山东省泰安市泰安一中萃英中学2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题（解析版）-A4

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一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．
1. 下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三视图，根据俯视图是从物体的上面观察得到的图形，结合选项进行判断即可，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
该几何体的俯视图是：
故选：．
2. 如图，的半径为10，弦长，弦心距的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，首先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可，解题的关键是掌握垂径定理及勾股定理．
【详解】解：∵是弦心距，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
3. 在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（ ）
A. 3B. 4或6C. 2或3D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径=最小距离+最大距离；②当点在圆外时，直径=最大距离-最小距离．
【详解】解：分为两种情况：
①当点圆内时，如图1，
点到圆上的最小距离，最大距离，
直径,
半径
②当点在圆外时，如图2，
点到圆上的最小距离，最大距离，
直径,
半径
故选：C
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
4. 如图，已知：AB是的直径，、是上的三等分点，，则是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．
【详解】∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴的度数是120°，
∵C、D是上的三等分点，
∴弧CD与弧ED的度数都是40度，
∴∠COE=80°，故选C.
【点睛】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．熟练掌握圆周角定理是解题关键.
5. 如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A. 2.5B. 3.5C. 4.5D. 5.5
【答案】C
【解析】
【详解】作ON⊥AB，根据垂径定理，AN＝AB=×6＝3，根据勾股定理，ON＝，则ON≤OM≤OA，4≤OM≤5，只有C符合条件．
故选：C
【点睛】本题考查垂径定理；勾股定理．本题考查了垂径定理，勾股定理的用法，要注意先估算，再选择．
6. 如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．
【详解】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．
7. 一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用．分水位在圆心下以及圆心上两种情况，画出符合题意的图形进行求解即可得．
详解】解：如图，作半径于C，连接，
由垂径定理得：，
在中，，
当水位上升到圆心以下时，水面宽时，
则，
水面上升的高度为：；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：，
综上可得，水面上升的高度为或，
故选：D．
8. 如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．
【详解】解：∵是的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．
9. 如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】如图，延长AD，BC，二线交于点E，可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用tan30°计算DE，在Rt△ABE中，利用sin30°计算AE，根据AD=AE-DE求解即可；
【详解】如图，延长AD，BC，二线交于点E，
∵∠B=90°，∠BCD=120°，
∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠EDC= 90°，
在Rt△CDE中，
tan30°=，
∴DE==，
在Rt△ABE中，
sin30°=，
∴AB==4，
∴AD=AE-DE=,
故选C
【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补，特殊角的三角函数值，延长构造直角三角形，灵活运用直角三角形特殊角的三角函数值计算是解题的关键．
10. 如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（ ）
A. 4B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造与相关的直角三角形．先结合正方形的性质证明为等腰直角三角形，易得，设，则，在中根据勾股定理求得的值，即可获得答案．
【详解】解：连接，如下图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵直径，
∴，
设，则，
在中，可有，
即，
解得或（舍去），
∴．
故选：B．
11. 如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤，其中所有正确的结论是（ ）
A. ②④⑤B. ③④⑤C. ①④⑤D. ②③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．①由图象及对称轴即可判断；②推出抛物线过点，当时，，又由即可做出判断；③由对称轴为，且开口向上，得到离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可得出结论；④推出当时，，即可判断；⑤先推出，得到，由，得到，即可做出判断．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则，
顶点在y轴右侧，则，
抛物线与y轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
∵抛物线过点，且对称轴为直线，
∴抛物线过点，
∴当时，，
∵，
∴，故②正确；
∵对称轴为，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∵点与点，，
∴，故③错误；
当时，，
∵当时，，
∴当时，，
即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点，故④正确；
对应的函数值为，
对应函数值为，
又∵时函数取得最小值，
∴，即，
∵对称轴为，
∵，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
正确的为②④⑤，
故选：A．
12. 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C0,1为圆心，1为半径的圆上一动点，连接，则面积的最大值是（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数图象与坐标轴的交点坐标、圆上动点问题，勾股定理，求出圆上距离直线最近的点到直线的距离是解决此题的关键．过作于，的延长线交于，连接，根据一次函数求出点A、B的坐标，然后利用等面积即可求出的值，根据圆上距离直线AB最远的点为，即可求得最大值，进而求得答案．
【详解】解：过作于，连接，
将，代入中，得，
将代入中，得
∴点B的坐标为点A的坐标为
∴
根据勾股定理可得
则由三角形面积公式得，，
∴，
∴，
的半径
∴圆上点到直线的最大距离是，即点P为与的交点时
∴面积的最大值是，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
13. 如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点P处，，则女孩的影子长为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
根据相似三角形的判定和性质定理得到，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，∵，
，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
14. 如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB=24，则图中阴影部分的面积是_____．
【答案】72π
【解析】
【详解】试题解析：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB，
过O作OC⊥AB于C点，则AC=BC=12，
∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，
∴OC为小圆的半径，
∴S阴影部分=S大半圆-S小半圆




故答案为
15. 若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦所对的圆心角的度数为 _____，这条弦的长度为 ______．
【答案】 ①. ##90度 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据一条弦分为部分，则分圆心角也为两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵一条弦分为两部分，
∴这条弦所对的圆心角的度数为，这条弦的长度为．
故答案为：，．
16. 、是直径为26的中的两条平行弦，且，，则这两条平行弦之间的距离为_________．
【答案】7或17##17或7
【解析】
【分析】当两条弦在圆心同侧时，根据垂径定理和勾股定理求出，，再根据得出答案；当两条弦在圆心异侧时，根据垂径定理和勾股定理求出，，再根据得出答案．
【详解】如图，过点O作，并延长交于点F，连接，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，．
在中，．
则，
所以这两条平行线之间的距离是7；
如图，过点O作，并反向延长交于点F，连接，．
由上述可知，，．
则，
所以这两条平行线之间的距离是17．
故答案为：7或17．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，注意：分情况讨论，不能丢解．
17. 如图，为的劣弧上一点，若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，能正确作辅助线是解此题的关键．作圆周角，根据圆周角定理求出的度数，根据圆内接四边形性质求出即可．
【详解】解：如图作圆周角，使在优弧上，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
故答案为：．
18. 如图，直角顶点C的坐标为12,1，顶点A，B在直线上，且轴，双曲线（k为常数，）位于第一象限．若点是线段上横坐标为整数的点（不与点A、B重合），双曲线G使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则k的取值范围为___________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合问题：先求出点A、B坐标，可得双曲线解析式，再求出各点的坐标，双曲线两边分别有2个点和4个点，根据k值越大，双曲线开口越大，找到当双曲线经过点之间时，取得最小值，当双曲线经过点之间时，取得最大值，并排除双曲线过时的情形，然后联立求出k的取值范围．
【详解】解： 的直角顶点C的坐标为，轴，
则轴，
∴设点，
∵顶点A，B在直线上，
将代入得，
点A的坐标为，
令，解得，
点B的坐标为，代入，得，
双曲线G的解析式为，
点是线段上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），
分别为、、、、、，
由图可知，在第一象限，k值越大，双曲线图象越远离x轴而越接近y轴，即开口越大，
当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有4个点，此时k取得最小值；
当时，有，即；
当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有 4个点，此时，此时k取得最大值；
当时，有，即；
但双曲线不能过，此时有一个点在双曲线上不满足两侧的点的个数比为的条件，即，；
综上，k的取值范围为且，
故答案为：且．
三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 已知、两点是反比例函数与一次函数图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求ΔABO的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）把点A、B的坐标代入反比例函数解析式，得到，求出的值，即可求出反比例函数的解析式，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y=-x-1与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜-2或0＜x＜1时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
【详解】（1）、两点在反比例函数的图象上，
，
解得，，
，，反比例函数的解析式为
将点、点代入到中，
得：，
解得：
一次函数的解析式为．
（2）在直线中，令，则，解得
，
（3）观察函数图象，发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
不等式的解集为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
20. 如图，是的直径，，过D作，垂足为点E，的延长线交于点F，，求的度数和的长．
【答案】；．
【解析】
【分析】连接，根据是的直径，可得，进而可以求的度数；根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半可得的长，再根据垂径定理可得的值，进而可得的长．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∵，，且是直径，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，垂径定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
21. 为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ，
【答案】广告牌CD的高约为7.4米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰俯角的问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．
在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案．
【详解】解：如图，过点作，，垂足分别为、，
由题意可知，，，，米，米，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，米，
（米，
，
答：广告牌CD的高约为7.4米．
22. 如图，为的直径，点C是弧的中点，过点C作射线垂线，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，可证明，可得，进而可得出结论；
（2）连接，证明，得，即可求得长．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接，

∵为的直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理及推论，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
23. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示：
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式；
（3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式；
（2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式；
（3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少．
【小问1详解】
解：设与之间的函数关系式是，
由表格可得，，
解得，
即与之间的函数关系式是，且是整数）；
【小问2详解】
由题意可得，
，
即与之间的函数关系式是；
【小问3详解】
由（2）知：，
，且是整数，
当或41时，取得最大值，此时，
答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
24. 已知二次函数的图象过点．
（1）求b、c的值；
（2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上有一点Q，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标．
【答案】（1），；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）把点、代入中，解方程即可得到结论；
（2）在中，当时，，得到，设直线的解析式为，求得直线的解析式为，于是得到结论；
（3）设，的面积为S，连接，，，根据图形的面积即可得到结论．
【小问1详解】
解：把点、代入中，
，
解得，
∴，；
【小问2详解】
解：在中，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，
∴二次函数的对称轴为，
∴当时，，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，，
∴，
∴当的面积取得最大值时，四边形的面积最大，
设，的面积为S，
连接，，，

则
，
又∵，
∴，
当时，，
此时，
∴．
【点睛】本题是二次函数的综合题意，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．
25. 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
图1 图2 图3
（1）如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
（2）在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
（3）在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）①，②证明见解析．
（3），理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了四边形的性质，圆的性质，全等三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据圆美四边形的定义，四边形的性质，得到，，由此得到答案．
（2）①连接并延长，交圆于点，连接，则，，，由勾股定理得到的长．
②连接，根据已知条件，得到是等边三角形，延长到，使得，得到，由此得到为等边三角形，．
（3）延长和交于点，在（1）的条件下，，，由已知条件，得到，在中，根据勾股定理得到．
【小问1详解】
解：由题意得：
四边形是圆美四边形，
，
，
．
【小问2详解】
①如图，连接并延长，交圆于点，连接，
，，，
，
，，
．
故答案为：．
②如图，连接，在（1）的条件下，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，延长到，使得，
又，，
，
，，
，
为等边三角形，
则，
即，
．
【小问3详解】
如图，延长和交于点，
在（1）的条件下，，，
是直径，
，，
，
，，
在中，
，
，
即，
电影票售价x（元/张）
40
50
售出电影票数量y（张）
164
124