2025高考数学一轮复习-8.7-双曲线-专项训练模拟练习【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.7-双曲线-专项训练模拟练习【含解析】，共13页。
一、单选题
1．已知圆M：(x＋2)2＋y2＝4，M为圆心，P为圆上任意一点，定点A(2,0)，线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，则当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1(x≤－2)B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1
C．x2－eq \f(y2,3)＝1(x≤－1)D．x2－eq \f(y2,3)＝1
2．点(0,4)到双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为eq \f(16,5)，则双曲线的离心率为( )
A.eq \f(5\r(6),12) B．eq \f(4,3)
C．eq \f(5,3) D．5
3．设F1，F2是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积是( )
A.eq \f(7,2) B．3
C．eq \f(5,2) D．2
4．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，eq \r(3))，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4eq \r(7)x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,21)－eq \f(y2,28)＝1 B．eq \f(x2,28)－eq \f(y2,21)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
5．已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左焦点为F1，焦距为4，点A的坐标为(2,1)，P为双曲线右支上一动点，则|PF1|－|PA|的最大值为( )
A．2eq \r(2) B．eq \r(17)
C．2eq \r(2)＋1 D．2eq \r(2)＋eq \r(5)
6．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上一点．PF2⊥F1F2，若PF1交于y轴于点A，且AF2垂直于∠F1PF2的角平分线，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(3) B．eq \f(\r(5),2)
C．eq \r(5) D．eq \f(\r(6),2)
7．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,12)＝1(a>0)的左右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为eq \r(3)x＋y＝0，若点M在双曲线C上，且|MF1|＝5，则|MF2|＝( )
A．9 B．1
C．1或9 D．1或7
8．如图，F1、F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A、B两点．若A是BF2中点且BF1⊥BF2则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2eq \r(3)x B．y＝±2eq \r(2)x
C．y＝±eq \r(3)x D．y＝±eq \r(2)x
二、多选题
9．已知双曲线C：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的任意一点，则( )
A．双曲线C的离心率为eq \f(2\r(3),3)
B．焦点到渐近线的距离为3
C．点P到两条渐近线的距离之积为eq \f(9,4)
D．当P与A、B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为3
10．已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,4)－y2＝1的左、右焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1F2为直径的圆经过点M，则( )
A．△MF1F2的面积为eq \r(5)
B．点M的横坐标为2或－2
C．渐近线方程为y＝±eq \f(1,4)x
D．以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝3
11．下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为eq \f(10\r(3),3)，下底外直径为eq \f(2\r(39),3)，双曲线C与坐标轴交于D，E，则( )
A．双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1
B．双曲线eq \f(y2,3)－x2＝1与双曲线C共渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3
12．已知双曲线E：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为eq \f(\r(2),2)的直线l与E的右支交于点P，若∠F1PF2＝eq \f(π,4)，则( )
A．E的离心率为eq \r(3)
B．E的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x
C．P到直线x＝1的距离为2eq \r(2)
D．以实轴为直径的圆与l相切
三、填空题
13．已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2,0)，离心率为eq \r(2)，则C的方程为 .
14．点A1，A2是双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点．若直线x＝eq \f(c2,a)上存在点P，使得∠A1PA2＝eq \f(π,6)，则该双曲线的离心率取值范围为 .
15．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，右支上有一点M，满足∠F1MF2＝90°，△F1MF2的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为 .
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(5)，其中一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( )
A.eq \f(1,5) B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(2\r(5),5) D．eq \f(4\r(5),5)
2．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，B为虚轴上端点，M是BF中点，O为坐标原点，OM交双曲线右支于N，若FN垂直于x轴，则双曲线C的离心率为( )
A.eq \r(2) B．2
C．eq \r(3) D．eq \f(2\r(3),3)
3．已知F为双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的左焦点，P为其右支上一点，点A(0，－6)，则△APF周长的最小值为( )
A．4＋6eq \r(2) B．4＋6eq \r(5)
C．6＋6eq \r(2) D．6＋6eq \r(5)
4.设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，eq \(F2A,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝4a2，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B．2
C．eq \r(5) D．eq \r(7)
5．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1
参考答案
【A级 基础巩固】
一、单选题
1．( D )[解析] 因为线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，所以有|QA|＝|QP|，由(x＋2)2＋y2＝4，得M(－2,0)，该圆的半径为2，因为点P在圆上运动时，所以有||QP|－|QM||＝2，于是有||QA|－|QM||＝2，所以点Q的轨迹是以A，M为焦点的双曲线，所以2c＝4,2a＝2⇒c＝2，a＝1⇒b2＝c2－a2＝3，所以点Q的轨迹方程为x2－eq \f(y2,3)＝1，故选D.
2．( C )[解析] 由题意可得双曲线的一条渐近线为：by－ax＝0，所以(0,4)到by－ax＝0的距离为d＝eq \f(4b,\r(b2＋a2))＝eq \f(4b,c)＝eq \f(16,5)，∴eq \f(c,b)＝eq \f(5,4)，不妨设b＝4m(m>0)，则c＝5m，a＝eq \r(c2－b2)＝3m，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,3).故选C.
3．( B )[解析] 由题意可得a＝1，b＝eq \r(3)，c＝2，
∴|F1F2|＝2c＝4，∵|OP|＝2，
∴|OP|＝eq \f(1,2)|F1F2|，∴△PF1F2为直角三角形，
∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝16，
∵||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，
∴|PF1|·|PF2|＝6，
∴△PF1F2的面积为S＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝3，故选B.
4．( D )[解析] 双曲线的一条渐近线是y＝eq \f(b,a)x，则eq \r(3)＝eq \f(2b,a)①，抛物线y2＝4eq \r(7)x的准线是x＝－eq \r(7)，因此c＝eq \r(7)，即a2＋b2＝c2＝7②，由①②联立解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\r(3)，))所以双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1.故选D.
5．( C )[解析] 设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦距为2c，由题意得a＝b，c＝2，则c2＝4＝2a2，解得a＝eq \r(2)，由双曲线的定义得|PF1|－|PA|＝2a＋|PF2|－|PA|，所以|PF1|－|PA|的最大值即2a＋|PF2|－|PA|的最大值，如图，连接AF2与双曲线交于E，F两点，由题意得当点P在F处时2a＋|PF2|－|PA|最大，(2a＋|PF2|－|PA|)max＝2a＋|AF2|＝2eq \r(2)＋1.故选C.
6．( A )[解析] 因为AF2垂直于∠F1PF2的角平分线，所以|PA|＝|PF2|，由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，可知|AF1|＝2a，因为PF2⊥F1F2，所以|PF2|＝eq \f(b2,a)，且AO∥PF2，所以|AF1|＝|AP|，即eq \f(b2,a)＝2a，又b2＝c2－a2，解得c＝eq \r(3)a，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3).
7．( A )[解析] 双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(2\r(3),a)x，∴eq \f(2\r(3),a)＝eq \r(3)，∴a＝2，从而c＝eq \r(a2＋12)＝4，又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(||MF1|－|MF2||＝2a＝4，,|MF2|≥c－a＝2，,|MF1|＝5，))∴|MF2|＝9.故选A.
8．( A )[解析] 设|AB|＝|AF2|＝m，|AF1|＝|AF2|＋2a＝m＋2a，|BF1|＝|BF2|－2a＝2m－2a，|BF1|2＋|BA|2＝|AF1|2，|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，(2m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2①，(2m－2a)2＋4m2＝4c2②，由①可得m＝3a，代入②式化简得13a2＝c2，∴12a2＝b2，∴eq \f(b,a)＝2eq \r(3)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2eq \r(3)x.故选A.
二、多选题
9．( BCD )[解析] 双曲线C：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1的a＝eq \r(3)，b＝3，c＝2eq \r(3)，则e＝eq \f(c,a)＝2，故A错误；
焦点(±2eq \r(3)，0)到渐近线3x±eq \r(3)y＝0的距离为eq \f(6\r(3),\r(9＋3))＝3，故B正确；
设P(m，n)，可得3m2－n2＝9，
则点P到两条渐近线的距离之积为
eq \f(|3m＋\r(3)n|·|3m－\r(3)n|,\r(9＋3)·\r(9＋3))＝eq \f(|9m2－3n2|,12)＝eq \f(27,12)＝eq \f(9,4)，故C正确；
设P(m，n)，可得3m2－n2＝9，
又A(－eq \r(3)，0)，B(eq \r(3)，0)，
可得kPA·kPB＝eq \f(n,m＋\r(3))·eq \f(n,m－\r(3))＝eq \f(n2,m2－3)＝eq \f(3m2－9,m2－3)＝3，知D正确．
故选BCD.
10．( AB )[解析] 由双曲线方程知a＝2，b＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，故C错误；又c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(5)，所以F1F2为直径的圆方程为x2＋y2＝5，故D错误；由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝±\f(1,2)x，,x2＋y2＝5，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝±1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝±1，))所以点M的横坐标为2或－2，故B正确；又|yM|＝1，所以S△MF1F2＝eq \f(1,2)·|F1F2|·|yM|＝eq \r(5)，故A正确．故选AB.
11．( ABD )[解析] 依题意可知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(3),3)，4))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(39),3)，－2))，
将M、N的坐标分别代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(25,3a2)－\f(16,b2)＝1，,\f(13,3a2)－\f(4,b2)＝1，))解得a2＝3，b2＝9，
所以双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1，其渐近线为y＝±eq \r(3)x，故A正确；
对于B，由eq \f(y2,3)－x2＝1，可知其渐近线为y＝±eq \r(3)x，故B正确；
对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，故C错误；
对于D，设双曲线上一点P(x0，y0)，y0≠0，则eq \f(x\\al(2,0),3)－eq \f(y\\al(2,0),9)＝1，即yeq \\al(2,0)＝3xeq \\al(2,0)－9，
由题可知D(－eq \r(3)，0)，E(eq \r(3)，0)，
则kPD＝eq \f(y0,x0＋\r(3))，kPE＝eq \f(y0,x0－\r(3))，
kPDkPE＝eq \f(y0,x0＋\r(3))·eq \f(y0,x0－\r(3))＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－3)＝3，
即存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，故D正确．故选ABD.
12．( ACD )[解析] 由双曲线方程可知，a2＝3，设∠PF1F2＝θ，则tan θ＝eq \f(\r(2),2)，那么cs θ＝eq \f(\r(6),3)，sin θ＝eq \f(\r(3),3)，作PA⊥x轴，垂足为点A，设|PA|＝h，|PF2|＝x，则|PF1|＝x＋2eq \r(3)，所以eq \f(h,x)＝sin(45°＋θ)＝eq \f(2\r(3)＋\r(6),6)，eq \f(h,x＋2\r(3))＝sin θ＝eq \f(\r(3),3)，两式解得x＝2eq \r(6)，即|PF2|＝2eq \r(6)，|PF1|＝2eq \r(6)＋2eq \r(3)，△PF1F2中，根据余弦定理，可得4c2＝(2eq \r(6)＋2eq \r(3))2＋(2eq \r(6))2－2×(2eq \r(6)＋2eq \r(3))×2eq \r(6)×cs 45°，4c2＝36，得c＝3，所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)，故A正确；b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(6)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x，故B错误；直线l的方程为y＝eq \f(\r(2),2)(x＋3)，与双曲线方程eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1联立，得x2－2x－7＝0，解得x＝1±2eq \r(2)，因为点P在双曲线的右支上，所以点P的横坐标为1＋2eq \r(2)，P到直线x＝1的距离为2eq \r(2)，故C正确；以实轴为直径的圆的圆心为原点，半径为eq \r(3)，原点到直线l的距离d＝eq \f(\f(3\r(2),2),\r(\f(1,2)＋1))＝eq \r(3)，故D正确．故选ACD.
三、填空题
13．[解析] 令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a，b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c＝2，由双曲线C的离心率为eq \r(2)，得eq \f(c,a)＝eq \r(2)，解得a＝eq \r(2)，则b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.
14．[解析] △A1A2P的外接圆半径为r＝eq \f(2a,2sin \f(π,6))＝2a，当该圆与直线x＝eq \f(c2,a)相切或相交时满足题意，故eq \f(c2,a)≤2a，即11，故e＝eq \r(7).故选D.
5．( D )[解析] 通解：不妨取渐近线y＝eq \f(b,a)x，此时直线PF2的方程为y＝－eq \f(a,b)(x－c)，与y＝eq \f(b,a)x联立并解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(a2,c)，,y＝\f(ab,c)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c))).因为直线PF2与渐近线y＝eq \f(b,a)x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c,0)到直线y＝eq \f(b,a)x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式得|PF2|＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝eq \f(bc,c)＝b，所以b＝2.因为F1(－c,0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，且直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，所以eq \f(\f(ab,c),\f(a2,c)＋c)＝eq \f(\r(2),4)，化简得eq \f(ab,a2＋c2)＝eq \f(\r(2),4)，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以eq \f(2a,2a2＋4)＝eq \f(\r(2),4)，整理得a2－2eq \r(2)a＋2＝0，即(a－eq \r(2))2＝0，解得a＝eq \r(2).所以双曲线的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1，故选D.
优解：因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且|PF2|＝2，所以b＝2，再结合选项，排除选项B，C；若双曲线方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1，则F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，不妨取渐近线y＝eq \f(\r(2),2)x，则直线PF2的方程为y＝－eq \r(2)(x－2eq \r(3))，与渐近线方程y＝eq \f(\r(2),2)x联立，得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),3)，\f(2\r(6),3)))，则kPF1＝eq \f(\r(2),5)，又直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，所以双曲线方程eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1不符合题意，排除A，故选D.