人教版（2024）八年级下册17.1 勾股定理完美版课件ppt

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相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？
A、B、C 的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？
让我们一起探索这个古老的定理吧！
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的. 　　
(1)观察图2-1 正方形A中含有 个 小方格，即A的面积 是 个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
(2)在图2-2中，正方形A，B， C 中各含有多少个小方格？ 它们的面积各是多少？
(3)你能发现图2-1中三个正方 形A，B，C 的面积之间有 什么关系吗？
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
猜想：两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2＋b 2＝c 2.数学表达式： 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b， BC＝a，则a 2＋b 2＝c 2.
分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC 中，a，b，c 是三边，所以可以用勾股定理解决问题．
例1 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的 对边分别是a，b，c. (1)已知a＝b＝6，求c； (2)已知c＝3，b＝2，求a； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6， ∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2， ∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b. 又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52， 解得b＝
利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长及两边之间的关系式代入a 2＋b 2＝c 2（假设c是斜边）；三化简．
1 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. (1)已知a=6，c=10，求b； (2)已知a=5，b=12，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.
下列说法中正确的是(　　)A．已知a，b，c 是三角形的三边长，则a 2＋b 2＝c 2B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方C．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2D．在Rt△ABC 中，∠B＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2
3 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c 的关系式中不正确的是(　　) A．b 2＝c 2－a 2 B．a 2＝c 2－b 2 C．b 2＝a 2－c 2 D．c 2＝a 2＋b 2
如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC 的长为(　　)A．5 B．6 C．8 D．10
如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C ′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C ′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝∠AC′B ′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C 的长为(　　)A．3 B．6 C．3 D.
在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形，并把它们剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进行拼摆，将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角形斜边c为边长的小正方形．
观察图形，容易得到大正方形的边长为 a+b，所以大正方形的面积是(a+b)2．又因为大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的面积又可表示成 ab×4+c 2． 因此有(a+b)2= ab×4+c 2．整理得a 2+b 2=c 2，即a、b、c 为边的直角三角形满足两直角边的平方和等于斜边的平方．
例2 观察如图所示的图形，回答问题：(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P 的面积为9，正方形Q 的面积为15，则正方形M 的面积为________；(2)如图②，分别以直角三角形ABC 的三边长为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式是________；(用图中字母表示)(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得 DF 2＝DE 2＋EF 2，即正方形M 的面积＝9＋15＝24；(2) 另外由勾股定理可知AC 2＋BC 2＝AB 2，所以S1＋S2＝S3；(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角 形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知两个小半圆形 的面积和＝大半圆形的面积，所以阴影部分的面积＝ 直角三角形的面积．
(1)24　(2)S1＋S2＝S3(3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆 形的面积为S3，三角形的面积为S△， 则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3 ＝S△＝ ×3×4＝6.
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积．本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理．
1 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
SE＝(122＋162)＋(92＋122) ＝400＋225 ＝625.
2 如图，以直角三角形的三边a，b，c 为边或直径，分别向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4
3 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为3和4，则b 的面积为(　　) A．3 B．4 C．5 D．7
如图，已知△ABC 为直角三角形，分别以直角边AC，BC 为直径作半圆AmC 和BnC，以AB 为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC 的面积为S2，则S1与S2的大小关系为(　　)A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能确定
在△ABC 中，边AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是(　　)A．42 B．32 C．42或32 D．不能确定
本题应分△ABC 为锐角三角形和△ABC 为钝角三角形两种情况讨论．解本题时常常容易忽略其中一种情况而出错．
易错点：考虑问题不全面而漏解.
如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，D 是线段BC上的动点(不含端点B，C )，若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有(　　)A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
在△ABC中，AB＝10，AC＝2 ，BC 边上的高AD＝6，则另一边BC 等于(　　)A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC，交AC 于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D 到BC 的距离是(　　)A．3　　B．4　　C．5　　D．6
四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH，已知AM 为Rt△ABM 较长直角边，AM＝2 EF，则正方形ABCD 的面积为(　　)A．12S B．10SC．9S D．8S
5 如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于D，AC＝4，BC＝3，BD＝ ，求：  (1)CD 的长； (2)AB 的长．
(1)在Rt△BCD 中，CD 2＝BC 2－BD 2＝32－ ，所以CD＝ .(2)在Rt△ACD 中，AD 2＝AC 2－CD 2＝42－ ， 所以AD＝ .所以AB＝AD＋BD＝ ＋ ＝5.
6 如图，每个小正方形的边长为1.求： (1)线段AD 的长度； (2)四边形ABCD 的面积．
(1)因为AD 2＝32＋42＝25， 所以AD＝5.(2)S四边形ABCD＝7×5－ ×1×7－ ×2×4－ ×1×2－ ×(1＋5)×3＝17.5.
7 在长方形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图所示的方式折叠，使点B 与D 重合，折痕为EF，求DE 的长．
设DE＝x cm，则BE＝DE＝x cm.AE＝AB－BE＝(10－x ) cm.在Rt△ADE 中，由勾股定理，得DE 2＝AE 2＋AD 2，即x 2＝(10－x )2＋42，解得x＝ .即DE 的长为 cm.
8 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB 的长；(2)求△ABC 中BC 边上的高．
(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5， ∴BD＝ ＝3.(2)如图，延长BD 至E，使DE＝BD，连接AE. ∵D是AC 的中点，∴AD＝DC.在△BDC和△EDA中， ∴△BDC ≌△ EDA(SAS)， ∴∠DAE＝∠DCB，∴AE∥BC. ∵BD⊥BC，∴BE⊥AE. ∴BE 与△ABC 中BC 边上的高相等， 又∵BE＝2BD＝6，∴△ABC 中BC 边上的高为6.
1. 勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角 三角形三边关系．2．由勾股定理的基本关系式：a 2＋b 2＝c 2可得到一些 变形关系式：c 2＝a 2＋b 2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2 ＋2ab；a 2＝c 2－b 2＝(c＋b)(c－b)等．