北师大版（2024）八年级上册第七章 平行线的证明2 定义与命题第2课时教学设计

这是一份北师大版（2024）八年级上册第七章 平行线的证明2 定义与命题第2课时教学设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学用具，相关资，教学过程，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第 2课时
一、教学目标
1．了解真命题的证明，通过实例感受证明的过程与格式．
2．初步感受公理化思想，并了解本套教科书所采用的基本事实．
3．阅读有关《原本》和公理化的资料，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值．
二、教学重点及难点
重点：了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理．
难点：体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性．
三、教学用具
多媒体课件。
四、相关资
《定义、命题的复习》动画，《课本中学生的思考》动画，《欧几里得与原本介绍》动画，《直线AB与直线CD相交与点O》图片．
五、教学过程
【复习导入】
回忆我们上次学习到了哪些知识？
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.
判断一件事情的句子，叫做命题.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.
一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”一处的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.
举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？
【合作探究】
在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题．公元前3世纪，人们已经积累了大量知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创新，挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其它命题的起始依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理.除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理.每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
已学的八条基本事实有：
1.两点确定一条直线.
2.两点之间线段最短.
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）.
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8.三边分别相等的两个三角形全等.
另外一条基本性质将在后面的学习中认识到.
此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.例如：“如果a=b，b=c，那么a=c”这一性质可以作为证明的依据，称为“等量代换”；又如“如果a＞b，b＞c，那么a＞c”，这一性质同一可以作为证明的依据.
【典例精析】
例1 证明下面的定理：
同角（等角）的补角相等.
同角（等角）的余角相等.
（在书写证明过程的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）
（1）已知：∠B和∠C是∠A的补角,
求证：∠B=∠C
证明：∵ ∠B和∠C是∠A的补角,
∴∠B=180°-∠A，∠C=180°-∠A.
∴∠B=∠C（等量代换）.
∴同角的补角相等.
（2）已知：∠A=∠B,∠C和∠D分别是∠A、∠B的补角.
求证：∠C=∠D
证明：∵ ∠C和∠D分别是∠A、∠B的补角.
∴∠C=180°-∠A，∠D=180°-∠B.
∵∠A=∠B（已知）.
∴∠C=∠D（等量代换）.
∴等角的补角相等.
（3）已知：∠B和∠C是∠A的余角,
求证：∠B=∠C
证明：∵ ∠B和∠C是∠A的余角,
∴∠B=90°-∠A，∠C=90°-∠A.
∴∠B=∠C（等量代换）.
∴同角的余角相等.
（4）已知：∠A=∠B,∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角.
求证：∠C=∠D
证明：∵ ∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角.
∴∠C=90°-∠A，∠D=90°-∠B.
∵∠A=∠B（已知）.
∴∠C=∠D（等量代换）.
∴等角的余角相等.
例2 已知：如图，直线AB与直线CD相交与点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC=∠BOD.
证明： ∵ 直线AB与直线CD相交与点O，
∴∠AOB与∠COD都是平角（平角的定义）.
∴∠AOC=∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）.
∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）.
由例题得到定理：对顶角相等.
设计意图：让学生初步体会证明的思路与书写的过程.
【课堂练习】
1.下列平行线的判定方法中是公理的是( )
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
解析：A是由公理推出的定理；C是由B推出的平行线的判定定理；D是平行线的定义，只有B是由画图实践得来的，符合公理的定义，故选B.
方法总结：公理是不需要推理判断的公认的真命题；定理是需要用推理的方法来判断其正确的命题．
2.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）B
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
3.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）C
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
4.下列命题中，属于定义的是（ ）D
A.两点确定一条直线；
B.同角的余角相等；
C.互补的两个角是邻补角；
D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度.
5.下列句子中，是定理的是（ ），是公理的是（ ）.BC,A
A.若a=b，b=c，则a=c；
B.对顶角相等
C.全等三角形的对应边相等，对应角相等
6.证明定理：三角形的任意两边之和大于第三边.
已知：△ABC，求证AC+BC＞AB
证明： ∵ AB是点A到点B的距离，AC+BC是连接点A、点C的一条曲线长度，
根据两点之间线段最短得AC+BC＞AB
∴三角形任意两边之和大于第三边.
7. 求证：直角三角形的两个锐角互余．
解析：分析这个命题的条件和结论，根据已知条件和结论画出图形，写出已知、求证，并写出证明过程．
已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A与∠B互余．
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和等于180°)，又∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°.∴∠A与∠B互余．
方法总结：解此类题首先根据题意将文字语言变成符号语言，画出图形，最后再经过分析论证，并写出证明的过程．
六、课堂小结
今天这节课你学到了什么知识？
1．公理：公认的真命题．
2．定理：经过证明的正命题．
3．证明：推理的过程．
设计意图： 经历实际情境，初步体会公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理，让学生对真假命题有一个清楚的认识，从而进一步了解定理、公理的概念．培养学生的语言表达能力．
七、板书设计
7.2 定义与证明（2）
1．公理和定理
2．命题的证明