2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积-专项训练模拟练习【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积-专项训练模拟练习【含解析】，共11页。
一、单选题
1．已知向量a＝(－2,6)，b＝(1，x)，若a与b反向，则a·(3a＋b)＝( )
A．－30 B．30
C．－100 D．100
2．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|＝( )
A．13＋6eq \r(2) B．2eq \r(5)
C.eq \r(30) D．eq \r(34)
3．已知a，b是单位向量，若|a＋2b|＝|2a－b|，则a，b的夹角是( )
A.eq \f(π,3) B．eq \f(π,2)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(3π,4)
4．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若(a＋b)⊥(a－b)，则x等于( )
A．－2 B．±eq \r(2)
C．±2 D．2
5．已知|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝3，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A．－eq \f(1,2)b B．－b
C．－2b D．－4b
6．若AC⊥BC，AC＝BC＝1，点P是△ABC内一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D．(－1,1)
7．已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝eq \r(7)a＋eq \r(2)b，则sin〈a，c〉＝( )
A.eq \f(\r(7),3) B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(7),9) D．eq \f(\r(2),9)
8．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围可以是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) B．(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))
二、多选题
9．已知向量a＋b＝(1,1)，a－b＝(－3,1)，c＝(1,1)，设a，b的夹角为θ，则( )
A．|a|＝|b| B．a⊥c
C．b∥c D．θ＝135°
10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是( )
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b上的投影向量为eq \f(\r(2),2)b
C．2m＋n＝4
D．mn的最大值为2
11．如图，点A，B在圆C上，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值( )
A．与圆C的半径有关 B．与圆C的半径无关
C．与弦AB的长度有关 D．与点A，B的位置有关
三、填空题
12．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cs a，b＝ .
13．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝ .
14．已知e1，e2为单位向量且夹角为eq \f(2π,3)，设a＝3e1＋2e2，b＝3e2，则a在b上的投影向量为 .
15．已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝ .
四、解答题
16．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．已知向量a＝(0,2)，b＝(2eq \r(3)，x)，且a与b的夹角为eq \f(π,3)，则x＝( )
A．－2 B．2
C．1 D．－1
2．如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若eq \(CE,\s\up6(→))＝－7eq \(DE,\s\up6(→))，3eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝( )
A．11 B．10
C．－10 D．－11
3．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cs〈m，n〉＝eq \f(1,3).若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
C．eq \f(9,4) D．－eq \f(9,4)
4．(多选题)已知向量a＝(3,4)，b＝(cs θ，sin θ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是( )
A．若a⊥b，则tan θ＝－eq \f(3,4)
B．存在θ，使得|a－b|＝|a|＋|b|
C．若向量b在a方向上的投影向量为eq \f(\r(2),10)a，则向量a与b的夹角为eq \f(π,4)
D．与向量a共线的单位向量是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))
5．在△ABC中，C＝eq \f(π,2)，AC＝BC＝2，M为边AC的中点，若点P在边AB上运动(点P可与A，B重合)，则eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))的最小值为 .
6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝eq \f(3π,4)，设点D为线段OA上的动点，求|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最小值；
(2)若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq \(BC,\s\up6(→))，n＝(1－cs θ，sin θ－2cs θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
参考答案
【A级 基础巩固】
一、单选题
1．( D )[解析] 由已知得a与b共线，则－2×x＝1×6，解得x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以3a＋b＝3(－2,6)＋(1，－3)＝(－5,15)，因此a·(3a＋b)＝(－2,6)·(－5,15)＝100.故选D.
2．( D )[解析] ∵a＝(1,1)，∴|a|＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2).∴a·b＝|a||b|cs 45°＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.∴|3a＋b|＝eq \r(9a2＋b2＋6a·b)＝eq \r(18＋4＋12)＝eq \r(34).故选D.
3．( B )[解析] 根据向量模的数量积运算得a·b＝0，进而a，b的夹角是eq \f(π,2).因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1，因为|a＋2b|＝|2a－b|，所以|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2，所以12＋4a·b＋4×12＝4×12－4a·b＋12，即a·b＝0，所以a⊥b，即a，b的夹角是eq \f(π,2).故选B.
4．( C )[解析] 解法一：a＋b＝(1＋x,3)，a－b＝(1－x,1)，因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(1＋x)(1－x)＋3＝0，解得x＝±2.
解法二：因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以a2－b2＝0，所以|a|＝|b|，所以x＝±2.
5．( A )[解析] 首先根据|a－b|＝3，求出a与b的夹角，再根据向量a在向量b上的投影向量的定义即可求解．由题意可知，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝9，又|a|＝1，|b|＝2，代入可得1－2a·b＋4＝9，a·b＝－2，则a·b＝|a|·|b|·cs θ＝－2，其中θ为a与b的夹角，解得cs θ＝－1.则向量a在向量b上的投影向量为|a|cs θ·eq \f(b,|b|)＝－eq \f(1,2)b.故选A.
6．( A )[解析] 建立平面直角坐标系，设出点P坐标，根据向量数量积的坐标运算，转化成坐标间的关系；根据坐标的取值范围确定数量积的范围．建立平面直角坐标系，由AC⊥BC，AC＝BC＝1，∴A(0,1)，B(1,0)，
设点P(x，y)，则eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x,1－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(1－x，－y)；又P是△ABC内的一点，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>0，,x＋y