广西省柳州市中考数学试卷（含解析版）

这是一份广西省柳州市中考数学试卷（含解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）（2014•柳州）如图，李师傅做了一个零件，请你告诉他这个零件的主视图是（ ）

A． B． C． D．
2．（3分）（2014•柳州）在所给的，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（ ）
3．（3分）（2014•柳州）下列选项中，属于无理数的是（ ）
4．（3分）（2014•柳州）如图，直线l∥OB，则∠1的度数是（ ）
5．（3分）（2014•柳州）下列计算正确的选项是（ ）
A． ﹣1= B． （）2=5 C． 2a﹣b=ab D． =
6．（3分）（2014•柳州）如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（ ）
7．（3分）（2014•柳州）学校“清洁校园”环境爱护志愿者的年龄分布如图，那么这些志愿者年龄的众数是（ ）
8．（3分）（2014•柳州）如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则⊙O2的半径r为（ ）
9．（3分）（2014•柳州）在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（ ）

A． 长方形 B． 平行四边形 C． 菱形 D． 直角梯形
10．（3分）（2014•柳州）如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是（ ）
11．（3分）（2014•柳州）小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（ ）
12．（3分）（2014•柳州）如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是（ ）

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）（2014•柳州）3的相反数是 ．
14．（3分）（2014•柳州）如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或“＜”填空）．
15．（3分）（2014•柳州）如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB= ．
16．（3分）（2014•柳州）方程﹣1=0的解是x= ．
17．（3分）（2014•柳州）将直线y=x向上平移 个单位后得到直线y=x+7．
18．（3分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设△ACD、△BCE、△ABC的面积分别是S1、S2、S3，现有如下结论：
①S1：S2=AC2：BC2；
②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；
③若AC⊥BC，则S1•S2=S32．
其中结论正确的序号是 ．

三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）（2014•柳州）计算：2×（﹣5）+3．

20．（6分）（2014•柳州）一位射击运动员在10次射击训练中，命中靶的环数如图．
请你根据图表，完成下列问题：
（1）补充完成下面成绩表单的填写：
（2）求该运动员这10次射击训练的平均成绩．
21．（6分）（2014•柳州）小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示．问：这两个苹果的重量分别为多少g？
22．（8分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．
①求BD和AD的长；
②求tan∠C的值．

23．（8分）（2014•柳州）如图，函数y=的图象过点A（1，2）．
（1）求该函数的解析式；
（2）过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C，求四边形ABOC的面积；
（3）求证：过此函数图象上任意一点分别向x轴和y轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．
24．（10分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．

25．（10分）（2014•柳州）如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；[来源:Z*xx*k.Cm]
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．

26．（12分）（2014•柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）
（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．
（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）
附：阅读材料
任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，
则：x1+x2=﹣，x1•x2=
能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．
例：不解方程，求方程x2﹣3x=15两根的和与积．
解：原方程变为：x2﹣3x﹣15=0
∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=﹣，x1•x2=
∴原方程两根之和=﹣=3，两根之积==﹣15．


A．
B．
0
C．
﹣1
D．
3

A．
2
B．
π
C．
D．
﹣2

A．
120°
B．
30°
C．
40°
D．
60°

A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限

A．
12岁
B．
13岁
C．
14岁
D．
15岁

A．
12
B．
8
C．
5
D．
3

A．
240°
B．
120°
C．
60°
D．
30°

A．
无解
B．
x=1
C．
x=﹣4
D．
x=﹣1或x=4

A．
0.25
B．
0.5
C．
0.75
D．
0.95
射击序次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩/环
8
10
7
9
10
7
10
广西柳州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）（2014•柳州）如图，李师傅做了一个零件，请你告诉他这个零件的主视图是（ ）

A． B． C． D．
分析： 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解答： 解：从正面看，左边是个正方形，右边是个矩形，
故选：A．
点评： 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

2．（3分）（2014•柳州）在所给的，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（ ）

3．（3分）（2014•柳州）下列选项中，属于无理数的是（ ）

4．（3分）（2014•柳州）如图，直线l∥OB，则∠1的度数是（ ）

5．（3分）（2014•柳州）下列计算正确的选项是（ ）

6．（3分）（2014•柳州）如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（ ）

7．（3分）（2014•柳州）学校“清洁校园”环境爱护志愿者的年龄分布如图，那么这些志愿者年龄的众数是（ ）

8．（3分）（2014•柳州）如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则⊙O2的半径r为（ ）

9．（3分）（2014•柳州）在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（ ）

A． 长方形 B． 平行四边形 C． 菱形 D． 直角梯形

10．（3分）（2014•柳州）如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是（ ）

11．（3分）（2014•柳州）小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（ ）

12．（3分）（2014•柳州）如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是（ ）
考点： 列表法与树状图法．
专题： 计算题．
分析： 根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出至少有一个灯泡发光的情况数，即可求出所求的概率．
解答： 解：列表如下：
所有等可能的情况有4种，其中至少有一个灯泡发光的情况有3种，
则P==0.75．
故选C．
点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）（2014•柳州）3的相反数是 ﹣3 ．

14．（3分）（2014•柳州）如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x ＜ y（用“＞”或“＜”填空）．

15．（3分）（2014•柳州）如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB= 5 ．

16．（3分）（2014•柳州）方程﹣1=0的解是x= 2 ．

17．（3分）（2014•柳州）将直线y=x向上平移 7 个单位后得到直线y=x+7．

18．（3分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设△ACD、△BCE、△ABC的面积分别是S1、S2、S3，现有如下结论：
①S1：S2=AC2：BC2；
②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；
③若AC⊥BC，则S1•S2=S32．
其中结论正确的序号是 ①②③ ．

三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）（2014•柳州）计算：2×（﹣5）+3．

20．（6分）（2014•柳州）一位射击运动员在10次射击训练中，命中靶的环数如图．
请你根据图表，完成下列问题：
（1）补充完成下面成绩表单的填写：
（2）求该运动员这10次射击训练的平均成绩．
21．（6分）（2014•柳州）小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示．问：这两个苹果的重量分别为多少g？

22．（8分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．
①求BD和AD的长；
②求tan∠C的值．

23．（8分）（2014•柳州）如图，函数y=的图象过点A（1，2）．
（1）求该函数的解析式；
（2）过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C，求四边形ABOC的面积；
（3）求证：过此函数图象上任意一点分别向x轴和y轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．

24．（10分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．

25．（10分）（2014•柳州）如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；[来源:Z*xx*k.Cm]
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．

26．（12分）（2014•柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）
（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．
（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）
附：阅读材料
任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，
则：x1+x2=﹣，x1•x2=
能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．
例：不解方程，求方程x2﹣3x=15两根的和与积．
解：原方程变为：x2﹣3x﹣15=0
∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=﹣，x1•x2=
∴原方程两根之和=﹣=3，两根之积==﹣15．


A．
B．
0
C．
﹣1
D．
3
考点：
有理数大小比较．
分析：
要解答本题可根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
解答：
解：﹣1＜0＜＜3．
故选：C．
点评：
本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．

A．
2
B．
π
C．
D．
﹣2
考点：
无理数．
分析：
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解答：
解：π是无限不循环小数，
故选：B．
点评：
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．

A．
120°
B．
30°
C．
40°
D．
60°
考点：
平行线的性质．
分析：
根据两直线平行，同位角相等解答．
解答：
解：∵直线l∥OB，
∴∠1=60°．
故选D．
点评：
本题考查平行线的性质，熟记性质是解题的关键．

A．
﹣1=
B．
（）2=5
C．
2a﹣b=ab
D．
=
考点：
分式的加减法；实数的运算；合并同类项．
专题：
计算题．
分析：
A、原式利用平方根定义化简，计算即可得到结果；
B、原式利用平方根定义化简，计算即可得到结果；
C、原式不能合并，错误；
D、原式利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断．
解答：
解：A、原式=2﹣1=1；故选项错误；
B、原式=5，故选项正确；
C、原式不能合并，故选项错误；
D、原式=，故选项错误．
故选B．
点评：
此题考查了分式的加减法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限
考点：
轴对称的性质．
分析：
根据轴对称的性质作出选择．
解答：
解：如图所示，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在第一象限．
故选：A．
点评：
本题考查了轴对称的性质．此题难度不大，采用了“数形结合”的数学思想．

A．
12岁
B．
13岁
C．
14岁
D．
15岁
考点：
条形统计图；众数．
分析：
根据众数的定义，就是出现次数最多的数，据此即可判断．
解答：
解：众数是14岁．
故选C．
点评：
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

A．
12
B．
8
C．
5
D．
3
考点：
圆与圆的位置关系．
分析：
根据两圆外切时，圆心距=两圆半径的和求解．
解答：
解：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8﹣5=3．
故选D．
点评：
本题考查了圆与圆的位置关系，注意：两圆外切，圆心距等于两圆半径之和．
考点：
多边形．
分析：
根据菱形的对角线互相垂直即可判断．
解答：
解：菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直．
故选C．
点评：
本题考查了长方形、平行四边形、菱形、直角梯形的性质．常见四边形中，菱形与正方形的对角线互相垂直．

A．
240°
B．
120°
C．
60°
D．
30°
考点：
多边形内角与外角．
分析：
多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．
解答：
解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，
则6x=（6﹣2）•180°，
解得x=120°．
故这个正六边形的每一个内角的度数为120°．
故答案选：B．
点评：
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

A．
无解
B．
x=1
C．
x=﹣4
D．
x=﹣1或x=4
考点：
抛物线与x轴的交点．
分析：
关于x的方程x2+ax+b=0的解是抛物线y=x2+ax+b与x轴交点的横坐标．
解答：
解：如图，∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），
∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．
故选：D．
点评：
本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．

A．
0.25
B．
0.5
C．
0.75
D．
0.95
灯泡1发光
灯泡1不发光
灯泡2发光
（发光，发光）
（不发光，发光）
灯泡2不发光
（发光，不发光）
（不发光，不发光）
考点：
相反数．
分析：
此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
解答：
解：3的相反数就是﹣3．
点评：
此题主要考查相反数的概念．
考点：
不等式的定义．
分析：
由图知1号同学比2号同学矮，据此可解答．
解答：
解：如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y，
故答案为：＜．
点评：
本题主要考查了不等式的定义，仔细看图是解题的关键．
考点：
等腰梯形的性质．
分析：
根据等腰梯形的性质可得出AD=BC，再由BC=4，CD=3，得出AB的长．
解答：
解：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AD=BC，
∵BC=4，
∴AD=4，
∵CD=3，等腰梯形ABCD的周长为16，
∴AB=16﹣3﹣4﹣4=5，
故答案为5．
点评：
本题考查了等腰梯形的性质，是基础知识要熟练掌握．
考点：
解分式方程．
分析：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答：
解：去分母得：2﹣x=0，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：2．
点评：
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
考点：
一次函数图象与几何变换．
分析：
直接根据“上加下减”的原则进行解答．
解答：
解：由“上加下减”的原则可知，将直线y=x向上平移7个单位所得直线的解析式为：y=x+7．
故答案为：7．
点评：
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
考点：
全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析：
①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断；
②根据SAS即可求得全等；
③根据面积公式即可判断．
解答：
①S1：S2=AC2：BC2正确，
解：∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴△ADC∽△BCE，
∴S1：S2=AC2：BC2．
②△BCD≌△ECA正确，
证明：∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
，
∴△BCD≌△ECA（SAS）．
③若AC⊥BC，则S1•S2=S32正确，
解：设等边三角形ADC的边长=a，等边三角形BCE边长=b，则△ADC的高=a，△BCE的高=b，
∴S1=aa=a2，S2=bb=b2，
∴S1•S2=a2b2=a2b2，
∵S3=ab，
∴S32=a2b2，
∴S1•S2=S32．
点评：
本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积的比等于相似比的平方．
考点：
有理数的乘法；有理数的加法．
分析：
根据异号两数相乘得负，并把绝对值相乘，可得积，再根据有理数的加法，可得答案．
解答：
解：原式=﹣10+3
=﹣7．
点评：
本题考查了有理数的乘法，先算有理数的乘法，再算有理数的加法，注意运算符号．
射击序次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩/环
8
10
7
9
10
7
10
考点：
折线统计图；统计表；算术平均数．
分析：
根据折线统计图中提供的信息，补全统计表；
（2）求出该运动员射击总环数除以10即可．
解答：
解：（1）由折线统计图得出第一次射击环数为：8，第二次射击环数为：9，第三次射击环数为：7，
故答案为：8，9，7．
（2）运动员这10次射击训练的平均成绩：（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5（环）．
点评：
本题主要考查了折线统计图及统计表和平均数，解题的关键是能从折线统计图中正确找出数据．
考点：
二元一次方程组的应用．
分析：
设大苹果的重量为xg，小苹果的重量为yg，根据图示可得：大苹果的重量=小苹果+50g，大苹果+小苹果=300g+50g，据此列方程组求解．
解答：
解：设大苹果的重量为xg，小苹果的重量为yg，
由题意得，，
解得：．
答：大苹果的重量为200g，小苹果的重量为150g．
点评：
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据图形，找出等量关系，列方程组求解．
考点：
解直角三角形；勾股定理．
专题：
计算题．
分析：
（1）由BD⊥AC得到∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD=AB=3，再得到AD=BD=3；
（2）先计算出CD=2，然后在Rt△ADC中，利用正切的定义求解．
解答：
解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，
∴BD=AB=3，
∴AD=BD=3；
（2）CD=AC﹣AD=5﹣3=2，
在Rt△ADC中，tan∠C===．
点评：
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
考点：
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．
分析：
（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值；
（2）由于点A是反比例函数上一点，矩形ABOC的面积S=|k|．
（3）设图象上任一点的坐标（x，y），根据矩形的面积公式，可得出结论．
解答：
解：（1）∵函数y=的图象过点A（1，2），
∴将点A的坐标代入反比例函数解析式，
得2=，解得：k=2，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）∵点A是反比例函数上一点，
∴矩形ABOC的面积S=AC•AB=|xy|=|k|=2．
（3）设图象上任一点的坐标（x，y），
∴过这点分别向x轴和y轴作垂线，矩形面积为|xy|=|k|=2，
∴矩形的面积为定值．
点评：
本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数y=中k的几何意义，注意掌握过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
考点：
相似三角形的判定与性质；菱形的判定；圆周角定理．
专题：
证明题．
分析：
（1）根据圆周角定理求出∠B=∠D，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据垂径定理求出OD⊥BC，根据线段垂直平分线性质得出OB=BD，OC=CD，根据菱形的判定推出即可．
解答：
证明：（1）∵∠BAC的角平分线AD，
∴∠BAE=∠CAD，
∵∠B=∠D，
∴△ABE∽△ADC；
（2）
∵∠BAD=∠CAD，
∴弧BD=弧CD，
∵OD为半径，
∴DO⊥BC，
∵F为OD的中点，
∴OB=BD，OC=CD，
∵OB=OC，
∴OB=BD=CD=OC，
∴四边形OBDC是菱形．
点评：
本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，垂径定理，菱形的判定，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
分析：
（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为l，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；
（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案．
解答：
解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠QPE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠QPE，
∵EQ⊥AB，
∴∠A=∠Q=90°，
在△ADP和△QPE中，
，
∴△ADP≌△QPE（AAS），
∴PQ=AD=1；
（2）∵△PFD∽△BFP，
∴，
∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，
∴△DAP∽△PBF，
∴，
∴，
∴PA=PB，
∴PA=AB=
∴当PA=时，△PFD∽△BFP．
点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
考点：
二次函数综合题；完全平方公式；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；三角形的内切圆与内心．
专题：
压轴题．
分析：
（1）设二次函数解析式为y=ax2+1，由于点（﹣1，）在二次函数图象上，把该点的坐标代入y=ax2+1，即可求出a，从而求出二次函数的解析式．
（2）先分别求出x=﹣1，x=0，x=3时y的值，然后结合图象就可得到y的取值范围．
（3）由于△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，因此GP平分∠AGB．过点A作GP的对称点A′，则点A′必在BG上．由于点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上，从而可以得到点A的坐标为（x1，kx1+2）、A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、B的坐标为（x2，kx2+2）．设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．由于点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，可用含有k、x1、x2的代数式表示n．由于A、B是直线y=kx+2与抛物线y=x2+1的交点，由根与系数的关系可得：x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．从而求出n=0，即可证出：在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由S△ABG=S△APG+S△BPG，可以得到S△ABG=x2﹣x1==4，所以当k=0时，S△ABG最小，最小值为4．
解答：
（1）解：由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），
因此二次函数的解析式可设为y=ax2+1．
∵抛物线y=ax2+1过点（﹣1，），
∴=a+1．
解得：a=．
∴二次函数的解析式为：y=x2+1．
（2）解：当x=﹣1时，y=，
当x=0时，y=1，
当x=3时，y=×32+1=，
结合图1可得：当﹣1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜．
（3）①证明：∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，
∴GP平分∠AGB．
∴直线GP是∠AGB的对称轴．
过点A作GP的对称点A′，如图2，
则点A′一定在BG上．
∵点A的坐标为（x1，y1），
∴点A′的坐标为（﹣x1，y1）．
∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上，
∴y1=kx1+2，y2=kx2+2．
∴点A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、点B的坐标为（x2，kx2+2）．
设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．
∵点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，
∴．
解得：．
∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y=kx+2与抛物线y=x2+1的交点，
∴x1、x2是方程kx+2=x2+1即x2﹣4kx﹣4=0的两个实数根．
∴由根与系数的关系可得；x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．
∴n==﹣2+2=0．
∴点G的坐标为（0，0）．
∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．
②解：过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2，
∵直线y=kx+2与y轴相交于点P，
∴点P的坐标为（0，2）．
∴PG=2．
∴S△ABG=S△APG+S△BPG
=PG•AC+PG•BD
=PG•（AC+BD）
=×2×（﹣x1+x2）
=x2﹣x1
=
=
=
=4．
∴当k=0时，S△ABG最小，最小值为4．
∴△GAB面积的最小值为4．
点评：
本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的图象、三角形的内切圆、根与系数的关系、完全平方公式等知识，综合性比较强，有一定的难度．