2024-2025学年河北省衡水六中九年级（上）期中数学试卷 含详解

这是一份2024-2025学年河北省衡水六中九年级（上）期中数学试卷 含详解，共25页。
A．400（1+x）2＝560
B．400+400（1+x）2＝560
C．400（1+2x）＝560
D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝560
2．若实数a、b分别满足a2﹣4a+1＝0、b2﹣4b+1＝0且a≠b，则2a2﹣5a+3b+ab的值为（ ）
A．3B．﹣13C．﹣5D．11
3．若一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为α，β，则的值为（ ）
A．B．2024C．D．±2024
4．若关于x的一元二次方程kx2+x﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣B．k＞﹣且k≠0
C．k≥﹣且k≠0D．k≥﹣且k≠0
5．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④S△AOE：S△BCF＝1：2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③C．①②D．②③
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝S1，S△CEF＝S2，S四边形BDEF＝S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是（ ）
A．S3＝S1+S2B．S3＝2
C．S3＝D．＝+
8．如图，矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝3，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的左端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）（ ）
A．2.3cmB．2.5cmC．2.7cmD．3cm
10．如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高为（ ）
A．a米B．a•tanα米
C．a（ctα﹣ctβ）米D．a（tanα﹣tanβ）米
11．如图，△ABC是周长为36的等腰三角形，AB＝AC，BC＝10，则tanB的值为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，为了测量河两岸A，B两点间的距离，在河的一岸与AB垂直的方向上取一点C，测得AC＝200米，∠ACB＝α，则AB＝（ ）
A．200•tanα米B．200•sinα米
C．200•csα米D．米
13．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（ ）
A．2B．6C．4D．2
14．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF⊥AB交AC于点G，反比例函数y＝（x＞0）经过线段DC的中点E，若BD＝4，则AG的长为（ ）
A．B．+2C．2+1D．+1
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．6B．12C．18D．24
16．方程x2+2x﹣1＝0的根可视为直线y＝x+2与双曲线y＝交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围是（ ）
A．0＜x0＜1B．1＜x0＜2C．2＜x0＜3D．3＜x0＜4
二．填空题（共3小题）
17．若x2+x+m＝（x﹣3）（x+n）对x恒成立，则方程x2+nx+m＝0的两根之积为 ．
18．如图，△ABC∽△EDC，若AC：EC＝2：3，AB＝6，则DE的长度是 ．
19．如图，在△ABC中，，则BC的长是 ．
三．解答题（共7小题）
20．为进一步发展基础教育，2014年某县投入教育经费6000万元，2016年投入教育经费8640万元，假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
21．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是256万元，假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
22．已知四边形ABCD中，EF分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：．
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B＝∠EGF时，第（1）问的结论是否仍成立？若成立给予证明，若不成立，请说明理由．
23．为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝1m．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2m．
如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度EF．
24．（1）解方程：2x2﹣x﹣1＝0．
（2）计算：tan260°+4sin30°cs45°．
25．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB＝240米，点D在点B的南偏东75°方向，在点A的东南方向．（参考数据：
（1）求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）
（2）大门C在风景点D的南偏西60°方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，翻修费用为每米200元，请计算此次翻修工程的总费用．
26．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝，AB＝2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，连接OC，求△AOC的面积．
2024-2025学年河北省衡水六中九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一．选择题（共16小题）
1．【解答】解：由题意，得：400（1+x）2＝560．
故选：A．
2．【解答】解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+1＝0、b2﹣4b+1＝0，
∴a2﹣4a+1﹣（b2﹣4b+1）＝0，
整理得（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，
∵a≠b，
∴a+b﹣4＝0，
解得a+b＝4，
∴（a+b）2＝16，即有a2+b2＝16﹣2ab，
又∵a2﹣4a+1+b2﹣4b+1＝0，
整理得16﹣2ab﹣4（a+b）+2＝0，
解得ab＝1，
∴2a2﹣5a+3b+ab
＝2a2﹣8a+2+3a+3b+ab﹣2
＝2（a2﹣4a+1）+3（a+b）+ab﹣2
＝3×4+1﹣2
＝11．
故选：D．
3．【解答】解：∵一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为α，β，
∴α+β＝2024，αβ＝1，
∴＝＝＝＝．
故选：A．
4．【解答】解：由题意，Δ≥0且k≠0，
∴1+8k≥0，
∴k≥﹣，
∴k≥﹣且k≠0．
故选：C．
5．【解答】解：连接OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB＝OC，
∵∠COB＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，
在△OBF与△CBF中，
，
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM＝CM，
∴①正确；
∵四边形EBFD是菱形，
∵∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM＝∠CBM＝30°，
∴∠ABO＝∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确，
由四边形EBFD是菱形，得：△EOB≌△FOB，
由①可知BF是OC的垂直平分线，则有△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误．
∴②错误；
④∵四边形ABCD是矩形，四边形EBFD是菱形，
∴OA＝OC，∠COF＝∠AOE，OF＝OE，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴S△AOE＝S△COF，
∵S△COF＝2S△CMF，
∵∠FCO＝30°，
∴FM＝CM，BM＝CM，
∴，
∴S△FOM：S△BOF＝1：4，
∵∠OGE＝∠OMF，∠GOE＝∠MOF，OE＝OF，
∴△GEO≌△MFO（AAS），
∴S△GEO＝S△MFO，
∴S△DEF＝S△EFB＝2S△BOF，
设S△EGO＝x，则S△AOE＝2x，S△BOF＝4x，
S四边形DGOF＝S△DEF﹣S△EGO＝S△EFB﹣S△EGO＝8x﹣x，
∴S△AOE：S四边形DGOF＝2x：（8x﹣x）＝2：7，
故④正确；
所以其中正确结论的个数为3个，
故选：C．
6．【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝90°，
∵HF∥AD，
∴∠H＝90°，
∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，
∴∠AFH＝∠HAF．
∵AF＝，
∴AH＝HF＝1＝BE．
∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，
∴△EHF≌△CBE（SAS），
∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴HEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，
∴EC2＝BE2+BC2＝17，
∴S△ECF＝EF•EC＝EC2＝，故①正确；
过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，
∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，
∴四边形APFH是矩形，
∵AH＝HF，
∴矩形AHFP是正方形，
∴AP＝PF＝AH＝1，
同理：四边形ABQP是矩形，
∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，
∵AD∥BC，
∴△FPG∽△FQC，
∴，
∴，
∴PG＝，
∴AG＝AP+PG＝，
在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝＝，
∴△AEG的周长为AG+EG+AE＝++3＝8，故②正确；
∵AD＝4，
∴DG＝AD﹣AG＝，
∴DG2+BE2＝+1＝，
∵EG2＝（）2＝≠，
∴EG2≠DG2+BE2，故③错误，
∴正确的有①②，
故选：C．
7．【解答】解：设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，
∵EF∥AB，DE∥BC，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴BD＝EF＝b，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠ACB，∠DAF＝∠FEC，
∴△ADE∽△EFC，
∴＝＝（）2＝，
∵S1＝ah，
∴S2＝，
∴S1S2＝，
∴bh＝2，
∵S3＝bh，
∴S3＝2．
故选：B．
8．【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2，
∵BF＝2FC，BC＝AD＝3，
∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1，
∴AF＝＝＝2，
∵OH∥AE，
∴＝＝，
∴OH＝AE＝，
∴OF＝FH﹣OH＝2﹣＝，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴＝＝，
∴AM＝AF＝，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴＝＝，
∴AN＝AF＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝．
故选：D．
9．【解答】解：作BD⊥OA于D，作CE⊥OA于E，如图：
依题意得：OD＝2cm，
在Rt△BOD中，∠BDO＝90°，∠BOD＝45°，OD＝2cm，
∴BD＝OD•tan∠BOD＝2cm，
∵BD⊥OA，CE⊥OA，且BC∥OA，
∴CE＝BD＝2cm，
在Rt△COE中，∠CEO＝90°，∠COE＝37°，CE＝2cm，
∴，即：，
解得：OE≈2.7cm，
∴点C在尺上的读数约为2.7cm，
故选：C．
10．【解答】解：作AE∥BD交DC的延长线于点E，
根据题意得∠DAE＝α，∠CAE＝β，AE＝a米，
∵，
∴DE＝atanα，CE＝atanβ，
∴CD＝DE﹣CE＝a（tanα﹣tanβ），
故选：D．
11．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB＝AC，BC＝10，
∴，
∵△ABC是周长为36的等腰三角形，
∴，
在Rt△ABD中，
∴，
∴．
故选：C．
12．【解答】解：tan∠ACB＝tanα＝，
AB＝200•tanα（米），
故选：A．
13．【解答】解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
则∠OD1C1＝∠OD2C2＝∠OD3C3＝90°，
∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，
∴∠A1OB1＝45°，
∴∠OC1D1＝45°，
∴OD1＝C1D1，
其斜边的中点C1在反比例函数y＝，∴C1（2，2），即y1＝2，
∴OD1＝D1A1＝2，
∴OA1＝2OD1＝4，
设A1D2＝a，则C2D2＝a 此时C2（4+a，a），代入y＝得：a（4+a）＝4，
解得：a＝，即：y2＝，
同理：y3＝，
y4＝，
……
∴y1+y2+…+y10＝2+++……＝，
故选：A．
14．【解答】解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，
设E（b，a），
∵反比例函数y＝（x＞0）经过点E，
∴ab＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO＝BD＝2，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴ME∥x，EN∥y，
∵E为CD的中点，
∴DO•CO＝4，
∴CO＝2，
∴tan∠DCO＝＝．
∴∠DCO＝30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝∠DCB＝2∠DCO＝60°，∠1＝30°，AO＝CO＝2，
∵DF⊥AB，
∴∠2＝30°，
∴DG＝AG，
设DG＝r，则AG＝r，GO＝2﹣r，
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠3＝30°，
在Rt△DOG中，DG2＝GO2+DO2，
∴r2＝（2﹣r）2+22，
解得：r＝，
∴AG＝．
故选：A．
15．【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM＝AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM＝，
∴•ON•AN＝•OM•FM，
∴ON＝OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME＝OE，
∴S△FME＝S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF＝S△AOE＝9，
∴S△FME＝S△EOF＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6＝，
∴k＝12．
故选：B．
16．【解答】解：依题意得方程x3+3x﹣2＝0的实根是函数y＝x2+3与y＝的图象交点的横坐标，
这两个函数的图象如图所示，
∴它们的交点在第一象限，
当x＝1时，y＝x2+3＝4，y＝＝2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当x＝时，y＝x2+3＝3，y＝＝4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x＝时，y＝x2+3＝3，y＝＝6，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
…
∴x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围0＜x＜1．
故选：A．
二．填空题（共3小题）
17．【解答】解：∵x2+x+m＝（x﹣3）（x+n）＝x2+（﹣3+n）x﹣3n对x恒成立，
∴﹣3+n＝1，m＝﹣3n，
解得：n＝4，m＝﹣12，
代入方程x2+nx+m＝0得：x2+4x﹣12＝0，
所以方程x2+nx+m＝0的两根之积为﹣12，
故答案为：﹣12．
18．【解答】解：∵△ABC∽△EDC，A C：E C＝2：3，
∴，
∴当AB＝6时，，
故答案为：9．
19．【解答】解：作AD⊥BC于D，
∵，
∴，
∴，即，
∴AD＝4，
∴，
∴BC＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共7小题）
20．【解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：
6000（1+x）2＝8640
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；
（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，
所以2017年该县投入教育经费为：y＝8640×（1+0.2）＝10368（万元），
答：预算2017年该县投入教育经费10368万元．
21．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2＝256，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为20%．
（2）256×（1﹣20%）＝204.8万元）．
答：预测4月份该公司的生产成本为204.8万元．
22．【解答】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠A＝90°，
∴∠ADE+∠GDC＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠DCF+∠GDC＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴．
（2）解：第（1）问的结论仍成立，理由如下：
如图2，以C为圆心，CF的长为半径画弧交AD延长线于M，连接CM，
∴CM＝CF，
∴∠CMD＝∠CFD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠B＝∠EGF，
∴∠A+∠EGF＝180°，
∴∠AEG+∠AFG＝180°，
∵∠DFG+∠AFG＝180°，
∴∠AEG＝∠DFG，
∴∠AED＝∠CMD，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDM，
∴△ADE∽△DCM，
∴＝，
∴＝．
23．【解答】解：设广告牌的高度EF为x m，
依题意知：DB＝5m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.5m．
∴GD＝DB﹣BG＝3m，
∵CD⊥BF，EF⊥BF，
∴CD∥EF．
∴△EFH∽△CDH．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴DF＝x﹣1．
由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB．
∵AB⊥BF，
∴∠ABG＝90°＝∠EFG．
∴△EFG∽△ABG．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴x＝3．
故广告牌的高度EF为3m．
24．【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，c＝﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9，
∴，
∴x1＝1，x2＝﹣；
（2）原式＝
＝．
25．【解答】解：（1）过点B作BP⊥AD于点P，
由题意知∠BAD＝45°，∠CBD＝75°，
∴∠ADB＝30°，∠ABP＝45°＝∠A，
∴BD＝2 B P，AP＝BP，
在Rt△ABP中，AB＝240米，
∴（米），
∴（米）．
答：B、D两地的距离约为339.4米；
（2）过点B作BM⊥CD于点M，
由（1）得（米），
∵∠CDB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∠CBD＝75°，∠DCB＝60°，
∴∠DBM＝45°＝∠CDB，
∴BM＝DM，
在Rt△BDM中，，
∴（米），
在Rt△BCM中，∠CBM＝75°﹣45°＝30°，
∴（米），
∴（米），
费用为元，
答：翻新总费用为75712元．
26．【解答】解：（1）∵AB⊥y轴于点B，
∴∠OBA＝90°，
在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB＝＝，
∴OB＝4，
∴A（2，4），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝4×2＝8；
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）如图，过A作AF⊥x轴于F，过C作CE⊥x轴于E，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADO＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°，
∴AF＝DF＝OB＝4，
∵OF＝AB＝2，
∴OD＝6，
∴D（6，0），
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
∵点A（2，4），D（6，0）在直线AC上，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①，
由（1）知，反比例函数的解析式为y＝②，
联立①②解得，或，
∴C（4，2），
∵△AOF的面积＝OF•AF＝×2×4＝4，△OCE的面积OE•CE＝×2×4＝4，
∴△AOF的面积＝△OCE的面积，
∴△AOF的面积﹣△OFH的面积＝△OCE的面积﹣△OFH的面积，
∴△AOF的面积＝梯形CEFH的面积，
∴△AOC的面积＝梯形CEFH的面积＝（AF+CE）•EF＝（4+2）（4﹣2）＝6．