2023-2024学年山东省枣庄市峄城区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023-2024学年山东省枣庄市峄城区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a值为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
2. 如图，已知四边形中，分别为上的点(不与端点重合)．下列说法错误的是（ ）
A. 若分别为各边的中点，则四边形是平行四边形：
B. 若四边形是任意矩形，则存在无数个四边形是菱形
C. 若四边形是任意菱形，则存在无数个四边形是矩形
D. 若四边形是任意矩形，则至少存在一个四边形是正方形
【答案】D
【解析】A选项：连接BD，AC，
∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，
∵在△ABD中，EH∥BD，EH＝BD，
在△CBD中，FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；故A不符合题意；
B选项：如图，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于O，
过点O直线EG和FH，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AO＝OC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CFO，
∴△AHO≌△CFO，OH＝OF，
同理可得OE＝OG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴当EG⊥HF时，存在无数个四边形EFGH是菱形，故B选项不符合题意；
同理可知C选项不符合题意；
D选项：若四边形EFGH是正方形，则EH＝HG，∠A＝∠D＝90°，∠EHG＝90°，
∴∠AEH＋∠AHE＝90°，∠DHG＋∠AHE＝90°，
∴∠AEH＝∠DHG，
∴△AEH≌△DHG，
∴AE＝DH，
同理可得：BE＝AH，
∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，
∴当四边形ABCD为任意矩形时，不存在四边形EFGH是正方形，故D选项符合题意．
3. 如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是正方形
∴，
∵
∴，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
故选：C．
4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5. 关于x的方程的两个根是﹣2和1，则的值为（ ）
A. ﹣8B. 8C. 16D. ﹣16
【答案】C
【解析】∵关于x的方程的两个根是﹣2和1，
∴ =﹣2+1=-1， =﹣2 ，
∴ ，
∴=（﹣4）2=16．
故选：C．
6. 为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意可得矩形空地的宽为米，
可列方程，
故选：A．
7. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为；故选C．
8. 如图，身高为1.6m的吴格霆想测量学校旗杆的高度，当她站在C处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0m，BC＝8.0m，则旗杆的高度是（ ）
A. 6.4mB. 7.0mC. 8.0mD. 9.0m
【答案】C
【解析】设旗杆高度为h，由题意得：＝，解得：h＝8．
故选：C．
9. “黄金分割”广泛存在于人们生活实践中．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（参考数据：，，）
A. 0.73mB. 0.76mC. 1.24mD. 1.36m
【答案】C
【解析】设该雕像的下部设计高度为xm，由题意得：
，
解得：；
故选C．
10. 如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分．在答题纸上填写最后结果．
11. 如图，在矩形中对角线，交于点O，请添加一个条件______，使矩形是正方形（填一个即可）

【答案】（答案不唯一）
【解析】由判定方法“邻边相等的矩形是正方形”知，可添加，即可使矩形是正方形．其它条件也行，只要符合题意即可．
故答案为：（答案不唯一）．
12. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是__________尺．
【答案】8
【解析】设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，
门宽为尺，
∴，
解得：或（舍去），
故答案为：．
13. 已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数_____________．
【答案】
【解析】∵一元二次方程的两个实数根为，
∴
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
14. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．
【答案】
【解析】和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
根据与的周长比等于相似比可得，
故答案为：．
15. 在中（如图），点D、E分别为、的中点，则______．
【答案】
【解析】点D、E分别为、的中点，
为的中位线，
，，
,
，
，
故答案为：．
16. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于的中点，南门位于的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点在直线上）？请你计算的长为__________步．
【答案】
【解析】∵DEFG是正方形，
∴∠EDG=90°，
∴∠KDC+∠HDA=90°．
∵∠C+∠KDC=90°，
∴∠C=∠HDA．
∵∠CKD=∠DHA=90°，
∴△CKD∽△DHA，
∴CK：KD=HD：HA，
∴CK：100=100：15，
解得：CK=．
故答案为．
三、解答题：本题共8小题，满分66分．在答题纸写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）解方程：；
（2）配方法解方程：．
解：（1）
有或，
解得，．
（2）
，．
18. 已知：关于x的一元二次方程，求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根．
证明：
，
此方程总有两个实数根．
19. 已知：如图，在中，∠BAC=90°，DE、DF是 的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．
证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，
∴EF=AD．
20. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．

（1）求证；
（2）若，求边的长度．
解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，∴，即，
∴
21. 2023年第19届亚运会的吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．如图，现有三张正面印有这三种吉祥物的不透明的卡片，依次记为A、B、C，这三张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取一张，记下图案后背面向上放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．

（1）从这三张卡片中随机挑选一张，是“宸宸”的概率是__________；
（2）用画树状图（或列表）的方法，求小张两次抽到的卡片图案上至少有一张是“宸宸”的概率．
解：（1）∵从三张卡片中随机抽取一张卡片，
∴抽出的卡片图案是“宸宸”的概率是；
故答案为：；
（2）用画树状图的方法，将小张两次抽到的卡片绘制如下：

共有9种等可能的结果，其中至少有一张是“宸宸”的情况有5种结果，所以两次抽取的卡片图案上至少有一张是“宸宸”的概率为，
故答案为：．
22. 杭州2023年第19届亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”．杭州亚运会开幕日前期，某特许零售店“莲莲”的销售日益火爆．据统计，该店2023年6月的销售量为3万件，2023年8月的销售量为3.63万件．
（1）求该店“莲莲”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“莲莲”销量的月平均增长率保持不变，则2023年9月“莲莲”的销量有没有超过4万件．
解：（1）设该店“莲莲”销量的月平均增长率为，
由题知，
解得（舍去），，
，
答：该店“莲莲”销量月平均增长率为．
（2）由题知（万元），
，
2023年9月“莲莲”的销量没有超过4万件．
23. 如图，四边形是菱形，于点，于点．

（1）求证：；
（2）若，，求菱形的面积．
解：（1）四边形是菱形，
，，

，，
，
在和中，
，
；
（2）设菱形的边长为，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，即，
解得，
菱形的边长是5．
∴菱形的面积为
24. 如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话：

（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接，若，求的长．
解：（1）①选择小星的说法，证明如下：
如图，连接，

，，
四边形平行四边形，
，
，
，
又，点D在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
；
②选择小红的说法，证明如下：
如图，连接，，

由①可知四边形矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
．
（2）如图，连接，

，，
，
，
在中，，
，
解得
即的长为．

小星：由题目的已知条件，若连接，则可
证明．
小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．