北师大版数学九上专题1.21 特殊平行四边形“将军饮马”专题（基础篇）（专项练习）（含答案）

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专题1.21 特殊平行四边形“将军饮马”专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】菱形将军饮马问题1．如图，在菱形中，，，点E是对角线上一个动点（不与A，C重合），点F是边上一个动点，连接，则的最小值为（       ）A．2 B． C．4 D．2．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（       ）A．4 B．4.8 C．5 D．5.53．如图，将两张长为10，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么，菱形周长的最大值为（　　）A． B． C． D．214．如图，在菱形中，对角线，，点分别是的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（       ）A．3 B．4 C．5 D．6【知识点二】矩形将军饮马问题5．如图，在中，，点是上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（       ）A． B．13 C． D．6．如图，△ABC中，BC＝4，D、E 分别是线段AB和线段BC上的动点，且BD=DE，F是线段AC上一点，且EF=FC，则DF的最小值为（　 　）A．3 B．2 C．2.5 D．47．如图，ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（       ）A．10﹣ B．﹣3 C．2﹣6 D．38．如图，在RtABC中，，，，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的y轴，x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限内，连接OC，则OC的长的最大值为（     ）A．16 B．18 C． D．【知识点三】正方形将军饮马问题9．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE为正三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上取一点P，使最小，则这个最小值为（       ）A． B． C． D．10．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（       ）A． B． C． D．＋111．如图，已知正方形中，点E，F分别在边，上，连接，．若，，则的最小值为（       ）A． B． C． D．12．如图，正方形的边长为4，点、分别为、的中点，点是对角线上的动点，则四边形周长的最小值为（ ）A．4 B． C．8 D．二、填空题【知识点一】菱形将军饮马问题13．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为_____．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝4，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为______________．15．如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的最小值为________．16．如图，直角三角形中，，，为斜边上一动点．，，则线段长的最小值为________． 【知识点二】矩形将军饮马问题17．如图，在矩形ABCD中，AB=3a，BC=4a，若点E是边AD上一点，点F是矩形内一点，∠BCF=30°，则EF+CF的最小值是_____．18．如图，点E是矩形纸片ABCD的边BC上的一动点，沿直线AE折叠纸片，点B落在点位置，连接C．若AB＝3，BC＝6，则线段C长度的最小值为 ________________．19．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，为线段上的个动点，过点分别作轴于点，轴于点，连接，则长的最小值为______．20．如图，在矩形中，，，为中点，为上一动点，则的最小值为______．【知识点三】正方形将军饮马问题21．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点，，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，则的最小值为______．22．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最长距离，在平面内有一个正方形，边长为4，中心为O，在正方形外有一点P，OP=4，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最长距离的最小值为____________．23．如图，在正方形ABCD中，AB=2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是______．24．如图，正方形ABCD边长为4，对角线AC上有一动点P，过P作PE⊥PC于E，PF⊥AB于F，连接EF，则EF的最小值为 _____．三、解答题25．如图，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，求点到距离的最小值．26．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，且已知AB=8，BC=4（1）判断△ACF的形状，并说明理由；（2）求△ACF的面积；（3）点P为AC上一动点，则PE+PF最小值为_________________．27．如图，点P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．(1)求点P的坐标．(2)当∠APB绕点P旋转时，①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．②请求出OA2+OB2的最小值．参考答案1．B【分析】在菱形中，点B关于AB对称点为点D，过点D作AB的垂线交于点F，交AC于点E，这时最小为DF，根据三角函数得，即可算出答案．解：如图所示，连接DE，DFABCD是菱形，，，，，，，当时，DF最小，这时 ，，即的最小值为．故选：B．【点拨】本题考查菱形的性质和轴对称最短路线问题，解题关键是得到的最小值为菱形ABCD中AB边上的高．2．B【分析】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．解：如图，设AC与BD的交点为O，∵点P是BC边上的一动点，∴AP⊥BC时，AP有最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，∴BC＝，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，∴AP＝＝4.8，故选：B．【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题关键．3．C【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，在Rt△ABC中，由勾股定理：x2＝（10﹣x）2+22，解得：x＝，∴4x＝，即菱形的最大周长为cm．故选：C．【点拨】此题考查矩形的性质，本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程．4．C【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE＋PF的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝＝5，作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE＋PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD＝AB，∴AE＝AE′，∵F是BC的中点，∴E′F＝AB＝5．故选C．【点拨】本题考查的是轴对称−最短路线问题及菱形的性质，熟知菱形的性质是解答此题的关键．5．C【分析】先证四边形AMDN是矩形，连接AD，则MN=AD，当AD最短时，MN取最小值．解：如图，连接AD，在中，，，于点，于点N，， 四边形MDNA是矩形，，当时，AD最短，，，∴线段的最小值为，故选：．【点拨】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，做辅助线AD是解本题的关键．6．B【分析】过点D作DG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，当DF⊥FH时，DF取得最小值，据此求解即可．解：过点D作DG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，如图：∵BD=DE，EF=FC，∴BG=GE，EH=HC，当DF⊥FH时，DF取得最小值，此时，四边形DGHF为矩形，∴DF=GH=BE+EC=BC=2．故选：B．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．7．B【分析】根据三角形斜边中线的性质求得，，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值．解：中，，，，，，点、分别是、的中点，，，当、、在同一直线上时，取最小值，的最小值为：，故选：B．【点拨】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确、、在同一直线上时，取最小值是解题的关键．8．B【分析】取AB的中点P，连接OP、CP，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，再由勾股定理，可得CP=10，再由三角形的三边关系，即可求解．解：如图，取AB的中点P，连接OP、CP，∵，∴ ，在 中，，由勾股定理得： ，∵ ，∴当O、P、C三点共线时，OC最大，最大值为18．故选：B．【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．9．B【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，BE与AC的交点即为点P的特殊位置，此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=．∴的最小值为．故选：B．【点拨】此题主要考查了轴对称——最短路线问题，难点是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可，灵活运用对称性解决此类问题的关键．10．A【分析】根据正方形是轴对称图形，所在的直线是正方形的一条对称轴，进而根据对称性可知，BP+EP＝PD+PE，当在同一直线上时，的值最小为的长，进而根据勾股定理求得的值．解：连接BD，∵正方形是轴对称图形，所在的直线是正方形的一条对称轴，∴无论P在什么位置，都有PD＝PB；故均有BP+EP＝PD+PE成立；连接DE与AC，所得的交点，即为BP+EP的最小值时的位置，如图所示：此时BP+EP＝DE，∵正方形ABCD的边长为2，∴DC＝BC＝2，∵E是BC的中点，∴EC＝1，在Rt△DEC中，DE＝＝＝，故选：A．【点拨】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，理解对角线所在的直线是正方形的对称轴是解题的关键．11．B【分析】连接作关于的对称点，连接，则，证明，可得，根据，勾股定理即可求得，即的最小值．解：如图，连接作关于的对称点，则，四边形是正方形，，，，，，，的最小值为的长，，，中，，的最小值为故选B【点拨】本题考查了正方形的性质，线段和最值问题，添加辅助线将转化为是解题的关键．12．C【分析】作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称性质及两点之间，线段最短，得到四边形的周长最小，即最小，再利用三角形三边关系解题即可．解：如图，作关于的对称点，连接交于点，故点与点重合时，四边形的周长最小，即最小，和关于对称，则连接，同样，而，即所以当与重合时，四边形周长最小，即为，故选：C．【点拨】本题考查正方形的性质、轴对称与最值问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．【分析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，推出四边形A′B′CD是平行四边形，得到A′D＝B′C，于是得到A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，根据平移的性质得到点A′在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，求得DE＝CD，得到∠E＝∠DCE＝30°，于是得到结论．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，       ∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，如图，过点D作DH⊥EC于H，∴，，∴,∴CE＝2CH＝，故答案为：．【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．14．【分析】连接DE，依据菱形的性质即可计算得到DE的长，再根据线段的性质，即可得到PD+PE的最小值为DE的长．解：如图，连接DE，∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=4，∴AO=AC=2，BO=BD=2，AC⊥BD，∴AB=，∴AB=AD=BD，即△ABD是等边三角形，点E是AB的中点，，∴DE=，∵DP+PE≥DE，∴PD+PE的最小值为DE的长，即PD+PE的最小值为2，故答案为：2．【点拨】此题考查了轴对称，最短路线问题，勾股定理，等边三角形的性质，关键是掌握菱形的性质以及线段的性质：两点之间，线段最短．15．【分析】连结AF，利用中位线的性质GH=AF，要使GH最小，只要AF最小，由点F在BC，当AF⊥BC时，AF最小，利用菱形性质求出，由确定△ABF为等腰直角三角形，得出AF=BF，由勾股定理得：求出AF即可．解：连结AF，∵，分别为，的中点，∴GH∥AF，且GH=AF，要使GH最小，只要AF最小，由点F在BC，当AF⊥BC时，AF最小，在菱形中，，∴，在Rt△ABF中，，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AF=BF，由勾股定理得：，∴，∴，GH最小=AF=．故答案为：．【点拨】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质， 点F在BC上，AF最短，点A到BC直线的距离最短时由点A向直线BC作垂线，垂线段AF为最短是解题关键．16．【分析】先连接PC, 判定四边形ECFP是矩形, 得到EF=PC, 再根据当PC最小时, EF也最小, 根据垂线段最短, 可得当CP⊥AB时, PC最小, 最后根据面积法, 求得CP的长即可得到线段EF长的最小值.解：连接PC, PE⊥BC, PF⊥CA,∠PEC=∠PFC=∠C=,四边形ECFP是矩形,EF=PC,当PC最小时, EF也最小,垂线段最短,当CP⊥AB时,PC最小,AC=1, BC=2,AB=,又当CP⊥AB时,PC===.线段EF长的最小值为.故答案为.【点拨】本题主要考查矩形的判定与性质及垂线段最短.17．3a【分析】作辅助线，先根据直角三角形30度角的性质可知CF=FH，得GH的长是EF+CF的最小值，从而得结论．解：过F作GH∥CD，交AD于G，BC于H，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，AD∥BC，∴GH⊥AD，∠CHF=90°，∵∠BCF=30°，∴FH=CF，∵点E是边AD上一点，∴EF+CF=EF+FH，即EF+CF的最小值是GH，∵∠GHC=∠BCD=∠D=90°，∴四边形DGHC是矩形，∴GH=CD=AB=3a，即EF+CF的最小值是3a；故答案为：3a．【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题关键是确定EF+CF的最小值是GH．18．3﹣3【分析】连接AC，当A、、C共线时，C的值最小，进而解答即可．解：如图，连接AC．∵折叠，∴AB＝A＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC＝，∵C≥AC﹣A，∴当A、、C共线时，C的值最小为：3﹣3，故答案为：3﹣3．【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，作出正确的辅助线，属于中考常考题型．19．【分析】由矩形的性质可知EF＝OP，可知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知当OP⊥AB时，满足条件，求得A、B两点的坐标，即可求得EF的最小值．解：在一次函数中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝，∴A（0，4），B（，0）．∵PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，∴∠PEO=∠PFO=90°，∵∠EOF=90°，∴四边形PEOF是矩形，∴EF＝OP，∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，此时EF最小，∵A（0，4），点B坐标为（，0），∴OA＝4，O B＝，由勾股定理得：AB＝，∵AB•OP＝OA•OB，∴OP＝．故答案为：【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，矩形的性质，熟知矩形的性质和一次函数与坐标轴交点特征，熟练进行计算是解答此题的关键．20．【分析】作点E关于点C的对称点M，连接AM交CD于点F，连接EF，则此时的值最小，根据矩形的性质和勾股定理得出AM的值即可解：作点E关于点C的对称点M，连接AM交CD于点F，连接EF，则此时的值最小，EF=MF；EC=MC，∴EF+AF=AM∵，为中点，∴BE=CE=2，∴BM=6；在矩形中，，∴∠B=90°，∴；故答案为：【点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识；正确的作出辅助线是解题的关键．21．【分析】根据题意，进而证明，可得,勾股定理求解即可．解：如图，作，，连接MH． PN⊥AC，AE平分∠BAC，，，即为所求，四边形是正方形正方形，，又，，，，，，， AE平分∠BAC，，在与中，，，，是正方形的对角线，，，即的最小值为，故答案为：．【点拨】本题考查了角平分线的性质，正方形的性质，垂线段最短，根据题意求得的最小值是的长是解题的关键．22．##【分析】由题意以及正方形的性质得OP过正方形ABCD的顶点时，点P到正方形的最长距离取得最小值，最小值为PA．解：如图，OP过顶点A时，点O与这个图上所有点的连线中，OA最大，此时点P到正方形的最长距离取得最小值，最小值为PA，∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，∴∠OAB=∠OBA=45°，OA⊥CB，∴OA=OB=，∵OP=4，∴最小值为PA=4-；故答案为：4-．【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，理解点到图形的距离是解题的关键．23．##【分析】取AB的中点G，以G为圆心，AB为直径作圆G，当D、E、G共线时，此时DE取得最小值．解：∵BE⊥AF于E，即∠AEB=90°，取AB的中点G，∴点E的运动轨迹为以AB为直径，G为圆心的圆弧．当D、E、G三点共线时，DE取得最小值，如图，∵AB=AD=2，∴AG=EG=1，∴DG=，∴DE=．即线段DE的最小值是．故答案为：．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，本题关键是确定DE取最小值的位置．24．2【分析】由垂线段最短可得当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小，可证四边形BEPF是矩形，可得FE＝BP，即EF的最小值为BP的最小值为2．解：当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC于点P，∵正方形ABCD边长为4，∴BP＝BD＝×4＝2，∵PE⊥BC，PF⊥AB，AB⊥BC，∴四边形BEPF是矩形，∴FE＝BP，∴EF的最小值为BP的最小值为2，故答案为：2．【点拨】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，矩形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．25．【分析】解：由折叠知，又∵是的中点，∴，故点在以点为圆心长为半径的上，如解图，过点作于点，在菱形中，，，∴是等边三角形∵是的中点，∴点与点重合，∴，故点A'到距离的最小值为．26．（1）△ACF是等腰三角形，理由见分析；（2）10；（3）【分析】（1）根据折叠的性质可得：∠1=∠2，再由矩形的性质，可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，即可求解；（2）设FD=x，则AF=CF=8-x，再由勾股定理，可得DF=3，从而得到CF=5，即可求解；（3）连接PB，根据折叠的性质可得△ECP≌△BCP，从而得到PE=PB，进而得到当点F、P、B三点共线时，PE+PF最小，最小值为BF的长，再由勾股定理，即可求解．解：（1）△ACF是等腰三角形，理由如下：如图，由折叠可知，∠1=∠2，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AF=CF，∴△ACF是等腰三角形；（2）∵四边形ABCD是矩形且AB=8，BC=4，∴AD=BC=4，CD=AB=8，∠D=90°，设FD=x，则AF=CF=8-x，在Rt△AFD中，根据勾股定理得AD2+DF2=AF2，∴42+x2=（8-x）2，解得x=3   ，即DF=3，∴CF=8-3=5，∴；（3）如图，连接PB，根据折叠得：CE=CB，∠ECP=∠BCP，∵CP=CP，∴△ECP≌△BCP，∴PE=PB，∴PE+PF=PE+PB，∴当点F、P、B三点共线时，PE+PF最小，最小值为BF的长，由（2）知：CF=5，∵BC=4，∠BCF=90°，∴ ，即PE+PF最小值为 ．故答案为：【点拨】本题主要考查了矩形与折叠问题，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．27．(1)P（2，2）；(2)①不变，定值为4；②OA2+OB2的最小值为8．【分析】（1）根据在第一象限的角平分线OC上的点的横坐标与纵坐标相等，构建方程求出m即可．（2）①过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．证明四边形OMPN是正方形，再证明△PMB≌△PNA（ASA），推出BM=AN，可得结论；②根据垂线段最短原理以及勾股定理即可求解．(1)解：∵点P （3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，∴3m-1=-2m+4，∴m=1，∴P（2，2）；(2)①过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，∴四边形OMPN是矩形，∵OP平分∠MON，PM⊥OM，PN⊥ON，∴PM=PN，∴四边形OMPN是正方形，∵P（2，2），∴PM=PN=OM=ON=2，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠MPN=90°，∴∠MPB+∠BPN=∠BPN+∠NPA=90°，∴∠MPB=∠NPA，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA（ASA），∴BM=AN，∴OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4．②连接AB，∵∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2．∵∠BPA=90°，∴AB2=PA2+PB2=2PA2，∴OA2+OB2=2PA2，当PA最小时，OA2+OB2也最小．根据垂线段最短原理，PA最小值为2．∴OA2+OB2的最小值为8．【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．