辽宁省新民市公主屯镇初级中学教育联盟2024-2025学年九年级上学期10月份限时作业（月考）数学试卷（解析版）-A4

这是一份辽宁省新民市公主屯镇初级中学教育联盟2024-2025学年九年级上学期10月份限时作业（月考）数学试卷（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了 下列说法正确的是， 把方程化成的形式，则等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】从上面看易得上面一层有2个正方形，下面左边有1个正方形．
故选：A．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 平行四边形的邻边平行且相等B. 矩形的对角线互相垂直
C. 菱形的四个内角都是直角D. 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查（特殊）平行四边形的性质，根据相关四边形的性质，进行判断即可．
【详解】解：A、平行四边形的对边平行且相等，原说法错误，不符合题意；
B、矩形的对角线互相平分且相等，原说法错误，不符合题意；
C、矩形的四个内角都是直角，原说法错误，不符合题意；
D、正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，原说法正确，符合题意；
故选D．
3. 将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式的相关概念是解题的关键．一元二次方程就是一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
【详解】解：∵是一般形式，常数项是，
∴二次项系数和一次项系数分别是和，
故选：C．
4. 越山向海，一路花开．在5月24日举行的2024辽宁省高品质文体旅融合发展大型产业招商推介活动中，全省30个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达532亿元．将53200000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：，
故选：C．
5. 把方程化成的形式，则（ ）
A. 17B. 14C. 11D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】将常数项移到方程的两边，两边都加上一次项系数的一半的平方配成完全平方公式后即可得出答案．
【详解】
，
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
6. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
7. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求出一元二次方程的解，得到直角三角形的两条直角边的长，再根据直角三角形的面积计算公式计算即可求解，正确求出一元二次方程的解是解题的关键．
【详解】解：解方程得，，，
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，
∴直角三角形的两条直角边的长分别为和，
∴此直角三角形的面积为，
故选：．
8. 已知一元二次方程的两根为、，则的值是（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握关于的一元二次方程的根与系数关系：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程的两根为，，
，，
，
故选：B．
9. 如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：①，；②随的增大而减小；③关于的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图像和性质，利用数形结合的思想解答是解题关键．根据一次函数图像所在象限及与坐标轴的交点可判断①②错误，③正确，根据一次函数图像在轴上方时与轴交点横坐标可判断④正确，综上即可得答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、三象限，
∴，，随的增大而增大，故①②错误，
∵一次函数与轴交于点，
∴关于的一元一次方程的解为，当时，，故③④正确，
故选：B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解．
【详解】解：过点B作轴，垂足为点D，
∵顶点在直线上，点的横坐标是8，
∴，即，
∴，
∵轴，
∴由勾股定理得：，
∵四边形是菱形，
∴轴，
∴将点B向左平移10个单位得到点C，
∴点，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】x≠3
【解析】
【分析】根据分母不等于0解答．
【详解】∵有意义，
∴x-3≠0，
∴x≠3．
故答案为x≠3．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解决此类问题的关键是分母不等于0．
12. 在中，，则边上的中线_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∴边上的中线，
故答案为：5．
13. 在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由点A和点确定平移方式，即可求出点的坐标．
【详解】解：由点平移至点得，点A向上平移了2个单位得到点，
∴向上平移2个单位后得到点，
故答案为：．
14. 已知a是方程的一个实数根，则的值为____________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解和代数式求值，掌握一元二次方程解的定义是关键．由题意可得，从而，然后用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵a是方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
15. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C的位置，A1B1交直线CA于点D．若AC＝6，BC＝8，当线段CD的长为________时，△A1CD是等腰三角形．
【答案】6或5或
【解析】
【分析】根据题意,画出图形分三种情况讨论即可．
【详解】解：三角形是等腰三角形，有如下三种情况：
①当CD＝A1C＝AC＝6时，三角形是等腰三角形；
②当CD＝A1D时，如图所示，
∴
∵，
∴∠B1＝∠B1CD，
∴B1D＝CD．
∵CD＝A1D，
∴CD＝A1B1
由题意可知，
∴CD＝5时，三角形是等腰三角形；
③当A1C＝A1D时，如图．过点C作CE⊥A1B1于E．
∵△A1B1C的面积＝×6×8＝×10CE，
∴CE＝．
在△A1CE中，∠A1EC＝90°，由勾股定理知A1E＝＝，
∴DE＝6﹣＝．
在△CDE中，∠CED＝90°，由勾股定理知CD＝＝．
故当线段CD的长为6或5或时，△A1CD是等腰三角形．
故答案为：6或5或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是根据题意分类讨论．
三．解答题（共9小题）
16. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程与解一元一次不等式组，熟练掌握解一元二次方程方法和确定不等式组解集原则是解题的关键．
（1）先求出一元一次不等式的解集，再根据“大大取大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组解集即可；
（2）利用提公因式法进行因式分解求解即可．
【小问1详解】
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
故原不等式组的解集为：．
【小问2详解】
解：
或，
解得，
17. 已知关于的一元二次方程（为常数）．
（1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根．
【答案】（1）见解析；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论；
（2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解二元一次方程即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：将代入方程，得：．
解得：．
当时，方程为，
，
，，
方程的另一个根是．
18. 已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；
（2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
19. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下：
信息一：

信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求所抽取的学生成组为C等级的人数；
（2）求所抽取的学生成绩的中位数；
（3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
【答案】（1）7人 （2）85
（3）120人
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键．
（1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可；
（2）总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学成绩的平均数，由于C中1人，D中7人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，因此中位数为：；
（3）拿360乘以A等级的人数所占百分比即可．
【小问1详解】
解：总人数为：（人），
∴抽取的学生成组为C等级的人数为：（人）；
【小问2详解】
解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，
∵C中1人，D中7人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，
∴中位数为：；
【小问3详解】
解：成绩为A等级的人数为：（人），
答：成绩为A等级的人数为120．
20. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接．
（1）求证：；
（2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由）
【答案】（1）见详解 （2）四边形是菱形
（3）当时，四边形是正方形
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形的性质，熟练则知识点是解题的关键．
（1）先利用平行四边形的判定证得四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证结论．
（2）求出四边形为平行四边形，再根据对角线即可求解．
（3）由（2）中的性质，求出，根据正方形的判定即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
理由是：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
【小问3详解】
解：当时，四边形是正方形，
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔的实际售价应定为50元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【小问1详解】
设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
【小问2详解】
设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
22. 如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，．
（1）填空： ，点A的坐标是（ ， ）；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止：动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当时，的面积是 ；
②当为直角三角形时，请直接写出此时点Q的坐标．
【答案】（1）；5，0
（2）见解析 （3）①12；②或
【解析】
【分析】（1）代入C点坐标即可得出k值确定直线解析式，进而求出A点坐标即可；
（2）求出A、D点坐标，根据，，即可证四边形是平行四边形；
（3）①作于H，设出H点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积；
②当时，当时，再根据P、Q的位置分情况计算出结果即可．
【小问1详解】
解：∵直线经过点，
∴，
解得，
即直线的解析式为，
当时，，
∴，
故答案为：，5，0；
【小问2详解】
解：∵线段平行于x轴，
∴D点的纵坐标与C点一样，
又∵D点在直线上，
当时，，
即，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
解：①作于H，如图所示：

∵H点在直线上，
∴设H点的坐标为，
∴，
由勾股定理，得，
即，
解得或8（舍去），
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
故答案为：12；
②当时，，
∵轴，
∴轴，
∴此时点P的横坐标为3，
∵点P在直线，
∴把代入得，
此时点P的坐标为，
，
∴，
∴，
设此时点Q的坐标为，
∴，
解得：，负值舍去，
此时点Q的坐标为：；
当时，
根据解析①可知，此时点P的坐标为，
∴，
∴，
∴，
设此时点Q的坐标为，
∴，
解得：，负值舍去，
此时点Q的坐标为：；
综上分析可知，点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，勾股定理，平行四边形的判定，坐标与图形，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的判定，是解题的关键．
23. 如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．
(1)如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；
(2)如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．
【答案】(1)AB＝6；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝BA＝3x；在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即可得40＝x2+9x2，解得x＝2．所以AB＝3x＝6；（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．证明△ABF≌△ADH，根据全等三角形的性质可得AF＝AH，BF＝DH．再由Rt△FAH是等腰直角三角形，可得HF＝2AF．由HF＝DH+DF＝BF+DF，可得BF+DF＝2AF．
【详解】解：(1)设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，
∵BA＝BC，
∴BA＝3x．
在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，
∴AM＝2BE＝2．
由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，
即40＝x2+9x2，解得x＝2．
∴AB＝3x＝6．
(2)延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．
∵DF平分∠CDE，
∴∠1＝∠2．
∵DE＝DA，DP⊥AF
∴∠3＝∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠3＝45°．
∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．
∴AH＝AF．
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAH．
又AB＝AD，
∴△ABF≌△ADH(SAS)．
∴AF＝AH，BF＝DH．
∵Rt△FAH是等腰直角三角形，
∴HF＝2AF．
∵HF＝DH+DF＝BF+DF，
∴BF+DF＝2AF．