高三数学2024-2025学年度上学期期末考试模拟试卷（一）含答案解析（高考范围 新高考题型）

这是一份高三数学2024-2025学年度上学期期末考试模拟试卷（一）含答案解析（高考范围 新高考题型），共22页。试卷主要包含了测试范围，难度系数，定义在上的函数满足，下列说法正确的有，若函数的图象经过点，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．测试范围： 高考范围。
4．难度系数：0.7。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．10B．20C．30D．40
4．“函数的图象关于对称”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
5．如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为的正方形，已知该组合体的体积为，则其表面积为（ ）

A．B．C．D．
6．定义在上的函数满足：，，，当时，，则（ ）
A．2B．1C．D．0
7．过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（ ）
A．2B．C．D．3
8．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有（ ）
A．数据1，2，5，7，10的分位数为8.5
B．设随机变量，若，则
C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则
D．的极差小于，的极差
10．若函数的图象经过点，则（ ）
A．点为函数图象的对称中心
B．的最小正周期为
C．在区间上的值域为
D．的单调增区间为
11．设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（ ）
A．任何一个三次函数均有“拐点”
B．函数为区间上的“上凸函数”
C．若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减
D．若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．二项式的展开式中的系数为 .
13．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为 ．
14．如图，在水平放置的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），小球分别与上底面、下底面相切，小球与圆柱壁相切，且在轴截面中，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为 ，圆柱的侧面积与球的表面积的比值为 ．

解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（13分）
在中，角所对的边分别为记的面积为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值.
（15分）
已知函数，其中为常数.
(1)过原点作图象的切线，求直线的方程；
(2)若，使成立，求的最小值.
（15分）
在三棱锥中，，平面，点M是棱上的动点，点N是棱上的动点，且．
(1)当时，求证：；
(2)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
（17分）
如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点.

(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
（17分）
已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于.
(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
(2)（i）证明：且；
（ii）当时，若，写出集合.
2024-2025学年高三数学上学期期末模拟卷（一）
答案解析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．测试范围： 高考范围。
4．难度系数：0.7。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为集合，
令，则，
令，则，
所以或，
且，所以.
故选：C
2．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
所以，所以.
故选：C
3．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．10B．20C．30D．40
【答案】D
【详解】由题设，
所以.
故选：D
4．“函数的图象关于对称”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】解：当，时，，
令，解得，则函数的对称中心为，故必要；
当的图象关于对称时，令，解得，故不充分，
故选：B
5．如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为的正方形，已知该组合体的体积为，则其表面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为，
长方体的体积为，则正四棱锥体积为，
所以正四棱锥的高为，所以正四棱锥斜面上的高，
所以正四棱锥的一个侧面积为，
所以组合体的表面积为，故B正确.
故选：B.
6．定义在上的函数满足：，，，当时，，则（ ）
A．2B．1C．D．0
【答案】A
【详解】由可得中令可得，
又因为时，，又，
所以时，，
由可得，
因为，所以，
所以,
故选：A
7．过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】A
【详解】
由题意可得双曲线的渐近线的方程为.
由
∵为线段的中点，
∴，则为等腰三角形.
∴,
连接
由双曲线的的渐近线的性质可得
∴
∴，即.
∴双曲线的离心率为
所以.
故选：A.
8．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为gx=fx−ax有三个不同零点，所以有三个不同实根，
所以的图象有三个交点，
在同一平面直角坐标系中作出的图象，
当经过点时，
代入坐标可得，解得；
当与的图象相切时，
设切点为，因为此时，所以，
所以切线方程为，即，
所以，可得；
结合图象可知，若的图象有三个交点，则，
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有（ ）
A．数据1，2，5，7，10的分位数为8.5
B．设随机变量，若，则
C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则
D．的极差小于，的极差
【答案】AC
【详解】对A，因为，所以第分位数为，故A正确；
对B，因为随机变量，所以，解得或，
当时，，当时，，故B错误；
对C，因为样本中心在回归直线方程上，所以，解得，故C正确；
对D，原数据极差为：，新数据极差为：，
因为，
所以的极差大于，的极差，故D错误.
故选：AC
10．若函数的图象经过点，则（ ）
A．点为函数图象的对称中心
B．的最小正周期为
C．在区间上的值域为
D．的单调增区间为
【答案】ABC
【详解】将代入得，
所以，
对于A，显然，故A正确；
对于B，易知函数的最小正周期，故B正确；
对于C，当时，则，则，故C正确；
对于D，令，
即函数的单调递增区间为：，故D错误.
故选：ABC
11．设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（ ）
A．任何一个三次函数均有“拐点”
B．函数为区间上的“上凸函数”
C．若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减
D．若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则
【答案】ABD
【详解】对于A 选项：对于三次函数， ，
再求导得到.令，则，解得，
所以任何一个三次函数均有“拐点”，A 选项正确.
对于B 选项：，，
.
当时，，，得出函数在区间上单调递减，所以函数是区间上的“上凸函数”，B 选项正确.
对于C 选项：，，.
令，得，因为“拐点”在轴右侧，所以，即.
令可得，所以，
的递减区间是，C 选项错误.
对于D 选项：，
，.
令，即在有解.即则有正解.
则，解得.
并且因为函数为定义域上的“上凸函数”，所以在定义域上单调递减.
恒成立.恒成立，,即，
即，解得，由于保证拐点，则.D选项正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．二项式的展开式中的系数为 .
【答案】15
【详解】由二项式的展开式的通项为，
令，得其展开式中的系数为.
故答案为：15
13．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为 ．
【答案】/0.25
【详解】服务员随机上这八道菜有种排法，
“沙葱牛肉”，“北京烤鸭”相邻有种排法，
所以所求概率．
故答案为：.
14．如图，在水平放置的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），小球分别与上底面、下底面相切，小球与圆柱壁相切，且在轴截面中，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为 ，圆柱的侧面积与球的表面积的比值为 ．

【答案】 ； .
【详解】根据题意，作出圆柱的轴截面图，连接，则为等边三角形，
设圆柱底面半径为，高为，小球的半径为，则，
故，故，所以，
故，故球的体积为，
圆柱的侧面积为，
球的表面积为，故圆柱的侧面积与球的表面积的比值为.
故答案为：，.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在中，角所对的边分别为记的面积为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值.
【详解】（1）因为，所以，
可得， 因为，所以.
（2）由余弦定理可知，即，
因为，所以，
所以，可得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.
16．已知函数，其中为常数.
(1)过原点作图象的切线，求直线的方程；
(2)若，使成立，求的最小值.
【详解】（1）
设切点坐标为，则切线方程为，
因为切线经过原点，所以，解得，
所以切线的斜率为，所以的方程为.
（2），，即成立，
则得在0,+∞有解，
故有x∈0,+∞时，.
令，，，
令ℎ′x>0得；令ℎ′x