黑龙江省佳木斯第二中学2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试卷

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本试卷分选择题部分和非选择题部分。满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
答题前，考生务必按要求填写考生信息并在指定位置粘贴条形码。
选择题部分，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。选择题部分不能答在试题卷上。
非选择题部分各题的答案，必须书写在答题卡指定的区域，指定区域外答题不得分。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设集合，.若，则（ ）
A．B．C．D．
2．i是虚数单位，复数（ ）
A．B．1C．D．
3．设等差数列的前项的和为，若，则（ ）
A．17B．34C．51D．102
4．已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
5．若向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（ ）
A．18B．36C．54D．72
8．已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则与的夹角为D．若，则
10．已知数列为等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．公差
C．当时最大D．使的n的最大值为16
11．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则（ ）
A． B．平面截正方体所得的截面为等腰梯形
C．异面直线与所成角的余弦值为 D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，的夹角为60°，且，则 .
13．已知等差数列前n项和为，，则 ．
14．在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
16．（15分）的内角A，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，，点E、F分别为、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：；
18．（17分）2024年，“网红”城市哈尔滨吸引了大量游客前来旅游，著名景点有冰雪大世界和亚布力滑雪场．当地为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来哈尔滨的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观冰雪大世界，另外的人计划既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场．每位游客若只参观冰雪大世界，则发1个纪念币；若既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，则发2个纪念币．假设每位首次来哈尔滨的游客计划是否游玩冰雪大世界和亚布力滑雪场互不影响，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取4人，记这4人合计的纪念币的个数为，求的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取人（），记这人合计纪念币的个数恰为的概率为，求.
19．（17分）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若，求k的值；
(3)设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.