北师大版数学九上专题1.27 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）（含答案）

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专题1.27 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在四边形ABCD中，，且AD＝DC，则下列说法：①四边形ABCD是平行四边形；②AB＝BC；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD；⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24，其中正确的有（       ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．如图，在菱形中，直线分别交、、于点、和．且，连接．若，则为（       ）A． B． C． D．3．两个边长为2的等边三角形如图所示拼凑出一个平行四边形，则对角线的长为（       ）A．2 B．4 C． D．4．如图，在菱形中，，点为对角线上一点，为边上一点，连接、、，若，，则的度数为（       ）A． B． C． D．5．如图，在△ABC中，AC=BC，D、E分别是边AB、AC的中点，△ADE≌△CFE，则四边形ADCF一定是（       ）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定6．如图，在中，、分别是直角边、的中点，若，则边上的中线的长为（       ）A．5 B．6 C． D．107．如图，在矩形ABCD中，EF是对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD于点E，F，若，则EF的长为（       ）A．4 B．8 C． D．8．如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点的坐标为（       ）A． B． C． D．9．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（       ）A．128 B．64 C．32 D．14410．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中错误的是（        ）A．存在无数个四边形PMQN是平行四边形B．存在无数个四边形PMQN是矩形C．存在无数个四边形PMQN是菱形D．至少存在一个四边形PMQN是正方形11．如图，在正方形ABCD中，等边的顶点E，F分别在边BC和CD上，则等于（       ）A． B． C． D．12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD、HD，若BC=10，则阴影部分的面积是（       ）A． B． C．25 D．50二、填空题13．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，已知AB=6cm，BC=8cm，则四边形ODEC的周长为______cm．14．如图，平行四边形的对角线与交于点，请你添加一个条件使它是菱形，你添加的条件是______．15．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，4，则AB长为__．16．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则CD的长是___________．17．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为__________．18．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________．19．如图，四边形纸片ABCD中，，，，，点E在BC上，且．将四边形纸片ABCD沿AE折叠，点C、D分别落在点、处，与AB交于点F，则BF长为______．20．我们把宽与长的比为黄金比（）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABCD中，，BC＝4，的平分线交AD边于点E，则AE的长为______．21．图，正六边形的顶点B、C分别在正方形的边上，若，则的长度为_________．22．如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形的各边长按原法延长一倍得到正方形；以此进行下去…则正方形的面积为 ________．23．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点，，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，则的最小值为______．24．如图，在平面直角坐标系中，有一个由四个边长为1的正方形组成的图案，其中点A坐标为，则点B坐标为______．三、解答题25．如图，在菱形中，于点E，于点F．(1)求证：；(2)分别延长和相交于点G，若，，求的值．26．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D使OD=OB，连AD、CD．(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)若∠AOB＝60°，E为BC的中点，连OE，OE=2．求对角线的长及矩形的面积．27．（1）方法感悟：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°．因此，点G，B，H在同一条直线上．∵∠EAF＝45°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠______．又∵AG＝AE，AF＝AF，∴______．∴______＝EF．故DE＋BF＝EF．（2）方法迁移：如图2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足，试猜想当∠B，∠D满足什么关系时，可使得DE＋BF＝EF？请说明理由．参考答案1．D【分析】由，可知四边形ABCD是平行四边形，可判断①的正误；由AD＝DC，可知平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可判断②③④⑤的正误．解：∵，∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；∵AD＝DC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确；∵AC＝6，BD＝8，∴菱形ABCD的面积＝，故⑤正确；∴正确的个数有5个，故选D．【点拨】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质．解题的关键在于证明四边形ABCD是菱形．2．C【分析】根据菱形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定定理和性质确定，OA=OC，根据等腰三角形三线合一的性质确定∠BOC=90°，根据三角形内角和定理和平行线的性质即可求出∠DAC．解：∵四边形ABCD是菱形，∴，，．∴∠OMA=∠ONC，∠OAM=∠OCN，∠DAC=∠OCB．∵AM=CN，∴．∴OA=OC．∴BO⊥AC．∴∠BOC=90°．∵∠OBC=65°，∴∠OCB=180°-∠BOC-∠OBC=25°．∴∠DAC=∠OCB=25°．故选：C．【点拨】本题考查菱形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定定理和性质确，等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，综合引用这些知识点是解题关键．3．D【分析】连接BD交AC于点O，由平行四边形和等边三角形的性质，易证四边形是菱形，可求得AB=2，AO=1，由勾股定理可求得，继而可求得对角线的长．解：如图，连接BD交AC于点O，由题意可得和是等边三角形，且边长都为2，∴AB=BC=CD=DA=AC=2，∴四边形是菱形，∴，BD=2BO，AC⊥BD，在中，由勾股定理得：，∴．故选：D．【点拨】本题主要考查了菱形的判定与性质、勾股定理，灵活运用菱形的性质和勾股定理求解是解题的关键．4．A【分析】先求出∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，然后证明△ABE≌△CBE得到∠BEA=∠BEC=56°，则∠BAE=104°，∠DAE=36°，证明∠EFA=∠EAF=36°，则由三角形外角的性质可得∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°．解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=40°，∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°，，∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BEA=∠BEC=56°，∴∠BAE=104°，∴∠DAE=36°，∵AE=FE，∴∠EFA=∠EAF=36°，∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°，故选A．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ABE≌△CBE是解题的关键．5．B【分析】根据全等三角形的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．解：△ADE≌△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC=BC，点D是边AB的中点，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCF是矩形．故选：B．【点拨】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．6．D【分析】根据三角形中位线定理求出AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半求解即可．解：∵D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴．∵DE=10，∴AB=2DE=20．∵CP是中斜边AB上的中线，，∴故选：D．【点拨】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，熟练掌握这些知识点是解题关键．7．D【分析】连接CE，设EF交AC于点O，根据矩形的性质和EF是AC的垂直平分线，可得，EC=AE，OA=OC，再由勾股定理可得AE=CE=5，从而得到，再由△AOE≌△COF，可得OF=OE，即可求解．解：如图，连接CE，设EF交AC于点O，在矩形ABCD中，BC=AD=4，AB=CD=8，∠B=∠ADC=90°，AB∥CD，∴，∴，∵EF是AC的垂直平分线，∴EC=AE，OA=OC，设EC=AE =x，则BE=AB-AE=8-x，在Rt△EBC中，BE2+BC2=CE2，∴x2=42+（8-x）2，解得：x=5，∴AE=CE=5，∵EF⊥AC，∴，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∠AEO=∠CFO，∵OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OF=OE，∴，故选：D.【点拨】本题主要考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上相关知识是解题的关键．8．D【分析】过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，根据矩形的性质得到点C的坐标，求出∠COE=45°，OC=4，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F，由旋转得∠COC1=75°，求出∠C1OF=30°，利用勾股定理求出OF，即可得到答案．解：过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，ADBC，∠CDA=∠DAB=90°，∴∠HCD=∠ADO=∠BAG，∵∠CHD=∠BGA=90°，∴△CHD≌△AGB（AAS），∵，，，∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2，∴OH=2+2=4，∴C（4，4），∴OE=CE=4，∴∠COE=45°，OC=4，如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F，由旋转得∠COC1=75°，∴∠C1OF=30°，∴C1F=OC1=OC=2，∴OF=，∴点C1的坐标为，故选：D．【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．9．A【分析】13和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长8，即可利用勾股定理得出EF2的长．解：根据题题得：小正方形的边长等于BE-AE，∵，，∴小正方形的边长=13-5=8，∴．故选：A【点拨】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．10．B【分析】根据正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质来判断即可求解．解：如图，正方形ABCD中，作线段MN的垂直平分线交AD于点P，交AB于Q点，∵PQ垂直平分MN，∴PM=PN，QM=QN，在正方形ABCD中，∠PAN=∠QAN=45°，∴∠APQ=∠AQP=45°，∴AP=AQ，∴AC垂直平分PQ，∴MP=MQ，∴四边形PNQM是菱形，在MN运动的过程中，这样的菱形有无数个，即存在无数个这样的平行四边形，当点M与A或者C重合时，四边形PNQM是正方形，则至少存在一个四边形PNQM是正方形，即A、C、D项说法正确，∵MN=2，且当点M与A或者C重合时，四边形PNQM是正方形，也是矩形，∴不存在无数多个矩形，故B说法错误．故选：B．【点拨】本题考查了正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形和平行四边形的判定定理，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．11．C【分析】根据题意直接证明，进而得，可知，结合等边三角形的条件，即可求得．解：四边形是正方形，，，是等边三角形，，，在和中，（HL）， ，，，又，，，故选：C．【点拨】本题考查了HL证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键．12．C【分析】设AB中点为M，AC中点为N，连接DM，DN，AD．根据三角形中位线定理，平行线的性质，正方形的性质用AB表示出△ADF的面积，用AC表示出△ADH的面积，再结合勾股定理将△ADF与△ADH的面积相加即可求出阴影部分的面积．解：设AB中点为M，AC中点为N，连接DM，DN，AD．∵D是BC中点，M是AB中点，N是AC中点，∴DM是△ABC的中位线，DN是△ABC的中位线．∴，，，．∴∠BMD=∠BAC，∠DNC=∠BAC．∵∠BAC=90°，∴∠BMD=90°，∠DNC=90°，．∵四边形ABEF和四边形ACGH是正方形，∴AB=AF，AC=AH．∴，．∴S阴．∵BC=10，∴S阴．故选：C．【点拨】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．13．20【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=6cm，OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，求出OC=OD，根据菱形的判定得出四边形OCED是菱形，根据菱形的性质得出OD=OC=DE=CE，根据勾股定理求出AC，再求出OC即可．解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，∴∠ABC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=6cm，OA=OC= AC，OB=OD=BD，AC=BD，∴OC=OD，∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又∵OC=OD，∴四边形OCED是菱形，∴OD=OC=DE=CE，由勾股定理得：AC==10（cm），∴AO=OC=5cm，∴OC=CE=DE=OD=5cm，即四边形ODEC的周长=5+5+5+5+5=20（cm），故答案为：20．【点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点，能熟记矩形的性质和菱形的判定定理是解此题的关键．14．（答案不唯一）【分析】根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可以添加邻边相等的条件．解：条件：AB=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．故答案为：AB=AD（答案不唯一）．【点拨】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．15．【分析】根据菱形的性质求得，的长，然后在中利用勾股定理即可求解．解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，4，∴，，，∴中，，故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．16．6【分析】根据三角形中位线定理，求得，进而根据菱形的性质求得．解：四边形是菱形，，E、F分别是AB、AC的中点，EF＝3，，故答案为：．【点拨】本题考查了中位线定理，菱形的性质，掌握中位线定理是解题的关键．17．【分析】如图，连接，AC，BD．过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N．利用勾股定理，求出OE，可得结论．解：如图，连接，AC，BD．∵O是矩形的对称中心，∴O也是对角线的交点，过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N． ∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD=OB，∵OM⊥AD，∴AM=DM=AD=BC=4，∴OM=AB=3，∵AE=2，∴EM=AM-AE=2，∴OE==，同法可得OF=，∴OE+OF=2，故答案为：2．【点拨】本题考查中心对称，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．18．3【分析】由菱形面积计算公式可求得BD的长，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求得OH的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OA=8，∵，∴,∴BD=6，∵DH⊥BC，O为BD的中点，∴OH为直角△DHB斜边上的中线，∴．故答案为：3．【点拨】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，菱形面积等于两对角线乘积的一半等知识，掌握这些知识是解题的关键．19．5【分析】根据折叠的性质可得，则，勾股定理求得，证明，即可求得．解：∵，，，，∴四边形是矩形，，将四边形纸片ABCD沿AE折叠，点C、D分别落在点、处，，， ，中，，，又故答案为：5【点拨】本题考查了折叠的性质，矩形的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键．20．【分析】根据黄金矩形的定义求出AB，根据矩形的性质，角平分线的定义，平行线的性质求出∠ABE和∠AEB，再根据等角对等边即可求解．解：∵四边形ABCD是黄金矩形，BC=4，∴，∠ABC=90°，．∴．∵AE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=45°．∴∠AEB=∠EBC=45°．∴∠ABE=∠AEB．∴．故答案为：．【点拨】本题考查矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，综合应用这些知识点是解题关键．21．3【分析】由正六边形的性质及正方形的性质可得∠BCG=30°，则由直角三角形的性质可求得BG的长，从而可得AG的长．解：∵六边形为正六边形，∴∠CBG=360°÷6=60°，BC=AB=2；∵四边形AGHI是正方形，∴∠G=90°，∴，∴，∴AG=AB+BG=2+1=3．故答案为：3．【点拨】本题考查了正多边形的性质，含30度直角三角形的性质，掌握这两方面知识是解题的关键．22．【分析】根据三角形的面积公式，可知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．解：最初边长为1，面积为1，延长一次为，面积5，再延长一次为=5，面积52=25，下一次延长为，面积53=125，以此类推，当N=2022时，正方形的面积为：52022．故答案为：．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，在解题时要根据已知条件找出规律，从而得出正方形的面积，这是一道常考题．23．【分析】根据题意，进而证明，可得,勾股定理求解即可．解：如图，作，，连接MH． PN⊥AC，AE平分∠BAC，，，即为所求，四边形是正方形正方形，，又，，，，，，， AE平分∠BAC，，在与中，，，，是正方形的对角线，，，即的最小值为，故答案为：．【点拨】本题考查了角平分线的性质，正方形的性质，垂线段最短，根据题意求得的最小值是的长是解题的关键．24．【分析】根据正方形的性质可得：向右平移2个单位，再向下平移3个单位可得点B，再利用平移的性质可得答案．解：如图， 四个边长为1的正方形组成的图案，点A坐标为， 向右平移2个单位，再向下平移3个单位可得点B，所以 即 故答案为：【点拨】本题考查的是正方形的性质，坐标与图形，点的平移的坐标规律，熟练的运用点的平移坐标规律是解本题的关键．25．(1)见分析(2)【分析】（1）根据菱形的性质可知DC=BC，再根据，，可证得，则有，问题得解；（2）根据菱形的性质以及∠A=45°可证得△ABG是等腰直角三角形，即可求解．(1)解：∵四边形是菱形，∴，∵于点E，于点F，∴，∵，，，∴，∴，∴；即；(2)解：∵四边形是菱形，∴，AD=AB=1，∴，∵，∴，∴，∴△ABG是等腰直角三角形，∴，∴．【点拨】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．26．(1)见分析(2)对角线的长为8，矩形的面积为【分析】（1）由O为AC的中点，可得OA=OC，然后根据对角线互相平分可证四边形ABCD为平行四边形，又∠ABC＝90°，即可证明四边形ABCD为矩形；（2）易证OE为△ABC的中位线，可得AB=2OE=4，根据矩形的性质和∠AOB＝60°，可证△AOB为等边三角形，可得OA=BO=AB，继而可得对角线AC=8，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，继而可求得矩形的面积.解：(1)∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵OD=OB，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形；(2)解：∵OA=OC，∴E为BC的中点，∴BE=CE，∴OE为△ABC的中位线，∴AB=2OE=2×2=4，∵ABCD为矩形，∴OA=AC，OB=BD，∵AC= BD，∴OA= OB，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴OA=BO=AB=4，∴对角线AC=BD=2OA=8，∵∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB=4，AC=8，∴，∴ 矩形的面积.【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、三角形中位线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等，熟记相关定理是解题的关键.27．（1）EAF；△EAF；GF；（2）EF＝DE＋BF，见分析；（3）∠B＋∠D＝180°，见分析【分析】（1）根据图形和推理过程填空即可；（2）根据题意，分别证明，即可得出结论．（3）根据角之间关系，只要满足∠B+∠D＝180°时，就可以得出三角形全等，利用全等三角形的性质即可得出答案．解：（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG+∠ABF＝90°+90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上，∵∠EAF＝45°，∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠1+∠3＝45°，即∠GAF＝∠EAF，又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌△EAF（SAS），∴GF＝EF，故DE+BF＝EF；故答案为：EAF，△EAF，GF．（2）EF＝DE＋BF，理由如下：如图，延长CF，作∠4＝∠1．∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到Rt△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠5，∠2＋∠3＝∠1＋∠5．∵∠4＝∠1，∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF＝∠FAE．∵在△AGB和△AED中，∴．∴AG＝AE，BG＝DE．∵在△AGF和△AEF中，∴．∴GF＝EF．∴DE＋BF＝EF．（3）当∠B与∠D满足∠B＋∠D＝180°时，可使得DE＋BF＝EF．如图，延长CF，作∠2＝∠1．∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABG＝180°，∴∠D＝∠ABG．在△AGB和△AED中，∴． ∴BG＝DE，AG＝AE．∵，∴∠EAF＝∠GAF．在△AGF和△AEF中，∴． ∴GF＝EF，DE＋BF＝EF．故当∠B与∠D满足∠B＋∠D＝180°时，可使得DE＋BF＝EF．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及旋转变换性质等知识，根据题意作出与已知相等的角，利用三角形全等是解决问题的关键．