江西省抚州市金溪县第一中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江西省抚州市金溪县第一中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
、是一元二次方程，符合题意；
、中当时，不是一元二次方程，不符合题意；
、是一元三次方程，不符合题意；
【点睛】此题考查了一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2. 在中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明是矩形，这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可；
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴平行四边形ABCD是菱形，故A不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴平行四边形ABCD是矩形，故B符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴不能判定平行四边形ABCD是矩形，故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定和菱形的判定，准确分析判断是解题的关键．
3. 如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为（ ）．
A. 2B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称、菱形的性质、中心对称的性质等知识点，熟记相关性质是解题关键．
根据菱形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）确定m、n的值，最后求和即可．
【详解】解：∵四边形菱形且对角线交于原点O，
∴点D与点B关于原点成中心对称，
∴，
∴．
故选：D．
4. 如图，在矩形中，O是对角线的交点，于点E，若，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．由矩形的性质得到，求得，再由勾股定理即可得到的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∵于点E，
∴，
∴，
故选：C．
5. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若， ，则菱形的面积为（ ）

A. 12B. 18C. 6D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解题的关键．根据菱形的性质可得，，再根据直角三角形的性质可得，最后根据菱形的面积公式计算，即得答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，，
，
，
菱形的面积为．
故选：A．
6. 已知一元二次方程和它两个实数根为，下列说法：
①若a，c异号，则方程一定有实数根；
②若，则方程一定有两异实根；
③若，则方程一定有两实数根；
④若，由根与系数的关系可得
其中正确的结论是：（ ）
A. ①③B. ①②③C. ②③④D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是先通过根的判别式判断一元二次方程根的情况，若，，是一元二次方程的两根时，，．当a、c异号时，，则根据判别式的意义可对①进行判断；当时，，可判断方程一定有两异实数根，则可对②进行判断；当时，则，则根据判别式的意义可对③进行判断；若，计算出，根据根与系数的关系，对④进行判断．
【详解】解：∵，
∴当a、c异号时，，
∴，
∴此时方程一定有实数根，故①正确；
当，若a、c异号时，则，此时方程一定有两个不相等的实数根，若a、c同号或c为0时，则，此时方程一定有两个不相等的实根，故②正确；
若时，，则方程一定有两实数根，故③正确；
若， Δ=22−4×1×−3=16>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，故④错误．
综上分析可知：正确的有①②③．
故选：B．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
7. 若关于x的一元二次方程的一个根是1，则c的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】把代入，然后解一次方程即可．
【详解】解：把代入得：，解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8. 学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为米，则可列方程为 _____．
【答案】（或）
【解析】
【分析】将阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600平方米列出方程即可．
【详解】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得矩形的长为米，宽为米，
∴可列方程（或）．
故答案为：（或）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，利用平移的知识得到种植面积的形状，进而得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．
9. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先把代入方程中，得出关于的方程求出的值，然后再根据根与系数的关系得出另一个根的值．
【详解】解：把代入方程中，
得：，
解得，
方程化为，
，
，
解得：，
故答案为：．
10. 若α 、β是方程的两个实数根，则的值为____________．
【答案】2021
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程得到，再根据根与系数关系得到，进而代值求解即可．
【详解】解：∵α 、β是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：2021．
11. 如图，点分别在直线和上，点是轴上两点，已知四边形是正方形，则值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数图象的性质，几何图形的性质是解题的关键．
根据题意，设，根据正方形的性质可得，将点代入一次函数即可求解．
【详解】解：根据题意，设，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点在直线的图象上，
∴，
∴，
故答案为：23 ．
12. 如图，点在正方形的对角线上，，若点在正方形的边上，且，则的度数为______ ．

【答案】或或
【解析】
【分析】分三种情况：①当在上时，由正方形的性质推出是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得到的度数；②当在上时，连接，由，得到，，推出是等边三角形，由四边形内角和求出，再代入即可；③当和重合时，由四边形是正方形，得到，求出，又，根据等边对等角可到，最后由三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：①如图，当在上时，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；

②如图，当在上时，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在四边形中，
，
∴；

③如图当和重合时，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的度数是或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，四边形内角和等于．解题的关键是分情况讨论．
三、（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
13. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用因式分解法解答即可；
（）利用因式分解法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
14. 已知关于x 的一元二次方程的两个实数根是， ．若 ，求k的值．
【答案】k的值为3
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出值是解题的关键．利用根与系数的关系结合可得出关于的方程，解之可得出的值，由方程的系数结合根的判别式可得出关于的不等式，解之即可得出的取值范围，进而可确定的值，此题得解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，，
∴，
∴，
解得：，
经检验，均为所列方程的解，
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴舍去，
∴k的值为3．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，已知点D的坐标为，求点E的坐标．
【答案】
【解析】
【分析】先根据点D的坐标得到，再由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是长方形，点D的坐标为，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，坐标与图形，灵活运用所学知识是解题的关键．
16. 图，已知正方形ABCD和等边三角形CDE．请你只用无刻度的直尺作图：
（1）在图1中作∠E角平分线：
（2）在图2中作∠ADE的角平分线．
【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）利用正方形对角线的交点到点C和点D的距离相等，得到EM垂直平分CD，再利用全等即可判定EM平分题中∠E．
（2）利用无刻度的直尺连接AC和BE，得到交点N，可利用得到N点到A点和E点距离相等，即可作出∠ADE的角平分线．
【小问1详解】
作图如图1所示：EM即为∠E的角平分线；
作法：连接正方形的对角线交于M点，射线EM即为∠E的角平分线．
【小问2详解】
作图如图2所示：DN即为∠ADE的角平分线；
作法：连接AC和BE交于点N，连接DN，则射线DN即为∠ADE的平分线．
【点睛】本题考查了无刻度的直尺作图，作一个角的平分线，理解题意，找出线段的垂直平分线上的点和能利用全等三角形的判定和性质得到线段或角之间的关系是解题关键．
17. 如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，求正方形的面积．
【答案】正方形的面积为
【解析】
【分析】本题主要考查了整式乘法与图形面积，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积以及用平方差公式求解．根据正方形面积为，得出正方形边长为，将阴影部分面积根据三角形面积公式表示出来可得，即可求解．
【详解】解：∵正方形面积为，
∴正方形边长为，
设正方形边长为x，则，
∴，，
∵阴影部分面积为，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴正方形面积为．
四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处．
（1）求证：AF＝CF
（2）求AF的长度．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质可得，，可证，可得AF=CF，
（2）利用勾股定理可求AF的值．
【小问1详解】
证明：依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有：
∴（AAS）
∴CF=AF
【小问2详解】
设AF=CF=x
∴BF=8-x
Rt△BCF中有
解得x=5．
即
【点睛】题考查了翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理求解所需线段是本题的关键．
19. 已知关于x 的方程有两个实数根，．
（1）若，是矩形的两条对角线的长，求a 的值；
（2）当时，，是菱形的两条对角线的长，求菱形的周长．
【答案】（1）
（2）20
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、勾股定理，熟练掌握矩形和菱形的性质、根据矩形的对角线相等得到（1）中是解答的关键．
（1）根据一元二次方程根与系数关系得到，，根据矩形两条对角线相等得到，进而列方程求解即可；
（2）先解出方程的解，进而利用菱形的性质和勾股定理求解即可
【小问1详解】
解：∵方程有两个实数根，，
∴，，
∵，是矩形的两条对角线的长，
∴，则，
解得；
【小问2详解】
解：当时，方程为，
解得，，
∵，是菱形的两条对角线的长，
∴菱形的边长，
∴菱形的周长为．
20. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每涨价元，每星期少卖出个，现网店决定提价销售，设销售单价为元，每星期销售量为个．
（1）请直接写出（个）与（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是元？
【答案】（1）；
（2）销售单价是元或元时，该网店每星期的销售利润是元．
【解析】
【分析】（）根据题意中每降价元，每星期可多卖出件，通过销售量（个）与售价（元）之间的关系即可得到结论；
（）根据题意列出方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
由题意可得，，
∴；
【小问2详解】
由题意可得，，
整理得：，
解得，，，
∴当销售单价是元或元时，该网店每星期的销售利润是元，
答：当销售单价是元或元时，该网店每星期的销售利润是元．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）
21. 已知关于的方程．
（1）圆圆说：该方程一定为一元二次方程．圆圆的结论正确吗？请说明理由．
（2）当时；
①若该方程有实数解，求的取值范围；
②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值．
【答案】（1）正确，理由见解析
（2）①；②．
【解析】
【分析】（1）利用配方法求出即可得出这个方程一定是一元二次方程．
（2）①根据判别式即可求出答案；
②利用根与系数的关系表示出和的值，根据条件可得到关于的方程，解方程可求得的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【小问1详解】
解：圆圆的结论正确，理由如下：
，
该方程一定为一元二次方程，
故圆圆的结论正确．
【小问2详解】
当时，则方程为，
①若该方程有实数解，则，
解得，
若该方程有实数解，的取值范围是；
②若该方程的两个实数解分别为和，则，，
，
，
，
，
整理得，
解得或，
，
的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．以及根与系数的关系．
22. 定义：我们把关于x 的一元二次方程与（，）称为一 对“友好方程 ”．如 的“友好方程 ”是 ．
（1）写出一元二次方程的“友好方程 ” ；
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程 ”的两根 ， ．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程 ” 的两根，之间存在的一种特殊关系为 ；
（3）已知关于x 的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x 的方程的两根．
【答案】（1）
（2）；；互为倒数
（3），
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．
（1）根据“友好方程”的定义，即得答案；
（2）求出方程的解，，即得猜想，分别求方程和的根，可验证，；
（3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程 ” 的两根为，，因此方程的两根，，即，，整理方程得，即得答案．
【小问1详解】
解：一元二次方程的“友好方程”为：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：对于方程，
，
解得，，
根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数；证明如下：
一元二次方程的两根为，，
“友好方程”的两根，，
，
，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：；；互为倒数；
【小问3详解】
解：方程的两根是，，
该方程的“友好方程”的两根为，，
则方程的两根，，
即，，
整理方程得，
关于x 的方程的两根为，．
六、（本大题共 12 分）
23. 如图，已知一次函数的图象分别交轴、轴于、两点，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒2个单位长度向点匀速运动，过点Q作轴，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为秒，连接、．
（1）点A的坐标为____，点B的坐标为_____， ____；
（2）四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；若不能，则说明理由．
（3）若点，点N在x轴上，直线上是否存在点M ，使以M 、N 、B 、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；；12
（2）能；
（3）存在；M点的坐标为，，
【解析】
【分析】（1）分别令，，即可求得A、B的坐标，然后根据勾股定理即可求得的长；
（2）根据题意得：，，得出，证明，得出，求出，证明四边形是平行四边形，得出当时，则四边形为菱形，得出，求出结果即可；
（3）分两种情况：当是平行四边形的边时，当是平行四边形的对角线时，分别画出图形求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，
令，则，
解得：，
∴，
令，则，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：根据题意得：，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴如果，则四边形为菱形，
即，
解得：，
∴当时，四边形为菱形；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
当是平行四边形的边时，
∵四边形是平行四边形，
∴，轴，
把代入得：，
解得：，
∴；
把代入得：，
解得：，
此时；
当是平行四边形的对角线时，，
∵，
∴，
∵点B在y轴上，
∴点的横坐标为，
把代入得，
∴；
故M点的坐标为，，．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，平行四边形的判定和性质，求直线与坐标轴的交点，勾股定理，菱形的性质，解题关键在于作辅助线和利用勾股定理即可求得．