2024-2025学年陕西省咸阳市杨凌区九年级（上）期中数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年陕西省咸阳市杨凌区九年级（上）期中数学试卷（含详解），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若方程□﹣2x+4＝0是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ）
A．﹣5xB．22C．3x2D．2y2
2．（3分）“数学”的英文缩写为“math”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列抛物线中，开口方向与其他三个不同的是（ ）
A．y＝x2﹣5xB．y＝2x2+2x+5
C．y＝﹣2x2+5D．y＝x2
4．（3分）如果二次函数y＝x2﹣4x+c的最小值为0，那么c的值等于（ ）
A．2B．4C．﹣2D．8
5．（3分）如图，已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，1），第1次将点P绕原点O沿顺时针方向旋转90°得到点P1，第2次将点P1绕原点O沿顺时针方向旋转90°得到点P2，第3次将点P2绕原点O沿顺时针方向旋转90°得到点P3，…，按照这样的规律，第2024次旋转后得到的点P2024的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，1）
6．（3分）对于实数a、b定义新运算：a*b＝ab+b2，例如2*（﹣3）＝2×（﹣3）+（﹣3）2＝3．若关于x的方程2*x＝m没有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1B．m＞0C．m＜﹣1D．m＜0
7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为（ ）
A．B．8C．D．
8．（3分）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m+8（m为常数，且m≠2），当x＝2时，y＞18，则下列图象可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）点A（﹣1，4）与点B关于原点对称，则B的坐标为 ．
10．（3分）已知四边形ABCD内接于圆，且∠A＝4∠C，则∠C的度数为 °．
11．（3分）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，那么可列方程 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x﹣2024）（x﹣2026）+6向下平移6个单位长度，所得的新抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则点P与点Q之间的距离为 ．
13．（3分）如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF、BF，若∠ADF＝α，则∠EFB的度数为 ．（用含α的代数式表示）
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解方程：6（x﹣5）＝2x（x﹣5）．
15．（5分）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠A＝90°，求BE的长．
16．（5分）如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，连接OA、OB、OC、AB，延长AB、OC交于点D，BD＝OA，若∠D＝25°，求∠AOB的度数．
17．（5分）如图，已知点P为⊙O上一点，AB为⊙O的弦，请你用尺规作图法在优弧上求作一点C，连接AC、BC，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝140°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转100°后得到菱形AB'C'D'（点B、C、D的对应点分别为点B'、C'、D'），连接DB'，求证：△ADB'是等边三角形．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在小正方形的格点上，其顶点坐标依次为A（2，4）、B（1，1）、C（4，4）．
（1）在图中画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1BC1（点A、C分别与点A1、C1对应）；
（2）在图中画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2（点A、B、C分别与点A2、B2、C2对应）．
20．（5分）阅读下面的例题，并完成解答．
【例题】解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：①当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
②当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得x3＝1（不合题意，舍去），x4＝﹣2．
综上，原方程的根是x＝2或x＝﹣2．
请参照例题解方程：x2﹣|x﹣3|﹣3＝0．
21．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC、BD、CD，求△BCD的面积．
22．（7分）如图，将矩形ABCD的边BC绕点B逆时针旋转60°后得到线段BE，连接CE，设BC的长为x，△BCE的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当△BCE的面积为时，求矩形的边BC的长．
23．（7分）列方程（组）解应用题
某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D为AB上一点，C为⊙O上一点，且AD＝AC，延长CD交⊙O于E，连CB．
（1）求证：∠CAB＝2∠BCD；
（2）若∠BCE＝15°，AB＝6，求CE的长．
25．（8分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
26．（10分）【问题引入】
（1）如图1，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ADE（点B、C的对应点分别为点D、E），连接BD，若AB＝3，求BD的长；
【衍生拓展】
（2）如图2，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点B、C的对应点分别为点D、E），连接CD，当时，求AC的长；
【深入探究】
（3）如图3，在边长为8的等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC所在直线上一动点，连接DE，将线段DE绕点D按逆时针方向旋转90°，得到线段DF，连接AF、EF．在E点运动过程中，求线段AF的最小值．
2024-2025学年陕西省咸阳市杨凌区九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．【考点】一元二次方程的定义．
【答案】C
【解答】解：根据一元二次方程的定义，方程□﹣2x+4＝0是关于x的一元二次方程，
∴方程中必须有x的二次项，且系数不为0，
∴□可以填3x2，
所以只有C选项符合题意，
故选：C．
2．【考点】中心对称图形．
【答案】D
【解答】解：A．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
3．【考点】二次函数的性质．
【答案】C
【解答】解：y＝x2﹣5x中，a＝1＞0，开口向上；
y＝2x2+2x+5中，a＝2＞0，开口向上；
y＝﹣2x2+5中，a＝﹣2＜0，开口向下；
y＝x2中，a＝1＞0，开口向上；
y＝﹣2x2+5的开口方向与其他三个不同．
故选：C．
4．【考点】二次函数的最值．
【答案】B
【解答】解：函数解析式可转化为y＝（x﹣2）2﹣4+c，
根据该图象开口向上，可知函数的最小值是﹣4+c，
又由已知条件可知函数的最小值是0，可得：
﹣4+c＝0，
解得c＝4．
故选：B．
5．【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．
【答案】D
【解答】解：点P经过四次旋转回到起点（1，1）的位置，
∵2024÷4＝506，
∴点P2024的坐标为（1，1），
故选：D．
6．【考点】实数的运算；根的判别式．
【答案】C
【解答】解：由条件可得：关于x的方程为x2+2x＝m，变形为x2+2x﹣m＝0，
∵方程没有实数根，
∴Δ＝22+4m＜0，
解得m＜﹣1．
故选：C．
7．【考点】垂径定理；勾股定理．
【答案】D
【解答】解：连接BE，如图，
∵OD⊥弦AB，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝2r＝10；
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．
故选：D．
8．【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【答案】A
【解答】解：当x＝2时，y＝9m＞18，
∴m﹣2＞0，m+8＞0，
∴抛物线开口向上，与y轴相交于正半轴上，
又∵对称轴，
∴图象可能正确的是A，
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．【考点】关于原点对称的点的坐标．
【答案】（1，﹣4）．
【解答】解：点A（﹣1，4）与点B关于原点对称，则B的坐标为（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
10．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【答案】36．
【解答】解：根据圆内接四边形对角互补可知：∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝4∠C，
∴4∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
故答案为：36．
11．【考点】勾股定理的应用．
【答案】x2+（x+6）2＝102．
【解答】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：
x2+（x+6）2＝102．
故答案为：x2+（x+6）2＝102．
12．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．
【答案】2．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2024）（x﹣2026）+6的图象向下平移6个单位长度，所得抛物线的解析式为：
y＝（x﹣2024）（x﹣2026），
令y＝（x﹣2024）（x﹣2026）＝0，则（x﹣2024）（x﹣2026）＝0，
∴x﹣2024＝0或x﹣2026＝0，
解得：x＝2024或2026，
∴PQ＝2026﹣2024＝2，
故答案为：2．
13．【考点】旋转的性质；列代数式．
【答案】α．
【解答】解：过点F作FG⊥CB，交CB的延长线于点G，
由旋转得DE＝EF，∠DEF＝90°，
∴∠EDF＝45°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∴∠C＝∠EGF＝90°．
∵∠CDE+∠DEC＝90°，∠DEC+∠FEG＝90°，
∴∠CDE＝∠FEG．
在△CDE和△EFG中
，
∴△CDE≌△EFG（AAS），
∴FG＝CE，EG＝CD，
∴EG＝BC，
即BG+BE＝BE+CE，
∴BG＝CE＝FG，
∴∠GBF＝∠BFG＝45°．
∵∠ADF＝α，∠EDF＝45°，
∴∠CDE＝90°﹣∠ADF﹣∠EDF＝90°﹣α﹣45°＝45°﹣α．
∵∠FEG＝45°﹣∠EFB，
∴45°﹣α＝45°﹣∠EFB，
∴∠EFB＝α．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】x1＝5，x2＝3．
【解答】解：原方程可化为6（x﹣5）﹣2x（x﹣5）＝0，
（x﹣5）（6﹣2x）＝0，
∴x﹣5＝0或6﹣2x＝0，
解得x1＝5，x2＝3．
15．【考点】中心对称；勾股定理．
【答案】．
【解答】解：△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，∠BCE＝180°，
∴BC＝CE，B、C、E三点共线，
∵AB＝3，AC＝1，∠A＝90°，
∴，
∴BE＝2CE＝2×＝2，
所以BE的长为．
16．【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【答案】80°．
【解答】解：∵BD＝OA，OA＝OB，
∴OB＝OD，∠A＝∠OBA，
∴根据等边对等角得，∠BOD＝∠D＝25°，
∴∠OBA＝∠BOD+∠D＝25°+25°＝50°，
∴∠A＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠OBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
答：∠AOB的度数为80°．
17．【考点】作图—复杂作图．
【答案】作图见解析．
【解答】解：作线段AB的垂直平分线MN交优弧于点C，如图，点C即为所求．
18．【考点】旋转的性质；等边三角形的判定；菱形的性质．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，AB＝AD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝140°，
∴∠BAD＝40°，
由旋转变换的性质可知AB＝AB′，∠BAB′＝100°，
∴AD＝AB′，∠DAB′＝∠BAB′﹣∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴△ADB′是等边三角形．
19．【考点】作图﹣旋转变换；中心对称．
【答案】（1）作图见解析过程；
（2）作图见解析过程．
【解答】解：（1）△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1BC1，如图1所示；
（2）如图2，△A2B2C2即为所求；
20．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；绝对值．
【答案】x＝﹣3或x＝2．
【解答】解：①当x≥3时，
原方程可化为x2﹣（x﹣3）﹣3＝0，
解得x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝1（不符合题意，舍去）；
②当x＜3时，原方程可化为x2+x﹣3﹣3＝0，
解得x3＝﹣3，x4＝2．
综上所述，原方程的根是x＝﹣3或x＝2．
21．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】15．
【解答】解：过点B作BE⊥y轴于点E，
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴OB＝5，
当x＝0时，y＝5，
∴OC＝5，
又∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴DE＝2，OE＝9，
∴CE＝9﹣5＝4，
∴S△BCD＝﹣﹣
＝（2+5）×9﹣2×4﹣5×5
＝15．
22．【考点】函数关系式．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥BC于点F，
由旋转得BC＝BE＝x，∠EBC＝60°，
∴△BEC为等边三角形，
∴EB＝EC，
∵EF⊥BC，
∴，
∴，
∴
∴；
（2）当时，，
（负值已舍），
∴矩形的边BC的长为．
23．【考点】一元二次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得
x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得
x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
24．【考点】圆周角定理；勾股定理．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠A+90°﹣∠BCD+90°﹣∠BCD＝180°，
∴∠A＝2∠BCD；
（2）解：连接OC、OE，如图，
由（1）得∠A＝2∠BCE＝2×15°＝30°，
∵∠BOE＝2∠BCE＝2×15°＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A＝60°，
∵∠COE＝∠COB+∠BOE＝60°+30°＝90°，
而，
∴．
25．【考点】二次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），
将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2+5，得：25a+5＝0，
解得：a＝﹣，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．
（2）当y＝1.8时，有﹣（x﹣3）2+5＝1.8，
解得：x1＝﹣1，x2＝7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
（3）当x＝0时，y＝﹣（x﹣3）2+5＝．
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2+bx+，
∵该函数图象过点（16，0），
∴0＝﹣×162+16b+，解得：b＝3，
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2+3x+＝﹣（x﹣）2+．
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
26．【考点】几何变换综合题．
【答案】（1）BD＝3；
（2）；
（3）AF的最小值为．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝3；
（2）连接BD，延长DC交AB于F，
由（1）知，△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝6，
∴点D在AB的垂直平分线上，
∵AC＝BC，
∴点C在AB的垂直平分线上，
∴DC垂直平分AB，
∴∠AFD＝90°，，
∴，
∴，
∴；
（3）连接BD并延长，在BD的延长线上取点M，使得DM＝DC＝4，连接MF，
由旋转的性质可知，DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠EDC+∠CDF＝∠CDF+∠FDM＝90°，
∴∠EDC＝∠FDM，
在△EDC和△FDM中，
，
∴△EDC≌△FDM（SAS），
∴∠DMF＝∠C＝60°，
则点F在与DM夹角为60°的直线上运动，
过点A作MF的垂线，垂足为F′，当点F在点F′时，AF取得最小值．延长F′M与AC的延长线交于点N，
∵∠MDN＝90°，∠DMF＝60°，
∴∠MND＝30°，
在Rt△MDN中，MN＝2DM＝8，，
∴，
在Rt△ANF′中，
∴，即AF的最小值为．