设直线的解析式为，
，
解得，
即，
直线过原点．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数的中心对称形，反比例函数与一次函数，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
考向五、反比例函数与几何压轴
21．（2022·江苏苏州·统考模拟预测）如图，已知点P在反比例函数上，过点P分别作PA⊥x轴，垂足为点A，PB⊥y轴，垂足为点B，连接AB，将△PAB绕点A顺时针旋转90°到△QAC，交反比例函数图像于点D．
(1)若点P（2，4），求；
(2)若CD＝1，，求反比例函数解析式．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）过点D作DE⊥PA于点E，证明四边形EAQD是矩形，根据DE=QA=PA=4，代入三角形面积公式解答；
（2）设P(m,n)，则D(m+n,m-1)，得到mn=(m+n)(m-1)，， 根据，推出AP：AE=3：1，得到n=3(m-1)，推出，求出m=3，n=6，k=18，即得答案．
【详解】（1）过点D作DE⊥PA于点E，
则∠AED=90°，
∵PA⊥x轴，垂足为点A，
∴∠PAQ=90°，
∵PB⊥y轴，垂足为点B，
∴PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
由旋转知，∠AQC=∠APB=90°，
∴∠EDQ=360°-（∠AED+∠EAQ+∠AQD）=90°，
∴∠EDQ=∠AED=∠EAQ=∠AQD=90°，
∴四边形EAQD是矩形，
∵P（2,4）
∴PA=4
∴DE=QA=PA=4，
∴；
（2）设P(m,n)，则D(m+n,m-1)，
∴mn=(m+n)(m-1)，
∴，
∵AQ=DE，AE=DQ，AD=DA，
∴△ADQ≌△DAE(SSS)，
∴，
∵，
∴
，
∴AP=3AE，
∴n=3(m-1)，
∴，，
∴m=1，或m=3，
∴n=0（舍去），或n=6，
∴k=18，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数，旋转，三角形面积，解决问题的关键是添辅助线构建矩形，熟练运用矩形的边角性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的性质，旋转的性质，同高三角形的面积的性质．
22．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，A（a，at－2）、B（b，bt－2）是反比例函数（k≠0）的图象上两点，直线AB与x轴交于点C、与y轴交于点D．
(1)求点D坐标；
(2)用t的代数式表示a+b；
(3)若A（-3，1）
①已知M（x1，y1）、N（x2，y2）（x1＜x2） 是线段AB上两点，MN：AB=3：4，且线段MN与双曲线无交点，求x1的取值范围；
②若经过点D的直线y=mx+n与反比例函数的图像分别交于P、Q两点，且△POQ内有横坐标和纵坐标都为整数的点共5个，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)D（0，-2）
(2)
(3)①-3< x 10，
∴2+2，即18=+，
解得a=3或a=6，经检验，a=3或a=6都是原方程的解，
∴点E的坐标为(6，3)，
∴四边形OABC是正方形，且边长为6，
过点O作OF⊥DE于点F，
∵点D(3，6)，点E(6，3)，
∴CD=BD=BE=AE=3，
∴DE=3，OD=，
∵S△ODE=6×6-×6×3-×6×3-×3×3=，
S△ODE=×DE×OF=×3×OF=，
∴OF=3，
∴DF=3，
∴∠ODE的正切值=．
【点睛】本题考查了反比例与几何的综合题，涉及待定系数法、解直角三角形、正方形性质与应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标、相关线段的长度．
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
一、解答题
1．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点．
(1)_________，_________；
(2)连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】(1)4，2
(2)点的坐标为、
【分析】对于（1），将点A的坐标代入两个关系式，即可得出答案；
对于（2），先求出AO，BO，CO，再确定点D的位置，然后分两种情况和，再根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可．
【详解】（1）将点A（1，4）代入一次函数y=2x+b，得
，
解得，
一次函数的关系式为；
将点A（1，4）代入反比例函数，得
，
反比例函数的关系式为．
故答案为：4，2；
（2）点A与点C关于原点对称，可知点C的坐标是（-1，-4）．
当x=0时，y=2，
∴点B（0，2），
∴OB=2．
根据勾股定理可知．
当点落在轴的正半轴上，则，
∴与不可能相似．
当点落在轴的负半轴上，
若，
则.
∵，
∴，
∴；
若，则．
∵，，
∴，
∴．
综上所述：点的坐标为、．
【点睛】这是一道关于一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求关系式，相似三角形的性质和判定等．
2．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；
(2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
【答案】(1)k的值为，的值为6
(2)或
【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
（2）当时，．
∴．
∵为x轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．点，点的纵坐标为－2．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）通过点P坐标求出反比例函数解析式，再通过解析式求出点Q坐标，从而解出PQ一次函数解析式；
（2）令PQ与轴的交点为M，则三角形POQ的面积为OM乘以点P横坐标除以2加上OM乘以点Q横坐标除以2即可．
【详解】（1）将代入，解得，
∴反比例函数表达式为．
当时，代入，解得，即．
将、代入，
得，解得．
∴一次函数表达式为．
（2）设一次函数的图像与轴交点为，
将代入，得，即．
∵，，，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键．
4．如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．
（1）k＝ ；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： ．
【答案】（1）2；（2）见解析；（3），．
【分析】（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值；
（2）根据AAS可证，根据全等三角形面积相等即可得证结论；
（3）设A点坐标为（a，），则可得C（0，），D（0，﹣），根据勾股定理求出a值，即可求得A点的坐标．
【详解】解：（1）点是反比例函数图象上的点，
，
解得，
故答案为：2；
（2）在和中，
，
，
，
点坐标为，则可得，
，，
即，
整理得；
（3）设点坐标为，
则，，
，，
，
即，
解得（舍去）或，
点的坐标为，．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键．
5．如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是 （只填序号）．
【答案】（1），见解析；（2）见解析，①（也可以选择②）
【分析】（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A、B两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后作差比较即可；
（2）若选择条件①，由面积的值及OC的长度，可得OD的长度，从而可得点B的坐标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k；若选择条件②，由DB=6及OC=2，可得BE的长度，从而可得AE长度，此长度即为A、B两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得k．
【详解】（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故；
当x=-6时，；当x=-2时，
∵，k＜0
∴
即
（2）选择条件①
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴OD∙OC=2
∵OC=2
∴OD=1
即
∴点B的坐标为(-6,1)
把点B的坐标代入y＝中，得k=-6
若选择条件②，即BE=2AE
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴DE=OC，CE=OD
∵OC=2，DB=6
∴BE=DB-DE=DB-OC=4
∴
∵AE=AC-CE=AC-OD=
即
由（1）知：
∴k=-6
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
6．定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．
(1)在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有___________（填序号）；
(2)若y关于x的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若y关于x的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【答案】(1)②③
(2)3或；
(3)
【分析】（1）根据“n阶方点”的定义逐个判断即可；
（2）如图作正方形，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出a的值，并舍去不合题意的值即可得；
（3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（n，－n）和点（－n， n）时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得n的取值范围．
（1）解：∵点到x轴的距离为2，大于1，∴不是反比例函数图象的“1阶方点”，∵点和点都在反比例函数的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于1，∴和是反比例函数图象的“1阶方点”，故答案为：②③；
（2）如图作正方形，四个顶点坐标分别为（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2），当a＞0时，若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，则过点（－2，2）或（2，－2），把（－2，2）代入得：，解得：（舍去）；把（2，－2）代入得：，解得：；当a＜0时，若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，则过点（2，2）或（－2，－2），把（2，2）代入得：，解得：；把（－2，－2）代入得：，解得：（舍去）；综上，a的值为3或；
（3）∵二次函数图象的顶点坐标为（n，），∴二次函数图象的顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，∵y关于x的二次函数图象的“n阶方点”一定存在，∴二次函数的图象与以顶点坐标为（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n，－n）的正方形有交点，如图，当过点（n，－n）时，将（n，－n）代入得：，解得：，当过点（－n，n）时，将（－n，n）代入得：，解得：或（舍去），由图可知，若y关于x的二次函数图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为：．
【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“n阶方点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
7．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．
【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
【详解】解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；
∵函数，令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数，令y=x，则，
解得：(负值已舍)，
∴函数的“等值点”为A(，)；
∵函数，令y=x，则，
解得：，
∴函数的“等值点”为B(，)；
的面积为，
即，
解得：或；
（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．
∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，
∴函数W的解析式为，
令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y=x，则，即，
当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；
当时，观察图象，恰有2个“等值点”；
当时，
∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，
∴函数W2没有“等值点”，
∴，
整理得：，
解得：．
综上，m的取值范围为或．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
【答案】(1)点在这个反比例函数的图像上，理由见解析
(2)①，；②点的坐标为
【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，再结合等腰三角形三线合一得到为边上的中线，即，求出，进而求得，于是得到点在这个反比例函数的图像上；
（2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论．
【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图像上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．如图，二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点B(3，1).
(1)求这两个函数的表达式；
(2)当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围；
(3)平行于轴的直线l与函数的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图像相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）由图像直接得出结论即可；
（3）根据点和点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点，
，，
解得，，
二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：二次函数的解析式为，
对称轴为直线，
由图像知，当随的增大而增大且时，；
（3）解：由题意作图如下：
当时，，
，
，
的边上的高与的边上的高相等，
与的面积相等，
，
即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，
．
【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数的图像及性质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
10．通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．
①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【答案】（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解
【分析】（1）①先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；
（2）①把m，n的值直接代入 =进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵，
∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴，
∴，即：，
∴，即：（负值舍去），
∵E是的中点，
∴==；
②∵，，
∴＞，即：＞．
故答案是：＞；
（2）①当时， ==，
当时， ==，
故答案是：，1；
②l的最小值是：1，理由如下：
由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，
==
=[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）]
= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积]
=(1+1+1+1+③的面积)≥1，
∴l的最小值是1．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中．四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值．
【答案】
【分析】先根据一次函数求出点C的坐标，进而可表示出点B的横坐标，再代入反比例函数即可求得点B的坐标，再结合点D为AB的中点可得点D的坐标，最后将点D坐标代入一次函数即可求得答案．
【详解】解：把代入，得．
∴．
∵轴，
∴点横坐标为．
把代入，得．
∴．
∵点为的中点，
∴．
∴．
∵点在直线上，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
12．如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于点A(n，2)和点B．
（1）n＝ ，k＝ ；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）﹣4，﹣；（2）C(0，2)；（3）m＜﹣2或m＞2
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求得n，再把求得的A点坐标代入正比例函数解析式求得k；
（2）可设点C（0，b），只要求出b的值就行，求值一般的方法是相似和勾股定理，此题用相似，只需证明△ACD∽△CBE即可；
（3）在x轴上找到点P1，P2，使AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，则点P在P1的左边，在P2的右边就符合要求了．
【详解】解：（1）把A（n，2）代入反比例函数y＝﹣中，得n＝﹣4，
∴ A（﹣4，2），
把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k＝﹣，
故答案为：﹣4；﹣；
（2）如图1，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，
∵ A（﹣4，2），
∴ 根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），
设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝4，CE＝b+2，
∵ ∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°，
∴ ∠ACO＝∠CBE，
∵ ∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴ △ACD∽△CBE，
∴ ，即，
解得，b＝2，或b＝﹣2（舍），
∴ C（0，2）；
（3）如图2，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴ ，
∴ P1（﹣2，0），P2（2，0），
∵ OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴ 四边形AP1BP2为矩形，
∴ AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，
∵ 点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，
∴ P点必在P1的左边或P2的右边，
∴ m＜﹣2或m＞2．
【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合题，涉及用待定系数法求解析式、利用相似三角形的判定与性质求点的坐标、借助做辅助线构造矩形求满足条件的参数范围，解答关键是认真审题，分析图象，找到相关信息的关联点，进而推理、计算．
13．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数 的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为 ，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）设直线AB为
把点、代入解析式得：

解得：
直线为
把代入得：

把代入：
，

（2）设 轴，
则 由＜＜，


即当时，
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
14．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．
（1）求a的值及正比例函数的表达式；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）a=2；y=2x；（2）
【分析】（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．
（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）已知反比例函数解析式为y=，点A(a，4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入，解得a=2，故A点坐标为(2，4)，又∵A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x．
故a=2；y=2x．
（2）根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b，0)，则C点坐标为(b，)、D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C点坐标为(5，)，则在△ACD中，=．
故△ACD的面积为．
【点睛】（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．
（2）本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．
15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．
（1）________，点的坐标为________；
（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图像于点，求面积的最大值．
【答案】（1）m=6，；（2）当a=1时，面积的最大值为
【分析】（1）将点代入反比例函数解析式求出m，根据坐标中点公式求出点C的横坐标即可；
（2）由AC两点坐标求出直线AB的解析式为，设D坐标为，则，进而得到，即可解答
【详解】解：（1）把点代入反比例函数，得：，
解得：m=6，
∵A点横坐标为：4，B点横坐标为0，故C点横坐标为：，
故答案为：6，；
（2）设直线对应的函数表达式为．
将，代入得，解得．
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在线段上，可设，
因为轴，交反比例函数图像于点．所以．
所以．
所以当a=1时，面积的最大值为．
【点睛】本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积．
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
如图②，S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
如图③，S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
x
-4
-2
-1
1
2
4
1
2
4
-4
-2
-1
x/周
8
24
T/千套
10
26