2023-2024学年山东省聊城市东昌教育集团九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023-2024学年山东省聊城市东昌教育集团九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、单项选择题（本题包括12小题，每小题3分，共36分）
1. 在中，，，，那么的正弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，

在中，，，，
∴,
故选：D．
2. 如图，直线，直线和DF被，，所截，如果，，，那么的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线，

，，，


故选：A.
3. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
A、若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
B、添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，故本选项符合题意；
C、添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
D、添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意．
故选：B．
4. 如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A. 55°B. 65°C. 75°D. 130°
【答案】B
【解析】∠BOC＝130°，点A在上，

故选B
5. 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，
在Rt△ACD中，AD=4,CD=3,
∴AC===5,
∴==.
故选D.
6. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】A
【解析】第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
7. 如图，某商店营业大厅自动扶梯的坡度为，过点B作，垂足为点C．若大厅水平距离的长为，则两层之间的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵的坡度为，过点作，垂足为点，大厅水平距离的长为，
∴，
则（m）．
故选：．
8. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）
A. 12B. 18C. 20D. 50
【答案】C
【解析】和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
9. 如图，的半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若，则的长为（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】∵的半径弦于点C，连接并延长交于点E，
∴垂直平分，是的直径，
∴，
∴是的中位线，
∴，
在中，设，则，
∵，
∴，
解得：，即，，
∴，
故选：B．
10. 在半径等于5 cm的圆内有长为cm的弦，则此弦所对的圆周角为( )
A. 60°B. 120°
C. 60°或120°D. 30°或120°
【答案】C
【解析】如图所示，
∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD=BD=，
在Rt△AOD中，OA=5，AD=，
∴sin∠AOD=，
又∵∠AOD为锐角，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ACB=∠AOB=60°，
又∵圆内接四边形AEBC对角互补，
∴∠AEB=120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故选C．
11. 如图，的弦垂直于，E为垂足，，，且，则圆心O到的距离是（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，过点，分别作于，于，则四边形是矩形，

，，
，
，
∴
，
，
，
则，
，
，
，
．
故选：A．
12. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为，点A的坐标是，，把绕点A按顺时针方向旋转后，得到，则的外接圆圆心坐标是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，取AB'中点P，过点P分别作PE⊥x轴，垂足为点E，连接PO'，

∵把绕点A按顺时针方向旋转后，得到，
∴AB＝AB'，∠BAB'＝90°，∠B'O'A＝∠BOA＝90°，
∵点P为AB'中点，
∴PA＝PB'＝PO'＝AB'，
∴的外接圆圆心为点P，
∵∠BAO＝60°，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝90°－∠BAO＝30°，
∴OA＝AB，
∵点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∴AB'＝AB＝2OA＝2，
∴PA＝AB'＝1，
∵∠BAB'＝90°，∠BAO＝60°，
∴∠PAE＝180°－∠BAB'－∠BAO＝30°，
∴PE＝PA＝,
∴在Rt△PEA中，，
∴点P的坐标为．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本题共5个空，每空3分，共15分）
13. 在中，若，，则__________度．
【答案】90
【解析】∵，
∴，,
，，
∠B=30°，∠A=60°，∠C=180-（∠A+∠B）=90°．
故答案为90．
14. 如图，是外一点，分别和相切于点，是弧上任意一点，过作的切线分别交于点，若，则的周长为______．
【答案】24
【解析】分别和相切于点，，
，
过作的切线分别交于点，
，，
，
的周长为24，
故答案为：24．
15. 设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是______．
【答案】相切或相交
【解析】，，，
点在直线上，，
直线与相切或相交，
故答案为：相切或相交．
16. 如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛A在它的北偏东方向上，航行12海里到达点处，测得小岛A在它的北偏东方向上，那么小岛A到航线的距离等于____________海里．
【答案】
【解析】如图，过点A作AD⊥BC于D，
根据题意可知∠EBA=60°，∠FCA=30°，EB⊥BC，FC⊥BC，BC=12，
∴∠ABD=30°，∠ACD=60°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABD=30°，
∴AC=BC=12，
∴CD=AC=6，
∴AD===．
故答案为：.
17. 如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，…，则第二个正方形的面积为______，第n个正方形的面积为______（用含n的代数式表示）．

【答案】2;
【解析】正方形的边长为1，则；
，则；
，则；
……
，则，
故答案为：2，．
三、解答题（本题共7小题，共69分）
18. 计算
（1）
（2）
解：（1）
；
（2）
．
19. 如图，AE平分，D为AE上一点，．
（1）求证：；
（2）若D为AE中点，，求CD的长．
解：（1）∵AE平分，
∴，
在与中，∵，，∴；
（2）∵D为AE中点，∴，
∵，∴，∴，∴CD的长为2．
20. 如图,在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为，，．
（1）以原点为位似中心，在轴的右侧按放大，画出的一个位似；
（2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
（3）与是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标，若不是请说明理由．
解：（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作；
（3）和是位似图形；
如图，点为所求，坐标为．
21. 如图，在△ABC中，，，，求AB的长．

解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．

∵在Rt△CDA中，∠A=30°，
∴CD=AC•sin30°=3，AD=AC×cs30°=9，
∵在Rt△CDB中，
∴BD===4．
∴AB=AD+DB=9+4.
22. 如图，在圆内接四边形中，，求的长．

解：延长交于点E，
∵，∴，
∴∴与都直角三角形，
在中，，∴，
在中，，
∴，
∴
23. 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．
(1)求教学楼AB高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin22º≈，cs22º≈，tan22º≈)
解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M．
设AB为x．
在Rt△ABF中，∠AFB=45°，
∴BF=AB=x，
∴BC=BF＋FC=x＋13．
在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB－BM=AB－CE=x－2，
又∵
∴，解得：x≈12．
∴教学楼的高12m．
（2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25．
在Rt△AME中，，
∴AE=．
∴A、E之间距离约为27m．
24. 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若ED，AB的延长线相交于F，且AE＝5，EF＝12，求⊙O的半径．
解：（1）∵DE⊥AC，
∴∠AEF=90°，
连接OD，如图：
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAB，
∴∠DAE=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODF=∠AEF=90°，
∴OD⊥EF，
∵点D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切线；
（2）在Rt△AEF中，
根据勾股定理得， ，
设⊙O的半径为r，
∴OD=r，OF=13-r，
由（1）知，OD∥AE，
∴△OFD∽△AFE，
∴，
∴，
∴．