江西省抚州市金溪县第二中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份江西省抚州市金溪县第二中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题．，填空题等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分120分，考试时间120分钟， 命题人：赵国胜 审题人：李金
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）．
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．5(x－4)2＝5x2 B．ax2＋bx＋c＝0 C．y2＋3x－1＝0 D．2x2＝0
2．已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°时，▱ABCD是矩形 B．AC＝BD一定成立
C．∠ABC＝∠ADC D．当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形
3．用配方法解一元二次方程 x2－2x－3＝0时方程变形正确的是（ ）
A．(x－1)2＝2 B．(x－2)2＝1
C．(x－1)2＝4 D．(x－2)2＝7
4．有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为（ ）
A．15 B．24或15 C．24 D．42或51
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，使B、D恰好落在点M处，已知AE＝AF，则DF的长为（ ）
A．4－4 B．4－2 C．1.5 D．2－1
6．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；
⑤等腰三角形．一定能拼成的图形是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．①②⑤
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．关于x的一元二次方程x2－5＝4x的一次项是_______．
8．在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝8，则菱形ABCD的面积 ________．
9．已知关于x的方程x2−kx＋12＝0的一个根为3，则k的值为_______．
A
第5题
D
F
E
C
B
M
10．代数式3x2−x－3与代数式x(2x＋1)的值相等，则正数x 的值是________．
D
E
P
A
B
C
第12题
图2
第11题
图1
A
D
O
B
C
E
11．如图，图2是图1是一种矩形时钟的示意图，钟表上的数字2、4、8、10的刻度在图2矩形ABCD的对角线上，秒针OE分别指在刻度7数字上，秒针OE与BC交于E点．若AB＝32cm，则BE长为_______ cm．
12．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝7．延长BC 到点E，使CE＝3，连结DE．动点P从点B出发，沿BE以每秒1个单位的速度向终点E运动，当运动时间t为
_____________时，当△PDE是等腰三角形．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）解方程：x2＝4．
B
A
C
O
D
E
F
（2）如图，在矩形ABCD中，EF经过对角线BD的中点O，分别交AD，BC于点E，F，求证：△BOF≌△DOE．
14．将一元二次方程y(3y－1)＝(y＋3)(y－3)化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
A
B
D
C
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝4．
求CD的长．
16．已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0的常数项为0，求m的值．
17．如图，l1∥l2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A在直线l1上，B、C两点在l2上，
D、E分别是AC、AB的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC边BC的中线AF；
（2）在图2中，画出一个以AC为对角线的菱形．A
B
C
l1
l2
D
E
图1
A
B
C
l1
l2
D
E
图2
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
12
x
x
绿化地块
路
绿化地块
18．如图所示，某校准备对一块矩形空地进行绿化，空地的宽为12米，在空地上建两个大小相同的正方形绿化区域和宽度相同的“T”字形的小路，且绿化区域的面积为242平方米．
（1）请用含x的代数式表示正方形的边长为______米；
（2）求小路的宽x和矩形空地的面积．
19．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b=ab−a；当a＜b时，a⊕b=ab＋a．
如：∵2＞－1，∴2⊕(－1)＝2×(－1)－2＝－4；
∵－1＜2，∴ －1⊕2＝ －1×2＋2＝0．
（1）计算：－2⊕3＋2⊕(－2)＝_______；
（2）若x⊕(2x－1)＝4，求x的值．
20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是什么？请说明理由；
②若AB＝10，ED＝8，则四边形ADCE的面积为______．
A
C
B
D
E
图2
图1
A
C
B
D
E

五、（每小题9分，共18分）
21．阅读：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．请阅读下面两个材料，并解决下面的问题．
材料一：等式配方：
已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求2x－y的值．
解：x2＋y2－4x＋6y＋13＝0
x2－4x＋y2＋6y＝－13
x2－4x＋22＋y2＋6y＋32＝－13＋22＋32
(x－2)2＋(y＋3)2＝0
∴x＝2，y＝－3
∴2x－y＝2×2－(－3)＝7
材料二：代数式配方：
把x2－4x＋3可配方成(x－m) 2＋n的形式．
解：x2－4x＋3＝x2－4x＋22－22＋3＝(x－2)2－1
解决问题：
（1）把x2－6x－2可配方成(x＋m) 2－n的形式，则m＝_____，n＝______；
（2）若x2＋y2－12x－16y＋100＝0，且x、y是菱形ABCD的两条对角线的长．
①求x、y的值；
②求菱形ABCD的边长．
22．追本溯源：
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，请你根据（1）题方法完成（2）题解答．
C
A
B
E
F
D
G
图3
A
H
B
图1
C
D
E
F
G
（1）已知：如图1，在正方形ABCD中， E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是正方形；
D
E
G
F
A
B
C
图2
H
（2）①如图2，在菱形ABCD中， E，F，G，H点分别是菱形四条边上的点，若AE＝BF＝CG＝DH．四边形EFGH是什么特殊四边形，并说明你判断的理由；
②如图3，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝CF＝1，BF＝4，FG⊥EF交AB于G点，DE∥FG交AB于D点，则DE＋FG＝________．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．综合与实践
通过平移线段可以实现线段位置变换，平移线段也是解题的常用方法．请你用平移
线段的方法解答下列问题：
（1）尝试初探
①如图1，在正方形ABCD中，DE⊥FG ，点E ，F，G都是正方形边上的点．将FG沿AD方向平移到DH，连接CH，则DE与GF之间的数量关系是_______；
②如图2，在菱形ABCD中，∠A＝60° ，点E ，F，G都是菱形边上的点． FG与 DE交于M点，∠EMF＝60°，将FG沿AD方向平移到DH，连接BD，则DE与GF之间的数量关系是_______；
D
A
F
O
G
B
C
E
图3
N
M
A
G
M
E
H
D
F
C
B
图2
E
D
A
B
F
G
C
H
图1
P
A
B
C
D
E
图4
（2） 深入探究
如图3，在□ABCD中，点G ， E，F都是□ABCD边上的点，连接DG与EF相交于点O，且 ∠GOE＝45°，DG⊥AB，BE＋DF＝BC，DG＝6．
求EF的长；（将EF平移到DM，并延长DM交AB的延长线于N点）
（3） 拓展延伸
如图4，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P点是射线BP上一个动点，射线BP∥AC，以PB为对角线作□PCBD，连接AD交BP于点E．
①当四边形PCBD为菱形时：则AD＝_____；
②当△PBC为直角三角形时，求DE的长．

金溪二中2025届九年级第一次强化训练试题
参考答案
一、选择题
1．D； 2．B； 3．C； 4．B； 5．A； 6．D；
二、填空题
7．－4x； 8．48； 9．7； 10．3； 11．； 12．4或5或
三、解答题
13．（1）解：x1＝2，x2＝－2…………………………………3分
（2）证明：∵矩形ABCD
∴AD∥BC
∴∠EDO＝∠FBO
∵ O是BD的中点
∴OB＝OD
∵∠DOE＝∠BOF
∴△DOE≌△BOF…………………………………6分
14．解：3y2－y＝y2－9
2y2－y＋9＝0…………………………………3分
二次项系数：2；一次项系数：－1；常数项：9…………………………………6分
15．证明：在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，BC＝4
∴AB＝2BC＝8，
∵D为AB的中点，
∴CD＝AB＝4…………………………………6分
16．解：依题意 得：m2－4＝0
m＝±2………………………3分
∵m－2≠0
∴m＝－2………………………6分
17．解：（1）如图1， AF为所求△ABC的中线；……………3分
（2）如图2，四边形AFCG为所求的菱形．……………6分
F
A
B
C
l1
l2
D
E
图2
A
B
C
l1
l2
D
E
图1
F
G
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（1）(12－x)…………………………………2分
（2）解：依题意 得：
2(12－x)2＝242…………………………………5分
解得：x1＝1，x2＝23(不合题意，舍去) …………………………………6分
当x＝1时，矩形的长为2(12－x)＋x＝23
∴S矩形空地＝12×23＝276m2…………………………………7分
∴小路的宽为1m，矩形空地的面积为276m2…………………………………8分
19．解（1）－14；…………………………………3分
（2）当x≥2x－1时，x≤1
x⊕(2x－1)＝4
x(2x－1)－x＝4
2x2―x―x＝4
x2―x－2＝0
x1＝2(不合题意，舍去)，x2＝－1…………………………………5分
当x＜2x－1时，x＞1
x⊕(2x－1)＝4
x(2x－1)＋x＝4
x2＝2
x3＝，x4＝－(不合题意，舍去) …………………………………7分
综上所述：x的值为－1或…………………………………8分
20．解（1）∵AE∥CD，CE∥AB，
∴ 四边形ADCE是平行四边形
∵CD⊥AB
∴∠ADC＝90°
∴四边形ADCE是矩形
∴AC＝DE…………………………………3分
（2）①四边形ADCE是菱形…………………………………4分
∵AE∥CD，CE∥AB，
∴ 四边形ADCE是平行四边形
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点
∴CD＝AD
∴ 四边形DCE是菱形…………………………………6分
②24…………………………………8分
五、（每小题9分，共18分）
21．解：（1）m＝－3，…………………………2分
n＝11…………………………3分
（2）①x2－12x＋62＋y2－16y＋82＝－100＋62＋82
(x－6)2＋( y－8)2＝0
∴x＝6，y＝8…………………………6分
②∵x、y是菱形ABCD的两条对线的长
∴菱形ABCD的边长为：＝＝5…………………………9分
22．解：（1）∵正方形ABCD
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°
∵AE＝BF＝CG＝DH
∴AH＝BE＝CF＝DG，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴EH＝EF＝GF＝GH，∠AHE＝∠BEF
∴四边形EFGH是菱形
∵∠AHE＋∠AEH＝90°
∴∠BEF＋∠AEH＝90°
∴∠HEF＝90°
∴四边形EFGH是正方形…………………………………4分
C
A
B
E
F
D
G
图3
M
（2）①四边形EFGH为平行四边形
∵菱形ABCD
∴∠B＝∠D，AB＝CD
∵AE＝CG＝DH
∴BE＝DG
∴△BEF≌△DGH
∴EF＝GH
同理可证： EH＝FH
∴四边形EFGH为平行四边形…………………………………7分
②………………………9分
六、（本大题共1小题，共12分）
23．解：（1）①DE＝GF；②DE＝GF；…………………………………2分
（2）如图3，将EF沿FD方向向右平移到DM，并延长DM交AB的延长线于N点，
∴EF∥DM
∴∠GOE＝∠GDM＝45°，
∵□ABCD，
∴DF∥EM， AB∥CD
A
F
D
O
G
C
B
M
E
图3
N
∴∠MBN＝∠C，∠CDM＝∠N
四边形DMEF为平行四边形
∴DF＝EM，
∵BE＋DF＝BE＋EM＝BC
∴BM＝CM
∵DG⊥AB
∴∠DGB＝∠CDG＝90°
∴∠GDM＝∠CDM＝45°，
∴∠N＝∠CDM＝45°
∴∠N＝∠GDM
∴GN＝GD＝6
∴DN＝GD＝12
在△BMN和△CMD中
∠MBN＝∠C，∠DMC＝∠BMN，BM＝CM
∴△BMN≌△CMD
∴DM＝MN＝6
∴ EF＝DM＝6…………………………………5分
A
C
P
B
E
D
图4
（3）①8…………………………………7分
连接DC
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°
∵AD∥BP，
∴ ∠PBC＝∠ACB＝30°
∵菱形BCPD
∴BD＝BC，∠PBD＝∠PBC＝30°，CD⊥BP
∴CD⊥AC，∠DBC＝60°，
∴△BCD是等边三角形
∴BD＝DC，∠BDC＝60°
∵AB＝AC，
∴AD垂直平分BC
∴∠ADC＝30°
在△ACD中
AD＝2AC＝8
A
B
C
E
P
F
D
G
②将CP沿PB方向向左平移到AF，连接DF
∴AF＝PC，AF∥PC
∵□PCBD
∴PC＝BD，PC∥BD
∴AF＝BD，AF∥BD
∴四边形ABDF为平行四边形
∴AE＝DE
当∠BCP＝90°时，
由①可知：BE＝EF，AG⊥BC，∠AFB＝∠BPC
∵AB＝AC，∠BAC＝120°
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵AC∥BP
∴∠PBC＝∠ACB＝30°
∴∠AFB＝∠BPC＝90°－30°＝60°
∠ABF＝60°，
∴AF＝AB，
∴AE⊥BP
在Rt△ABE中
∵∠BAE＝30°
D
A
E
B
P
C
F
∴BE＝AB＝2
∴DE＝AE＝＝2…………………………………9分
当∠BPC＝90°时，
由上可知：BE＝EF，∠AFB＝∠BPC＝90°
BF＝2，AF＝2
在Rt△AFE中
DE＝AE＝＝
＝…………………………………11分
综上所述：DE的长为2或…………………………………12分