广东省中山市实验中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省中山市实验中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合 集合， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合，再根据集合的交集运算求解.
【详解】由，等价于，解得，
.
故选：D.
2. 若函数在上，则有（ ）
A. 最小值为B. 最大值0
C. 最小值D. 最大值
【答案】A
【解析】
【分析】作出函数图象，结合图象分析最值.
【详解】作出函数，的图象，如图所示：
可知在内有最小值为，无最大值.
故选：A.
3. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则当时，的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数定义可得答案.
详解】由题，因时，，
则时，.
故选：D
4. 设集合A=，B=，则“”是“a=2”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，则，，或，充分性不满足，
时，，因此有，必要性也满足，因此是必要不充分条件．
故选：B．
5. 已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（ ）
A. B. 若，则的值是
C. 的解集为D. 的值域为
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由分段函数的性质，代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为，则，故A正确；
当时，，解得（舍去），
当时，，解得或（舍去），故B正确；
当时，，解得，
当时，，解得，
所以的解集为，故C错误；
当时，的取值范围是，
当时，的取值范围是，
因此的值域为，故D正确；
故选：C
6. 对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按照，，分类讨论不等式恒成立时的取值范围即可.
【详解】由题得恒成立，
当时，二次函数开口向上，
显然不能恒成立；
当时，得，故不能恒成立；
当时，要使，
则或（舍）.
综上所述，.
故选：B
7. 已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数在上单调递增函数，
则满足 ，解得，即实数的取值范围为.
故选：D.
8. 若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和（ ）
A. B. 6C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题中对函数的性质计算出特殊值，再判断的奇偶性，由此判断出为奇函数，最后根据奇函数关于原点对称的性质得出结果.
【详解】在中，令得，即，令得，即，∴是奇函数，令，则，是奇函数，∴在对称区间上，当时，，，∴．
故选:B
二、多选题
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 是的充分不必要条件
B.
C.
D. 对于任意两个集合，关系恒成立
【答案】AD
【解析】
【分析】A：根据充分性不必要性的定义，结合特殊值法进行判断即可；
B：根据非负数的性质，结合存在的含义进行判断即可；
C：根据非负数的性质，结合任意的含义进行判断即可；
D：根据集合交集、并集定义，结合子集的定义进行判断即可.
【详解】对于，当时，成立，但当时，也成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以正确；
对于B，，所以B错误；
，即当时，成立，所以C错误；
因为，而，所以恒成立，D正确.
故选：AD
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 任意非零实数，，都有
B. 当时，的最小值是2
C. 当时，的最大值是5
D. 若正数，满足，则的最小值为3
【答案】CD
【解析】
【分析】举例说明判断A；利用基本不等式求出最值判断BC；利用基本不等式“1”的妙用求解判断D.
【详解】对于A，取，而，A错误；
对于B，当时，，当且仅当时取等号，B错误；
对于C，当时，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，正数，满足，则
，当且仅当时取等号，D正确.
故选：CD
11. 已知函数定义域为，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据条件，令，可得，A正确；再令，可得，据此变形，可得，故C正确；此时可解出，求得，故BD错误.
【详解】对于A，中令，
则，A正确；
对于BCD，再令，则，
即①
所以
即②，
又因为也符合上式，C正确；
联立①②，解得 ，D错误
，B错误.
故选：AC.
三、填空题
12. 已知函数，则____.
【答案】0
【解析】
【分析】令，解出即可求函数值.
【详解】令，得，
所以.
故答案为：0.
13. 已知函数在[5，20]上具有单调性，实数k的取值范围是____________
【答案】
【解析】
【详解】函数在上具有单调性，
只需或，即或
∴实数k取值范围为
14. 若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和______．
【答案】6
【解析】
【分析】先根据得到是奇函数，进而可判断也是奇函数，进而可得.
【详解】在中，令得，即，
令得，即f−x=−fx，∴fx是奇函数，
令，则，
故hx是奇函数，
在对称区间上，
当时，，.
故答案为：6
四、解答题
15. 已知集合
（1）若，求；
（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由集合描述可得，，根据集合交运算即可求；（2）由是的充分条件知列不等式组即可求a的范围.
【详解】（1），
当时，，
则；
（2）∵，
∴
是的充分条件，
，
，解得，
即实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查了集合的关系以及基本运算，首先根据集合描述写出集合，利用交运算求交集，再由充分条件得到包含关系，列不等式组求参数范围.
16. 已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）根据定义证明：在上单调递增.
【答案】（1）是上的奇函数，证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先证明定义域关于原点对称，再证明f−x=−fx，从而可证明是上的奇函数；
（2）利用单调性的定义来证明即可.
【小问1详解】
是上的奇函数.
证明：由题意得的定义域为，，都有，
，∴fx是上的奇函数.
【小问2详解】
证明：，，且，
则，
，，，，，
，，∴fx在−1,1上单调递增.
17. “绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米．
（1）若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．
【答案】（1）米
（2）平方米
【解析】
【分析】（1）设草坪的长为米，宽为米，根据面积得到关于的等量关系，再结合长比宽至少多米得到关于的不等式，由此求解出结果；
（2）设整个绿化面积为平方米，根据图形列出的表达式，然后结合已知条件利用基本不等式求解出的最小值.
【小问1详解】
设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得，
因为矩形的长比宽至少多米，所以，
所以，解得，
又因为，所以，
所以草坪宽的最大值为米．
【小问2详解】
设整个绿化面积为平方米，由题意可得
，
当且仅当即时，等号成立，
故整个绿化面积的最小值为平方米．
18. 给定函数，，．
（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式的解：
（3），用表示，中的较大者，记为．例如，当时，．请分别用图象法和解析法表示函数．
【答案】（1）图象见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数，的解析式即可作出图象；
（2）（3）结合图象即可求得答案；
【小问1详解】
画出函数，的图象如图：
【小问2详解】
观察图象，可得不等式的解为；
【小问3详解】
结合（1）可用图象法表示如图：
由可得或，
故.
19. 已知函数．
（1）已知关于x的不等式的解集为，若存在，使关于x的不等式有解，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解可求的值，从而可得关于的不等式，故可求的范围；
（2）就分类讨论后可得不等式的解集.
【小问1详解】
因为的解集为，
所以且的两个根为，
所以，故，
因为不等式在上有解，故或，
故.
【小问2详解】
即为，
故，
若，则，此时不等式的解为；
若，则，此时不等式的解为；
若，
若，则或，此时不等式的解为；
若，则不等式的解为；
若，则或，此时不等式的解为；
综上：当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；