四川省德阳市高中2025届高三上学期第一次诊断考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省德阳市高中2025届高三上学期第一次诊断考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，集合，则集合( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足，则( )
A.B.C.D.
3．生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m代替），则( )
A.B.
C.D.m的值暂时无法确定
4．已知数列的前n项和为，且，则数列的前10项和为( )
A.B.C.D.
5．底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为( )
A.2B.C.D.
6．设满足，则( )
A.120B.C.40D.
7．函数单调递增，且，则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．设，为双曲线（，）的左右焦点，O为坐标原点，P为C的一条渐近线上一点，且，若，则C的离心率为( )
A.B.C.2D.
二、多项选择题
9．下列结论正确的是( )
A.随机变量X服从二项分布，，则
B.数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6
C.数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10
D.随机变量X服从正态分布，且，则
10．定义在R上的函数满足，，则下列结论正确的有( )
A.B.为奇函数
C.6是的一个周期D.
11．已知函数，则( )
A.当时，函数有两个极值
B.过点且与曲线相切的直线有且仅有一条
C.当时，若b是a与c的等差中项，直线与曲线有三个交点，，，则
D.当时，若，则
三、填空题
12．某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为____________.
13．已知，，则____________.
14．若关于x的方程有且仅有两个实根，则实数m的取值范围为____________.
四、解答题
15．平面向量，满足，，，.
（1）若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值；
（2）若为钝角，求实数t的取值范围.
16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，的面积.
（1）若，求b的值；
（2）求内角C取得最大值时的面积.
17．已知函数的定义域为D，.
（1）若，求函数的值域；
（2）若，且，求实数的取值范围.
18．甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同.现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放入另一袋中，重复进行n次这样的操作后，记甲袋中的白球数为，甲袋中恰有一个白球的概率为
（1）求，；
（2）求的解析式；
（3）求.
19．若函数与在各自定义域内均能取得最大值，且最大值相等，则称与为“等峰函数”.
（1）证明函数，与，是“等峰函数”；
（2）已知与为“等峰函数”.
①求实数a的值；
②判断命题：“，，且”的真假，并说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，，
所以.
故选：D.
2．答案：B
解析：，则.
故选：B.
3．答案：B
解析：由已知，，
即样本中心为，
又回归方程为，
即，
解得，
故选：B.
4．答案：C
解析：由已知有，故.
所以，从而.
故选：C.
5．答案：D
解析：由题意，令圆锥的高为d，底面圆的半径为r，则圆柱的高，
所以，根据侧面积相等有，即，
综上，圆柱体积，圆锥体积，
所以.
故选：D.
6．答案：A
解析：因为，
令，即可得，
令，即可得，可得，所以；
令，即可得，
得，得，
所以.
故选：A.
7．答案：C
解析：因为当时，单调递增；
当时，单调递增；
又因为单调递增，且，
所以，
解得.
故选：C.
8．答案：B
解析：依题意，不妨设点P在第二象限，如图，
因为，所以，
则，故，
所以，
又，双曲线的渐近线方程为，
所以在中，，
即，故，
所以双曲线C的离心率为.
故选：B.
9．答案：AC
解析：对选项A，，.
故A正确.
对选项B，因为，，，，…，的平均数为，
故B错误.
对选项C，，所以第60百分位数是第五个数10，故C正确.
对选项D，X服从正态分布，，
所以，故D错误.
故选：AC.
10．答案：ACD
解析：该函数满足且，
对于A，令，可得，解得，故A正确；
对于B，令，，所以，所以为偶函数，故B错误；
对于C，令，，
可得，令，可得，
将两式相加得：，所以，
所以，所以，
因此，6是的一个周期，故C正确；
对于D，令，，，所以，
所以，
因为，，
因为，令，，所以，
令，，所以，
令，，所以，
令，，所以，
由于6是的一个周期，
所以
，
所以，故D正确；
故选：ACD.
11．答案：BD
解析：因为，
所以，
对于A，当时，令，
则，
所以当时，，
所以单调递增，
此时函数没有两个极值，故A错误；
对于B，设过点的直线与切于点，
则切线方程为，
代入，
得，
整理得：，
令，
则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，，
所以只有一个零点，
即方程只有一个解，
所以过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，故B正确；
对于C，当时，，
又因为b是a与c的等差中项，
所以直线即为直线，
所以直线过定点，且此点在曲线上，
设函数的对称中心为，
则有，
即，
整理得：，
所以，解得，
所以函数的关于点对称，
设，
则有，
所以，故C错误；
对于D，当时，，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在上单调递减，
所以，
令，当时，，
则在上单调递减，
所以，
所以，
即，故D正确.
故选：BD.
12．答案：8
解析：田径队运动员的总人数是，要得到14人的样本，占总体的比例为，
于是应该在男运动员中随机抽取（名），
故答案为：8.
13．答案：
解析：由，得，
由，得，
解得，，
所以，
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：定义域为，
当时，方程即有且仅有两个实根，
令，则，，
令解得，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，可得函数的大致图象如图所示，
所以有且仅有两个实根时，；
当时，令，
则有且仅有两个实根，
因为当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以要使有且仅有两个实根，则，解得，
综上实数m的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得，
则，即，
因为，，则，
所以，
，
所以，解得.
（2）由（1）知，，
因为为钝角，所以，即，
若，共线，设，即
则，解得或，
要使为钝角，则且，
即实数t的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意，得，则，
又，，
所以，从而，
所以.
（2）在中有，
当且仅当，即时取等号，则，
又，所以，故当内角C取得最大值时，取得最小值，
此时，，，则，
所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，由解得，
令，当时t取最大值，
所以，从而的值域为.
（2）由于，且，
所以方程的两根分别为m，n，且，，
又，即，
将，代入整理得
，
从而，
所以
即实数的取值范围为.
18．答案：（1），
（2），
（3）1
解析：（1）记第n次交换后甲袋中恰有两个白球的概率为，
则第n次交换后甲袋中恰有零个白球的概率为，
由题意得.
；
（2）由（1）知（，），
所以，且，
从而数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
即，；
（3）显然的所有可能取值为0，1，2，
且，
，
即，从而，
所以的分布列为
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）①
②真命题，理由见解析
解析：（1），由于，
所以当即时，；
对于函数，，所以函数
在上单调递增，从而当时，；
则函数，与，在各自定义域内有相同最大值，即是“等峰函数”；
（2）①由题，其中.
当时，若；若，
即函数在上单调递减，在上单调递增，则此时无最大值；
当时，在上单调递增，无最大值；
当时，若；若，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，
由题，其中.
因为，所以时，；时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
从而当时，.
由于与为“等峰函数”，
所以，即，其中.
将上式两端取自然对数得，
即.令，其中.
则，所以在上单调递增，
又，从而；
②命题为真命题，理由如下：
解法1：由①，，.
先考察方程的实根情况，令
由①知在上单调递增，在上单调递减，所以，
在上单调递增，又，，
所以存在唯一，使得.即方程在上有唯一实根，且.
其次考察方程的实根情况，令，
由①知在上单调递减，
且，，
所以存在唯一，使得，即.
由于，所以，又，
由在上的单调性知；
最后考察方程的实根情况，令，
由①知在上单调递增，且，.
（注意到函数，，，得在递增，则）
所以存在唯一，使得，即，
由于，所以，且，
由在上的单调性知.
所以，又，所以，
即，从而得知命题为真命题；
解法2：先同解法1可得方程在上有唯一实根，且，
即使
令，，则，，成等比数列.
故要说明命题为真，只需即可.
注意到，，
又，，
所以成立，故原命题为真
温度x（）
6
8
10
病毒数量y（万个）
30
22
m
0
1
2
P