初中数学人教版（2024）七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数精练

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数精练，文件包含人教版数学七年级上册专题51期末专项复习之有理数十六大必考点原卷版doc、人教版数学七年级上册专题51期末专项复习之有理数十六大必考点解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc54" 【考点1 相反意义的量】 PAGEREF _Tc54 \h 1
\l "_Tc25576" 【考点2 有理数的概念及分类】 PAGEREF _Tc25576 \h 2
\l "_Tc18611" 【考点3 相反数】 PAGEREF _Tc18611 \h 2
\l "_Tc18651" 【考点4 绝对值】 PAGEREF _Tc18651 \h 3
\l "_Tc25140" 【考点5 根据数轴化简绝对值】 PAGEREF _Tc25140 \h 3
\l "_Tc6251" 【考点6 相反数、绝对值、倒数综合】 PAGEREF _Tc6251 \h 4
\l "_Tc16375" 【考点7 有理数的混合运算】 PAGEREF _Tc16375 \h 4
\l "_Tc14316" 【考点8 新定义中的有理数运算】 PAGEREF _Tc14316 \h 5
\l "_Tc23724" 【考点9 科学记数法】 PAGEREF _Tc23724 \h 5
\l "_Tc32580" 【考点10 有理数乘方的应用】 PAGEREF _Tc32580 \h 6
\l "_Tc233" 【考点11 有理数的大小比较】 PAGEREF _Tc233 \h 7
\l "_Tc11233" 【考点12 阅读材料中的有理数运算】 PAGEREF _Tc11233 \h 7
\l "_Tc5808" 【考点13 有理数的实际应用】 PAGEREF _Tc5808 \h 9
\l "_Tc24781" 【考点14 正负数的实际应用】 PAGEREF _Tc24781 \h 10
\l "_Tc14795" 【考点15 有理数中的规律探究】 PAGEREF _Tc14795 \h 11
\l "_Tc17409" 【考点16 数轴与绝对值、动点的综合探究】 PAGEREF _Tc17409 \h 12
【考点1 相反意义的量】
【例1】（河北省保定市新秀学校2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作+100元，则-50元表示（ ）
A．支出50元B．收入50元C．支出60元D．收入60元
【变式1-1】（重庆市育才中学校2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果水库的水位高于正常水位4m时，记作+4m，那么低于正常水位5m时，应记作( )
A．5mB．-5mC．+mD．-m
【变式1-2】（山西省吕梁市交城县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果电梯上升米，记作+5米，那么-3米表示 _______________________________ ．
【变式1-3】（2022·全国·七年级上学期期中数学试题）文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边米处，玩具店位于书店西边米处，小明从书店沿街向东走了米，接着又向西走了米，此时小明的位置在（ ）
A．文具店B．玩具店C．文具店西边米D．玩具店西边米
【考点2 有理数的概念及分类】
【例2】（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级上学期期中数学试题）把下列有理数填入它所属于的集合圈内．
，1，3.5，0，，4
【变式2-1】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级上学期期中数学试题）在，，0.25，0，1.23，1.01001000100001…，中，非负有理数的数有___________________．
【变式2-2】（2022·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校期中）在下列数中：，0.23，，0，，，，，该正整数的个数为，非负数的个数为，则的值为________．
【变式2-3】（2022·陕西·白水县田家炳实验中学七年级上学期期中数学试题）把下列各数填入它所属的集合内：
15，，﹣5，，0，﹣5.32，，π，80%，5．
(1)分数集合{ …}；
(2)自然数集合{ …}；
(3)非正整数集合{ …}；
(4)非负有理数集合{ …}．
【考点3 相反数】
【例3】（2022·黑龙江·同江市第三中学七年级期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2与B．（﹣1）2与1C．﹣1与（﹣1）2D．2与|﹣2|
【变式3-1】（2022·河北保定·七年级期中）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是_____．
【变式3-2】（2022·宁夏·银川市第三中学七年级期中）下列各组数中：①﹣32与32；②（﹣3）2与32；③﹣（﹣2）与﹣（+2）；④（﹣3）3与﹣33；⑤﹣23与32，其中互为相反数的共有（ ）
A．4对B．3对C．2对D．1对
【变式3-3】（2022·山东威海·期中）若m，n互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数的是（ ）
A．﹣m和﹣nB．m+1和n+1C．m+1和n﹣1D．5m和5n
【考点4 绝对值】
【例4】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）若，且，则_______．
【变式4-1】（2022·黑龙江·兰西县红星乡第一中学校期中）已知|x|＝8，|y|＝5，且xy＜0，则x+y的值等于 _____．
【变式4-2】（2022·广东·肇庆市颂德学校七年级期中）绝对值小于3的正整数有________．
【变式4-3】（2022·辽宁本溪·七年级期中）化简：____________．
【考点5 根据数轴化简绝对值】
【例5】（2022·四川广安·七年级期末）有理数，，在数轴上的对应点如图所示，化简：________．
【变式5-1】（2022·广东·广州市真光中学七年级期中）如图，点A和B表示的数分别为a和b，若c是绝对值最小的数，d是最大的负整数．
（1）在数轴上表示c＝ ，d＝ ．
（2）若|x+3|＝2，则x的值是多少？
（3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．
【变式5-2】（2022·山东德州·七年级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，解答下列问题：
（1）若a＝2，将a表示的点沿数轴方向平移5个单位，得到的点表示的数为 ；
（2）数b与其相反数相距10个单位长度，则b表示的数是 ；
（3）化简：|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|．
【变式5-3】（2022·湖南·李达中学七年级期中）如图，数轴上有点a，b，c三点．
(1) 0； 0(填“”，“=”)；
(2)化简
(3)求的值
【考点6 相反数、绝对值、倒数综合】
【例6】（2022·全国·七年级课时练习）若、互为相反数，则 ______ ．
【变式6-1】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校七年级期中）的绝对值加上的倒数等于______．
【变式6-2】（2022·湖南·李达中学七年级期中）的倒数的绝对值是 ________
【变式6-3】（2022·湖北十堰·七年级期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值为1，求3a+3b+cd+e2的值．
【考点7 有理数的混合运算】
【例7】（2022·黑龙江·兰西县崇文实验学校期中）计算：
(1)（-7）-（-10）+（-8）-（+2）；
(2)3×（-1）-4÷（-2）；
(3)；
(4)
【变式7-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）计算，有简便方法的用简便方法．
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式7-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）计算:
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式7-3】（2022·安徽·七年级期中）计算:
(1)×(-24);
(2)(-81)÷÷(-8).
【考点8 新定义中的有理数运算】
【例8】（2022·河南驻马店·七年级期中）对于有理数a，b，定义一种新运算”⊙”，规定a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|．
（1）计算：2⊙（﹣3）的值；
（2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简：a⊙b．
【变式8-1】（2022·山东·招远市教学研究室期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b，都有a*b＝，例如：5*3＝，由此算出2*（－4）＝_________．
【变式8-2】（2022·吉林长春·七年级期中）完成下列各题．
（1）定义新运算：对于任意有理数、，都有．计算如下：．
求的值．
（2）对于有理数、，若定义运算：，求的值．
【变式8-3】（2022·辽宁沈阳·七年级期中）定义一种新运算：a⊗m＝a×|m|．
如5⊗（﹣3）＝5×|﹣3|＝15，﹣8⊗4＝﹣8×|4|＝﹣32．
（1）计算：65⊗0＝ ，﹣43⊗|﹣2|＝ ；
（2）若n＜0，化简48⊗（﹣3n）；
（3）若a，m，n为任意有理数，等式a⊗（m+n）＝a⊗m+a⊗n一定成立吗？请说理由．
【考点9 科学记数法】
【例9】（2022·山东济南·七年级期中）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】（2022·北京市陈经纶中学分校七年级期中）2020年国庆档电影《我和我的家乡》上映13天票房收入达到21.94亿元，并连续10天拿下票房单日冠军．其中21.94亿元用科学记数法可表示为（ ）
A．元B．元C．元D．元
【变式9-2】（2022·河北·廊坊市第四中学七年级期中）整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-3】（2022·广东·广州四十七中七年级期中）过度包装既浪费资源又污染环境，据测算如果全国每年减少十分之一的包装纸用量那么能减少吨二氧化碳的排放量，把写成原数是（ ）
A．B．C．D．
【考点10 有理数乘方的应用】
【例10】（2022·全国·七年级期中）我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的( )
A．9B．10C．11D．12
【变式10-1】（2022·广东·东莞市光大新亚外国语学校七年级期中）将一根绳子对折一次后从中间剪一刀，绳子变成3段；对折两次后从中间剪一刀，绳子变成5段：将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成_____段．
【变式10-2】（2022·河南郑州·七年级期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第____次后可拉出64根细面条.
【变式10-3】（2022·全国·七年级期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为_____________.
【考点11 有理数的大小比较】
【例11】（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）下列有理数的大小关系正确的是（ ）
A．B．C． D．
【变式11-1】（2022·浙江·七年级专题练习）已知，那么的大小关系是（ ）
A．a＞-b＞-a＞bB．-b＞a＞-a＞b
C．a＞b＞-a＞-bD．a＞-b＞b＞-a
【变式11-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试比较a，b， －a， －b四个数的大小关系： ____________________．
【变式11-3】（2022·全国·七年级专题练习）探索研究：
（1）比较下列各式的大小（用“＜”、“＞”、“＝”连接）
①|2|+|3| |2+3|；
②|﹣2|+|﹣3| |﹣2﹣3|；
③|2|+|﹣3| |2﹣3|；
④|2|+|0| |2+0|．
（2）a、b为有理数，通过比较、分析，归纳|a|+|b|与|a+b|的大小关系．（用“＜”、“＞”、“＝”、“≥”、“≤”连接）
当a、b同号时，|a|+|b| |a+b|；
当a、b异号时，|a|+|b| |a+b|；
当a＝0或b＝0时，|a|+|b| |a+b|；
综上，|a|+|b| |a+b|．
（3）根据（2）中得出的结论，当|x|+2015＝|x﹣2015|时，则x的取值范围是 ．
【考点12 阅读材料中的有理数运算】
【例12】（2022·浙江·余姚市高风中学七年级期中）阅读下列材料：对于排好顺序的三个数：，，称为数列，，．将这个数列如下式进行计算：，所得的三个新数中，最大的那个数称为数列，，的“理想数值”．例如：对于数列1，-2，3，因为1，1-（-2）＝3，1-（-2）＋3＝6，所以数列1，-2，3的“理想数值为6，进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得的数列都可以按照上述方法求出“理想数值”，如：数列-2，1，3的“理想数值”为0……而对于“1，-2，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，“理想数值”的最大值为6.
(1)数列-5，4，-3的“理想数值”为 ；
(2)将-5，4，-3这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“理想数值”的最大值是 ，取得“理想数值”的最大值的数列是 ；
(3)将“-1，7， ”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“理想数值”的最大值是10，求的值，并写出取得“理想数值”最大值的数列．
【变式12-1】（2022·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程：
解：设S＝1+2+3+…+100， ①
则S＝100+99+98+…+1．②
①+②，得（即左右两边分别相加）：
2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．
所以，S＝．
所以，1+2+3+…+100＝5050．
后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：
(1)计算：1+2+3+…+101；
(2)猜想：1+2+3+…+n＝ ；
(3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000．
【变式12-2】（2022·上海黄浦·期中）每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如，真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（，），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．
如：对于假分数，则，
，
，
，
所生成的自然数组为{3，1，4，2}．
请根据上述阅读材料填空：
(1)由假分数生成的自然数组是{_______}；
(2)已知某个假分数所生成的自然数组为{2，4，1，1，3}，那么这个假分数是_______．
【变式12-3】（2022·重庆市第九十五初级中学校七年级期中）阅读理解
材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立．
材料二：两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：，．
(1)计算：______．
(2)试说明：当q能够被3整除时一定能够被6整除．
【考点13 有理数的实际应用】
【例13】（2022·湖北黄石·七年级期末）地球北纬线是一条神秘而又奇特的纬线，我国有许多资源丰富的名山都分布在这条纬线附近．峨眉山与黄山植物种类的比是，已知峨眉山有植物3300种，黄山的植物种类是庐山的．那么庐山有植物多少种？
【变式13-1】（2022·黑龙江省新华农场中学期末）下面是学校到少年宫的行走路线图
(1)如果小明从公园到学校，请叙述一下他的行走路线．
(2)如果他每分钟走60米，那么他从公园走到学校要走几分钟？
【变式13-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）当温度每上升2℃时，某种金属丝伸长0.003mm．反之，当温度每下降2℃时，金属丝缩短0.002mm．把17℃的这种金属丝加热到63℃，再使它冷却降温到5℃，最后的长度和原来相比是伸长了还是缩短了？伸长了或缩短了多少？
【变式13-3】（2022·湖北黄石·七年级期末）一个高为，容积为的圆柱形容器里装满了水，现把高的圆柱垂直放入，使圆柱的底面与容器的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把圆柱从容器中拿出后，容器中水的高度为6厘米．求圆柱的体积．
【考点14 正负数的实际应用】
【例14】（陕西省西安市雁塔区师范大学附属中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）为全力迎接全国第十四届运动会，西安市将继续加快交通高质量发展，不断增强市民获得感和幸福感．某检修小组从O地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下，（单位：km）
（1）求收工时距O地多远？
（2）在第几次记录时距O地最远？
（3）若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？
【变式14-1】（黑龙江省哈尔滨市德强初中2022-2023学年下学期双减下的数学汇报试卷六年级（五四制））某一出租车一天下午以博物馆为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：＋9、－3、－5、＋4、－8、＋6、－3、－6、－4、＋8
(1)在第______次记录时距博物馆最远．
(2)将最后一名乘客送到目的地，出租车离博物馆出发点多远？在博物馆的什么方向？
(3)若每千米的价格为1.9元，司机一个下午的营业额是多少？
【变式14-2】（山东省烟台市牟平区2022-2023学年六年级上学期期中数学试题）某小型体育用品加工厂计划一天生产300个足球，但由于各种原因，实际每天生产足球个数与计划每天生产足球个数相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）：
(1)求该厂本周实际生产足球的个数；
(2)求产量最多的一天比产量最少的一天多生产足球的个数；
(3)该厂实行每日计件工资制，按计划完成每生产一个足球可得6元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖2元，若未能完成任务，则少生产一个扣2.5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【变式14-3】（广西桂林市灌阳县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如图，某快递员要从公司点A出发，前往B、C、D等地派发包裹，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，并且行走方向顺序为先左右再上下．如果从A到B记为：A→B（＋1，＋4），从B到A记为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，请根据图完成如下问题：
（1）A→C（ ， ），B→D（ ， ），C→D（＋1， ）；
（2）若快递员的行走路线为A→B→C→D，请计算该快递员走过的路程；
（3）若快递员从A处去某P处的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋1，－1），（－2，＋3），（－1，－2），请在图中标出P的位置．
【考点15 有理数中的规律探究】
【例15】（2022·四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程：


……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
______________． ____________．
_________________．（为正整数）
（2）根据规律计算：
．
【变式15-1】（2022·湖南岳阳·七年级期中）请观察下列算式，找出规律并填空．
，，，．
则第10个算式是________，第个算式是________．
根据以上规律解读以下两题：
（1）求的值；
（2）若有理数，满足，试求：的值．
【变式15-2】（2022·湖南长沙·七年级期中）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：
(1)_________；
(2)_________；
(3)计算：．
【变式15-3】（2022·宁夏·银川英才学校七年级期中）点（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点所表示的数分别为 （ ）
A．2018，－2019B．1009，－1010C．－2018，2019D．－1009，1009
【考点16 数轴与绝对值、动点的综合探究】
【例16】（2022·湖南·永州市德雅学校七年级阶段练习）阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的距离可以表示为．
根据阅读材料与你的理解回答下列问题：
(1)数轴上表示3与﹣2的两点之间的距离是______．
(2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______．
(3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数______所对应的两点之间的距离；若，则x＝______．
(4)求代数式的最小值是______，并直接写出这时x的值为______．
【变式16-1】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）如图，数轴上点为原点，点所表示的数为，点所表示的数为，且、满足．
(1)请直接写出点所表示的数：______，点所表示的数：______．
(2)如图1，点从出发以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，点运动的同时，点从出发以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，在运动过程中，数轴上动点到点、原点的距离始终相等，设点到点之间的距离为，求的值．
(3)如图2，在（2）的条件下，当点、之间的距离等于时，从点出发（点所表示的数为14），以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，此时、仍按原速度、原方向运动，当与、都未相遇之前，是否存在点，使点到点、距离之和等于点到原点距离，若存在，求点所表示的数，若不存在，请说明理由．
【变式16-2】（2022·广东·广州市越秀区育才实验学校七年级期中）已知：a是－1，且a，b，c满足，请回答问题：
（1）请直接写出b，c的值：______，______；
（2）在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x：
①当点P在A与B之间运动时，请化简式子：；
②若点Q为数轴上另一动点，点P以每秒2个单位长度从B点出发向右运动，点Q以每秒4个单位长度从C点出发向左运动，两点同时出发，当两点相遇时，点Q马上以同样速度往反方向运动，P点继续按原方向运动，在整个运动过程中，假设两点运动时间为t秒后，，求t的值．
【变式16-3】（2022·重庆·七年级期中）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．
若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．
（1）如图1，
①若点P在点A左侧，化简_________；
②若点P在线段上，化简_________；
③若点P在点B右侧，化简_________；
④由图可知，的最小值是_________．
（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．
（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
﹣4
＋7
﹣9
＋8
＋6
﹣5
﹣1
星期
一
二
三
四
五
六
七
增减