人教版数学七下重难点培优训练专题8.3 二元一次方程组的应用（一）（2份，原卷版+解析版）

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【典例1】某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．
【思路点拨】
（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“甲、乙两个装修组同时施工8天，需付两组费用共3520元；甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，根据“请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，进而可求出甲、乙两个装修组单独施工所需时间，利用总费用＝（每天需付装修费+200）×装修时间，可求出三个方案所需装修费用及耽误营业损失的费用之和，比较后即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元．
（2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，
依题意得：，
解得：，
∴甲组单独完成装修所需时间为112（天），
乙组单独完成装修所需时间为124（天）．
施工方案①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（300+200）×12＝6000（元）；
施工方案②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（140+200）×24＝8160（元）；
施工方案③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（300+140+200）×8＝5120（元）．
∵5120＜6000＜8160，
∴方案③请甲，乙两组合做最有利于商店经营．
1．（2021•安徽模拟）《孙子算经》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？译文为：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长？（一尺等于十寸）
【思路点拨】
设木长x尺、绳子长y尺，由题意：用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解题过程】
解：设木头长x尺，绳子长y尺，
根据题意得：，
解得：，
答：木头长6.5尺．
2．（2021•孝感二模）我国西汉时期张苍等人辑撰的《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”，其意思是：“今有若干人准备乘若干辆马车出行，如果每3人共乘1辆车，则有2辆车空出；如果每2人共乘1辆车，则有9人需步行．问：人数和马车数各是多少？”．请你解答此问题．
【思路点拨】
设共有x人，y辆马车，根据“如果每3人共乘1辆车，则有2辆车空出；如果每2人共乘1辆车，则有9人需步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解题过程】
解：设共有x人，y辆马车，
依题意得：，
解得：．
答：共有39人，15辆马车．
3．（2021秋•招远市期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．
【思路点拨】
设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程组，解方程组即可．
【解题过程】
解：设小和尚有x人，大和尚有y人，
依题意，得：，
解得：，
答：小和尚有75人，大和尚有25人．
4．（2020春•武川县期中）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？
【思路点拨】
设笼中有x只鸡，y只兔，根据“上有二十五头，下有七十六足”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解题过程】
解：设笼中有x只鸡，y只兔，
根据题意得：，
解得：．
答：笼中有12只鸡，13只兔．
5．（2021春•北碚区校级月考）一个三位数比一个两位数的2倍少49，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，又把这个三位数放在两位数右边得到一个新的五位数，且新五位数比前面的五位数的7倍大3876，求这个三位数和两位数．
【思路点拨】
设两位数是a，三位数是b，找到两个关系式，列出方程组即可解答．
【解题过程】
解：设这个两位数为a，三位数为b，由题意得，
，
解得：，
答：这个三位数为101，两位数为75．
6．（2020春•杨浦区校级月考）一个两位数，十位数字与个位数字之和是该两位数的，如果将该两位数的个位和十位数字对调，得到的数比原数的还大3，求这个两位数．
【思路点拨】
设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“十位数字与个位数字之和是该两位数的，如果将该两位数的个位和十位数字对调，得到的数比原数的还大3”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解题过程】
解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意，得：，
解得：，
∴10x+y＝72．
答：这个两位数为72．
7．（2021春•衡阳县期中）一个n位数（n≥2，n为正整数），我们把最高位上的数移到它的右侧，得到一个新数，再将新数的最高位上的数移到它的右侧，又得到一个新数，…，依此类推，我们把这样操作得到的新数都叫做原数的“谦虚数”，比如56有一个“谦虚数”是65；156有两个“谦虚数”，分别是561、615；2834有三个“谦虚数”，分别是8342、3428、4283．
（1）请写出四位数5832的三个“谦虚数”．
（2）一个两位数，个位上的数与十位上的数和为9，如果这个两位数比它的“谦虚数”少9，求这个两位数．
【思路点拨】
（1）利用“谦虚数”的定义，可找出5832的三个“谦虚数”；
（2）设这个两位数十位数字为x，个位数字为y，根据个位上的数与十位上的数和为9且这个两位数比它的“谦虚数”少9，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）5832有三个“谦虚数”，分别是8325、3258、2583．
（2）设这个两位数十位数字为x，个位数字为y，
依题意得：，
解得：，
∴10x+y＝45．
答：这个两位数为45．
8．（2020春•衡阳期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问：
（1）甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？
（2）已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，单独请哪组，商店所付费用较少？
【思路点拨】
（1）设甲单独工作一天需要x元，乙单独工作一天商店需付y元，根据两组合作8天需付3520元，甲组单独做6天，乙组单独做12天，需付费用共3480元，据此列方程组求解；
（2）求出两组的总费用，然后选择较少的一组．
【解题过程】
解：（1）设甲单独工作一天需要x元，乙单独工作一天商店需付y元，
由题意得，，
解得：．
答：甲单独工作一天需要300元，乙单独工作一天商店需付140元；
（2）甲单独完成需付：300×12＝3600（元），
乙单独完成需付：140×24＝3360（元）．
答：选择乙组商店所付费用较少．
9．（2021秋•渝中区校级期末）风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天、再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板应付两队工钱共7200元．若先请甲施工队单独做9天、再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板应付两队工钱共7600元．
（1）甲、乙两施工队工作一天，风味美饭店老板应各付多少钱？
（2）若装修完后，风味美饭店马上投入使用，每天可盈利300元，现有三种方案：①甲队单独做：②乙队单独做；③甲、乙两队同时做，你认为哪一种施工方案更有利于饭店老板？请你说明理由．
【思路点拨】
（1）设甲施工队工作一天，风味美饭店老板应付x元，乙施工队工作一天，风味美饭店老板应付y元，根据“若先请甲施工队单独做3天、再请乙施工队单独做24天，风味美饭店老板应付两队工钱共7200元；若先请甲施工队单独做9天、再请乙施工队单独做16天，风味美饭店老板应付两队工钱共7600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）施工方案③更有利于饭店老板，设甲施工队的工作效率为m，乙施工队的工作效率为n，根据“若先请甲施工队单独做3天、再请乙施工队单独做24天，可完成施工；若先请甲施工队单独做9天、再请乙施工队单独做16天，可完成施工”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，若将施工耽误的工期影响的盈利算入总费用中，利用总费用＝（每天需付的工钱+300）×工期，即可分别求出选择三个方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设甲施工队工作一天，风味美饭店老板应付x元，乙施工队工作一天，风味美饭店老板应付y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲施工队工作一天，风味美饭店老板应付400元，乙施工队工作一天，风味美饭店老板应付250元．
（2）施工方案③更有利于饭店老板，理由如下：
设甲施工队的工作效率为m，乙施工队的工作效率为n，
依题意得：，
解得：，
∴甲队单独做需21天完成施工任务，乙队单独做需28天完成施工任务，甲、乙两队同时做需12天完成施工任务．
若将施工耽误的工期影响的盈利算入总费用中，
则选择方案①所需总费用为（400+300）×21＝14700（元）；
选择方案②所需总费用为（250+300）×28＝15400（元）；
选择方案③所需总费用为（400+250+300）×12＝11400（元）．
∵15400＞14700＞11400，
∴施工方案③更有利于饭店老板．
10．（2021秋•金台区期末）甲、乙两人从相距36km的两地相向而行，如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇，甲、乙两人的速度分别是多少？
【思路点拨】
设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，根据“如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两人的速度．
【解题过程】
解：设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，
依题意得：，
解得：．
答：甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h．
11．（2021春•伊通县期末）小明和小丽两相距8千米，小明骑自行车，小丽步行．两人同时出发相向而行，0.8小时相遇；若两人同时出发同向而行，小明2小时可以追上小丽，求小明、小丽每小时各前行多少千米？
【思路点拨】
设小明每小时骑行x千米，小丽每小时走y千米，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解题过程】
解：设小明每小时骑行x千米，小丽每小时走y千米，
根据题意得：，
解得：，
答：小明每小时骑行7千米，小丽每小时走3千米．
12．（2021春•雄县期末）一次越野赛跑中，当小明跑了1600m时，小刚跑了1450m，此后两人分别以am/s和bm/s匀速跑，又过100s时小刚追上小明，200s时小刚到达终点，300s时小明到达终点．这次越野赛跑的全程为多少米？
【思路点拨】
根据“小明之前跑的1600m+小明100s所跑路程＝小刚之前跑的1450m+小刚100s所跑路程；小刚之前跑的1450m+小刚200s所跑路程＝小明之前跑的1600m+小明300s所跑路程”列二元一次方程组求解可得．
【解题过程】
解：根据题意可知：
，
解得，
∴1600+300a＝1600+300×1.5＝2050．
答：这次越野赛跑的全程为2050米．
13．（2020春•鼓楼区校级期中）南京红山动物园与南京牛首山大约相距30千米，一辆电动车和一辆自行车从两地同时出发相向而行，1小时后相遇．相遇后，自行车继续前进，电动车没电了，通过路边充电站速充20分钟后，按原路返回，在电动车再次出发15分钟后追上了自行车，这时电动车、自行车从出发到现在各自行驶了多少千米？
【思路点拨】
设汽车的速度是x千米每小时，拖拉机速度y千米每小时，根据南京红山动物园与南京牛首山大约相距30千米1小时后相遇和自行车继续前进，电动车没电了，通过路边充电站速充20分钟后，按原路返回，在电动车再次出发15分钟后追上了自行车，列出方程，求出x，y的值，再根据路程＝速度×时间即可得出答案．
【解题过程】
解：设电动车的速度是x千米/小时，自行车的速度y千米/小时，根据题意得：
，
解得：，
则电动车行驶的路程是：9×（1）（千米），
自行车行驶的路程是：21×（1）（千米）．
答：电动车从出发到现在行驶了千米，自行车从出发到现在行驶了千米．
14．（2021秋•百色期末）甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇．相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回，汽车在返回后半个小时追上了拖拉机．
（1）在这个问题中，1小时20分＝ 小时；
（2）相向而行时，汽车行驶 小时的路程+拖拉机行驶 小时的路程＝160千米；同向而行时，汽车行驶 小时的路程＝拖拉机行驶 小时的路程；
（3）全程汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
【思路点拨】
（1）由1小时＝60分钟可得出1小时20分小时；
（2）分析全程中两个路程相等的量，即可得出结论；
（3）设汽车的速度为x千米/小时，拖拉机的速度为y千米/小时，由路程＝速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用路程＝速度×时间可分别求出汽车、拖拉机全程行驶的路程．
【解题过程】
解：（1）1小时20分小时．
故答案为：．
（2）相向而行时，汽车行驶小时的路程+拖拉机行驶小时的路程＝160千米；同向而行时，汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶（1）小时的路程．
故答案为：；；；．
（3）设汽车的速度为x千米/小时，拖拉机的速度为y千米/小时，
依题意，得：，
解得：．
全程汽车行驶的路程为（）x＝（）×90＝165（千米）；
全程拖拉机行驶的路程为（1）y＝（1）×30＝85（千米）．
答：汽车全程行驶了165千米，拖拉机全程行驶了85千米．
15．（2020春•青龙县期末）为了测得隧道长度和火车通过隧道时的速度，小明和小亮在隧道两端进行观察：火车从开始入隧道到完全出隧道共用时24秒，整列火车完全在隧道内的时间为14秒，整列火车长300米．请你根据小明和小亮获得的数据，求出隧道的长度和火车过隧道的速度．
【思路点拨】
设火车的车身长为x米，速度是ym/s，根据行程问题的数量关系路程＝速度×时间建立方程组求出其解即可．
【解题过程】
解：设隧道的长度为x米，火车过隧道的速度为y米/秒，
根据题意，得．
解得：．
答：隧道长1140米，火车过隧道的速度为60米/秒．
16．（2021秋•双牌县期末）解诗谜：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，试求风的速度．
【思路点拨】
设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，根据顺风4分钟飞跃1000里及逆风4分钟走了600里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可．
【解题过程】
解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，
依题意，得：，
解得：．
答：风的速度为50里/分钟．
17．（2021春•城厢区校级期中）列方程（组）解应用题
已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由甲地顺流而下到达乙地用18小时，由乙地逆流而上到达甲地用24小时，求此轮船在静水中的速度以及此江水流的速度．
【思路点拨】
本题中的等量关系有2个：顺流时间×顺流速度＝总路程；逆流时间×逆流速度＝总路程，据此可列方程组求解．
【解题过程】
解：设船在静水中的速度为x，水流速度为y．
，
解得：．
答：此轮船在静水中的速度为17.5千米/小时，此江水流的速度为2.5千米/小时．
18．（2021秋•涡阳县期末）某体育场的环行跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习徒步和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔90s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？
【思路点拨】
利用题中的等量关系有：①反向而行，则两人30秒共走400米；②同向而行，则80秒乙比甲多跑400米，进而得出方程组求出即可．
【解题过程】
解：设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒．
根据题意可得：①根据反向而行，得方程为30（x+y）＝400；
②根据同向而行，得方程为90（y﹣x）＝400．
那么列方程组，
解得：，
答：甲的速度是m/s，乙的速度是m/s．
19．（2021春•昆明期末）甲、乙两名同学都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟快的追上慢的一次．已知甲比乙跑得快，求甲、乙两名同学每分钟各跑多少圈？
【思路点拨】
设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，由题意：如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟快的追上慢的一次．已知甲比乙跑得快，列出方程组，解方程组即可．
【解题过程】
解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，
依题意，得：，
解得：，
答：甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈．
20．（2021•百色）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2+2π（36+1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2+2π（36+1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2+2π（36+1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）
【思路点拨】
（1）由第一圈长、第三圈长的数据计算，再由题意得出第八圈长为87×2+2π（36+1.2×7），计算即可；
（2）设小王的平均速度为x米/秒，邓教练的平均速度为y米/秒，由题意：邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，经过20秒两人在直道第一次相遇．列出方程组，解方程组即可．
【解题过程】
解：（1）由题意得：（415﹣400）＝7.5（米），
87×2+2π（36+1.2×7）≈453（米），
答：第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多7.5米，小王计算的第八圈长约453米；
（2）设小王的平均速度为x米/秒，邓教练的平均速度为y米/秒，
由题意得：，
解得：，
答：小王的平均速度为米/秒，邓教练的平均速度为米/秒．