山东省青岛市超银学校2024——2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份山东省青岛市超银学校2024——2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了 下列方程是一元二次方程的是， 一元二次方程的根是， 下列说法中，错误的是， 根据表格中的数据， 在中，点D是边上的点等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟，满分120分）
本试题共26道小题，所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．其中，选择题要求用2B铅笔正确涂写在“客观题答题区”
一．选择题（共10小题，每小题3分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
【详解】A、x+2y=1是二元一次方程，故错误；
B、方程去括号得：2x2-2x=2x2+3，
整理得：-2x=3，为一元一次方程，故错误；
C、3x+=4是分式方程，故错误；
D、x2-2=0，符合一元二次方程的形式，正确．
故选：D．
【点睛】要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2. 一元二次方程的根是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：
∴，
则
则或，
解得，．
故选：C
3. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 有一组邻边相等的菱形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的判定可判断A、B，根据矩形的判定判断C，根据正方形的判定判断D.
【详解】A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形,正确；
B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,正确；
C. 对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
D. 菱形本身具有邻边相等的性质，所以有一组邻边相等的菱形是正方形错误.
故选D.
【点睛】本题考查特殊平行四边形的判定，熟记特殊平行四边形的性质是掌握其判定定理的关键.
4. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选D.
【点睛】本题考查了配方法，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
5. 根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当x=2时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是
【详解】由表格可知：
在和之间，对应的在和之间，
所以一个解的取值范围为
故选
6. 如图，在▱ABCD中，AB＝10cm，AD＝15cm，AC、BD相交于点O.OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为( )
A. 20cmB. 22cmC. 25cmD. 30cm
【答案】C
【解析】
【分析】先判断出EO是BD的是线段BD的垂直平分线，得出BE＝ED，从而可得出△ABE的周长＝AB+AD，即可得出答案.
【详解】解：∵在▱ABCD中，点O是BD中点，
又∵EO⊥BD，
∴EO是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD＝10+15＝25(cm).
故选：C.
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质等，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
7. 将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好围成一个容积为15m3的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的底面长比宽多2米．求该矩形铁皮的长和宽各是多少米？若设该矩形铁皮的宽是x米，则根据题意可得方程为（ ）
A. （x+2）（x﹣2）×1=15B. x（x﹣2）×1=15C. x（x+2）×1=15D. （x+4）（x﹣2）×1=15
【答案】B
【解析】
【详解】根据题意长方体水箱的底面宽为x-2，
∵长方体水箱的底面长比宽多2米，
∴长方体水箱的底面长为x米，
则x(x-2)×1＝15.
故选B.
【点睛】解此题的关键在于利用长方体容积等于长乘宽乘高来建立方程，需要注意的是本题的x是矩形铁皮的宽，而不是长方体底面的宽，要仔细审题.
8. 在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则四边形是矩形
B. 若垂直平分，则四边形是矩形
C. 若，则四边形是菱形
D. 若平分，则四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定，依次判断，即可求解，
本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
【详解】解：若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若平分，则四边形是菱形；选项D正确；
故选：D．
9. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则∠AOE的度数为（ ）
A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的性质得，即可得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理得，根据矩形的性质得OA=OB，即可得是等边三角形，根据等边三角形的性质和三角形内角和定理即可得．
【详解】解：∵AE平分，
∴，
∴，
∵矩形ABCD中， ，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴是等边三角形，
∴，，
∴OB=BE，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形，等边三角形，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
10. ABCD是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系，并进行求解．
解：如图，
过P作PE⊥CD，PF⊥BC，
∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=1，
∴∠PCE=30°，
∴PF=PB•sin60°=1×=，PE=FC=，
S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD
=××1+××1-×1×1=；
故选B．
二．填空题（共8小题，每小题3分）
11. 要组织一次篮球联赛赛制为单循环形式（每两队之间都赛一杨），邀请x个球队参加比赛，共比赛了15场，那么方程是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数．即可列方程．
【详解】解： 根据题意可得，，
故答案为：．
12. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是_____．
【答案】50+50(1+x)+50 (1+x)2=196
【解析】
【分析】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，三个月之和即为总产量.
【详解】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，所以根据第三季度生产零件196万个可列方程为：
50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
【点睛】本题考查一元二次方程应用中的增长率问题，需要注意第三季度产量是三个月之和.
13. 如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠ABC=120°，则花坛对角线AC的长等于_____．
【答案】6米．
【解析】
【分析】由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等,对角线垂直且互相平分，根据∠BAC=120°得，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC的长.
【详解】四边形ABCD是菱形.
AB=BC=CD=DA，BD与AC相互垂直且平分.
，.
【点睛】此题考查了勾股定理，菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键.
14. 如图，在中，，D是上一动点，过点作于点E，于点F．连接，则线段的最小值是 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
15. 阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．
解得y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±．
∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣，
请利用以上知识解决下列问题：
如果（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4，则m2+n2＝__．
【答案】2．
【解析】
【分析】将m2+n2视为一个整体，然后设m2+n2=y，则原方程化为y2+y-6=0．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可．
详解】解：（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4
设m2+n2＝y，
则原方程化为（y﹣1）（y+2）＝4
即y2+y﹣6＝0，
（y+3）（y﹣2）＝0，
解得y1＝﹣3，y2＝2，
∵m2+n2不能是负数，
∴m2+n2＝2
故答案为2．
【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键．
16. 如图，P是矩形ABCD边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__．
【答案】4.8
【解析】
【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF求得答案．
【详解】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF＝×5×PE＋×5×PF＝（PE＋PF）＝12，
解得：PE＋PF＝4.8．
故答案为：4.8．
【点睛】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
17. 已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_____．
【答案】．
【解析】
【分析】利用正方形的性质证出△ABE≌△DAF，所以∠ABE＝∠DAF，进而证得△GBF是直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可知GH＝BF，最后利用勾股定理即可解决问题.
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵ ，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝4、CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3，
∴BF＝＝5，
∴GH＝BF＝，
故答案为．
【点睛】本题考点涉及正方形的性质、三角形全等的证明、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识点，难度适中，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
18. 如图，在矩形中，，，P，O分别为对角线边上的两点，且，的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，全等三角形的判定与性质，构造是解题的关键．在上截取，延长至，使得，连接，过点作于，先证明，得到，结合勾股定理即可得到答案．
【详解】解：在上截取，延长至，使得，连接，过点作于，
在矩形中，
，
，
在与中，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故的最小值为，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19. 已知：∠MAN和线段a．
求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】先作∠MAN的平分线，在角平分线上截取AC=a，再作AC的垂直平分线交AM于B，交AN于D，则四边形ABCD为菱形．
【详解】解：如图，四边形ABCD为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20. 解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1），
（2），
（3），
（4），
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）先计算，再利用公式法解答，即可求解；
（2）先计算，利用公式法解答，即可求解；
（3）先计算，利用公式法解答，即可求解；
（4）把方程化为：，再利用因式分解法解答，即可求解．
【小问1详解】
解：，
，，，
，
，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
，
a=2，，，
，
，
解得：，；
【小问3详解】
解：，
a=2，，，
，
，
解得：，；
【小问4详解】
解：，
，
，
或，
解得：，．
21. 已知一元二次方程．
（1）若方程的一个根为，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）把代入方程求出a即可．
（2）由题意可得，根据不等式即可解决问题．
【小问1详解】
解：把代入得：，
解得；
【小问2详解】
解：∵方程有实数根，
∴且，即且，
解得：且，
∴满足条件的正整数a的值为．
22. 已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BEDF是菱形；理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAE=∠DCF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出DE=BF，得出四边形BEDF是平行四边形，得出OB=OD，再由等腰三角形的三线合一性质得出EF⊥BD，即可得出四边形BEDF是菱形．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）四边形BEDF是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OB=OD，
∵DG=BG，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
23. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元，若每台设备售价为万元时，平均每月能售出台；根据市场调研发现：这种设备的售价每提高万元，其销售量就将减少台.根据相关规定，此设备的销售单价不低于万元，且获利不高于.如果该公司想实现每月万元的利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
【答案】50万元
【解析】
【分析】设该设备的销售单价为万元，则提高了万元，每台利润为万元，销量减少了台，然后利用每台利润乘以销量等于总利润，列方程求解.
【详解】解：设该设备销售单价为万元.
由题意列方程，得
整理，得
解这个方程，得
，
获利不高于
不合题意，舍去.
答：该设备的销售单价为万元.
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握营销问题的关系式是解题的关键，最后需要注意舍去不符合条件的解.
24. 如图，平行四边形的对角线、BD交于点O，分别过点C、D作，，连接交于点E．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）当满足时,四边形为矩形
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，矩形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）证明四边形平行四边形，得出，证出，即可得出；
（2）由四边形为平行四边形，得出，然后根据三线合一得到，，即可得出四边形为矩形．
【小问1详解】
证明: ，
∴四边形是平行四边形，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
又∵，
；
【小问2详解】
解:当满足时,四边形为矩形.理由如下：
∵四边形为平行四边形，
，
，
，
，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形.
25. 我们知道，配方法是解一元二次方程的一种方法，其实质就是将一元二次方程由一般式化成，然后利用直接开平方法求一元二次方程的解的过程，公式法中用到的求根公式也可由此方法得到．配方法是把一个代数式变成一个完全平方式或含有完全平方式的代数式的形式，这种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用．
【例】
已知a，b为任意实数，
∵
∴
即对于任意实数a，b，总有，且当时代数式取得最小值为，仿照上面的方法，对于正数a，b，试比较和的大小关系．
【类比应用】
运用上面的结论，完成填空：
（1）________，此时代数式有最________值为________
（2）当时，________，此时代数式有最________值为________
（3）当时，代数式有最________值为________
【问题解决】
若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由，由此你能得到怎样的结论？
【答案】 类比应用：（1）； 小； （2）；小； （3）小； 问题解决：一个矩形的面积固定为，它的周长有最小值，周长的最小值为，此时矩形的长和宽均为
【解析】
【分析】本题考查了矩形的面积公式、矩形的周长公式以及完全平方式的展开式．
类比例题可得：；
类比应用：（1）根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；
（2）根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；
（3）将代数式化简为根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；
问题解决：设该矩形的长为，宽为，根据，结合矩形的周长和面积公式，即可得出结论．
【详解】已知，为正数，
，
，
即对于正数，，总有,且当时代数式取得最小值为；
类比应用：
（1），代数式有最小值为，
故答案为: ； 小；2；
（2）结合探究方法中得出的结论可知：
当x>0时，，代数式有最小值为，
故答案为: ；小；；
（3）结合探究方法中得出的结论可知：
当x>0时，，代数式 有最小值为，
故答案为：小；；
问题解决：
设该矩形的长为，宽为，
根据题意知：周长,
且当时，代数式取得最小值为，此时，
故若一个矩形的面积固定为，它的周长有最小值，周长的最小值为，此时矩形的长和宽均为
26. 如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以秒的速度沿方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以秒的速度沿CB方向向终点B运动，过点P、Q分别作边AB的垂线段、，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（），四边形P的面积为．
（1）t为何值时，为等边三角形？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形的面积S等于的面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题是运动型综合题，涉及到勾股定理、等边三角形的判定，解一元二次方程．
（1）由题意得：，则，当 时，即： ，解得： 即可求解；
（2）由题意得：在和中， 按照即可求解．
【小问1详解】
由题意得： ，则，
当时， 即： ，解得：，
即：当时，为等边三角形；
【小问2详解】
解：过点C 作于点D，
则，
∴，
∴，
由题意得：，
在和中， ，
，
，
解得：(舍去负值)，
故．
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