广东省深圳市罗湖区布心中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份广东省深圳市罗湖区布心中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷，共16页。
A．3x2+5x﹣4＝0B．6x+10＝0
C．5x2+3y﹣2＝0D．
2．（3分）为了缅怀革命先烈，清明节假期强强从《八路军》、《淮海战役》、《长津湖》中随机选择两部电影观看，恰好选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，其中一根为x＝2，则另一根为（ ）
A．﹣4B．2C．1D．0
4．（3分）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD
5．（3分）已知方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，则（ ）
A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥
6．（3分）用配方法解方程x2+4x+2＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝2C．（x+2）2＝6D．（x﹣2）2＝6
7．（3分）根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（ ）
A．0.4＜x＜0.5B．0.5＜x＜0.6C．0.6＜x＜0.7D．0.7＜x＜0.8
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别是AB，AC上的一点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在A′处，若四边形ADA′E是菱形，则∠1的度数为（ ）
A．55°B．65°C．50°D．60°
9．（3分）某小区的快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．242（1﹣x）2＝200
B．200（1+x）2＝242
C．200（1+2x）＝242
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝242
10．（3分）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．则图2是下列哪个方程的几何解法（ ）
A．x2﹣3x﹣10＝0B．x2+2x﹣8＝0
C．x2﹣4x﹣5＝0D．x2+5x﹣6＝0
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为x＝1，则m的值为 ．
12．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若AC＝8，BD＝4，则菱形ABCD的面积为 ．
13．（3分）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
14．（3分）如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠BEC的度数是 度．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，CB上，且DE＝BF＝1，过点E作EG∥AF，过点F作FG∥AE，EG与FG交于点G，连接CG，则CG的长为 ．
三．解答题（共6小题，共55分）
16．（16分）解方程：
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）x2+2x＝5；
（3）（x+3）2＝2x+6；
（4）3x2﹣1＝﹣2x．
17．（6分）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
18．（8分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？
（2）若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？
19．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若AD＝5，∠AOD＝60°，求AB的长．
20．（8分）阅读材料后解答问题：
材料1：已知实数a、b满足a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，且a≠b，求的值．
解：依题意得：a与b为方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴a+b＝2，ab＝﹣1，∴＝＝＝﹣2．
材料2：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a＝0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1和x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）拓展提升：当x＝ 时，代数式﹣x2+3x+1有最 （填写大或小）值为 ．
21．（9分）小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是
（2）性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系： ．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CG，BE，GE，已知AC＝4，AB＝5．
①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
②求出四边形BCGE的面积．
2024-2025学年广东省深圳市罗湖区布心中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的这个常数是2的整式方程是一元二次方程．对每个方程进行分析，然后作出判断．
【解答】解：A：符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
B：是一元一次方程，不是一元二次方程；
C：含有两个未知数，不是一元二次方程；
D：含有两个未知数，不是一元二次方程．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，再作出准确的判断．
2．【分析】用A、B、C分别表示电影《八路军》、《淮海战役》、《长津湖》，画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：用A、B、C分别表示电影《八路军》、《淮海战役》、《长津湖》，
作树状图为：
从《八路军》、《淮海战役》、《长津湖》中随机选择两部电影观看，共有6种等可能的结果，其中选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的结果数为2种，
所以随机选择两部电影观看，恰好选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的概率＝．
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键要明确：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
3．【分析】设方程的另一根为a，则由根与系数的关系得出a+2＝2，再求出a即可．
【解答】解：设方程的另一根为a，
则由根与系数的关系得：a+2＝﹣2，
解得：a＝0，
即方程的另一根为0，
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系是解此题的关键，已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
4．【分析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
【解答】解：添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
5．【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：Δ＝1﹣4m＞0，
∴m＜，
故选：A．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
6．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2+4x+2＝0，
∴x2+4x＝﹣2，
∴x2+4x+4＝﹣2+4，即（x+2）2＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c＝0的解．
【解答】解：由表格可知：当x＝0.6时，ax2+bx+c＝﹣0.04，当x＝0.7时，ax2+bx+c＝0.19，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）一个解x的范围为0.6＜x＜0.7，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解，本题属于基础题型．
8．【分析】由四边形ADA′E是菱形，∠A＝50°，可得∠ADA'＝130°，根据△ADE沿直线DE折叠，点A落在A′处，即得∠ADE＝∠1＝∠ADA'＝65°．
【解答】解：∵四边形ADA′E是菱形，
∴AE∥A'D，
∴∠A+∠ADA'＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠ADA'＝130°，
∵△ADE沿直线DE折叠，点A落在A′处，
∴∠ADE＝∠1＝∠ADA'＝65°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形中的翻折变换，涉及菱形的性质及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．
9．【分析】利用第三天的揽件数量＝第一天的揽件数量×（1+该快递店揽件日平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得200（1+x）2＝242，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．【分析】根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得出答案．
【解答】解：中间小正方形边长为x﹣（x﹣3）＝3，其面积为9，
大正方形面积为（x+x﹣3）2＝4x（x﹣3）+9＝4×10+9＝49，边长为7，
∴图2是x（x﹣3）＝10，即x2﹣3x﹣10＝0的几何解法，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．【分析】把x＝1代入方程x2﹣2x+m＝0得1﹣2+m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+m＝0得1﹣2+m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．
【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝4，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×8×4＝16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的面积计算公式是解题的关键．
13．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，从而得到计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4，
若三角形第三边长为2，而2+3＝5，不符合三角形三边的关系舍去；
若三角形第三边长为3，而4+3＞5，符合三角形三边的关系舍去；
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长为3+4+5＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
14．【分析】根据正方形的性质，AC平分∠BAD，可得∠BAE＝45°，再根据AB＝AE，由等腰三角形的性质即可求出∠BEC的度数．
【解答】解：在正方形ABCD中，AC平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°
而AB＝AE
∴∠ABE＝∠AEB＝＝67.5°
又∵∠AEB+∠BEC＝180°
∴∠BEC＝180°﹣67.5°＝112.5°
故答案为112.5．
【点评】本题考查的是正方形的性质，每一条对角线平分一组对角，并利用等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
15．【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，由A（0，0），E（1，3）可得直线AE解析式为y＝3x，由A（0，0），F（3，1）可得直线AF解析式为y＝x，从而可得直线EG解析式为y＝x+，直线FG解析式为y＝3x﹣8，即可解出G（4，4），故CG＝＝．
【解答】解：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
根据题意知：F（3，1），C（3，3），E（1，3），
由A（0，0），E（1，3）可得直线AE解析式为y＝3x，
由A（0，0），F（3，1）可得直线AF解析式为y＝x，
∵EG∥AF，
∴设直线EG解析式为y＝x+b，
把E（1，3）代入得：3＝+b，
解得b＝，
∴直线EG解析式为y＝x+，
同理可得直线FG解析式为y＝3x﹣8，
解得，
∴G（4，4），
∴CG＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出点G的坐标．
三．解答题（共6小题，共55分）
16．【分析】（1）利用直接开方法求出x的值即可；
（2）利用配方法求出x的值即可；
（3）先移项，再利用因式分解法求出x的值；
（4）先移项，再利用公式法求出x的值．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
x1＝4，x2＝﹣2；
（2）x2+2x＝5，
x2+2x+1＝5+1，
（x+1）2＝6，
x+1＝±，
x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（3）（x+3）2＝2x+6，
（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
（x+3）（x+3﹣2）＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
x1＝﹣3，x2＝﹣1；
（4）3x2﹣1＝﹣2x，
3x2+2x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝22﹣4×3×（﹣1）＝4+12＝16，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝﹣1．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法，公式法，配方法及直接开方法是解题的关键．
17．【分析】（1）由概率公式可得答案；
（2）列表求出所有可能的情况，再用概率公式求出两人获胜的概率，比较即可得到答案．
【解答】解：（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到1，2，3的三张纸牌的可能性相同，
∴摸到“1”的概率是；
故答案为：；
（2）游戏公平，理由如下：
根据题意列表如下：
由表可知：共有9种等可能的情况数，其中两次摸到的数字之和大于4的有3种，两次摸到的数字之和小于4的有3种，
∴小明获胜的概率是＝，小红获胜的概率为＝，
∴两人获胜的概率相等，
∴游戏公平．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．【分析】（1）利用平均每天的销售数量＝20+2×销售单价降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，利用该商店每天销售该种商品的利润＝每件的销售利润×平均每天的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可确定x的值．
【解答】解：（1）20+2×5＝30（件）．
答：平均每天销售数量为30件．
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝10时，40﹣x＝30（元），30＞25，符合题意；
当x＝20时，40﹣x＝20（元），20＜25，不符合题意，舍去．
答：每件商品可降价10元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
19．【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，得出AC＝2AO，BD＝2OD，再证AC＝BD，然后由矩形的判定即可得出结论．
（2）由矩形的性质得∠BAD＝90°，再证△AOD是等边三角形，得OD＝AD＝5，则BD＝2OD＝10，然后由勾股定理求出AB的长即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵OA＝OD，∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝AD＝5，
∴BD＝2OD＝10，
∴AB＝＝＝5，
即AB的长为5．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
20．【分析】（1）依据题意，由一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，从而可得x1+x2＝﹣＝3，x1x2＝＝1，进而可以得解；
（2）依据题意，由一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m，n，从而m+n＝3，mn＝﹣1，进而代入计算可以得解；
（3）依据题意得，﹣x2+3x+1＝﹣（x﹣）2+，结合（x﹣）2≥0，从而﹣（x﹣）2≤0，则﹣x2+3x+1＝﹣（x﹣）2+≤，进而可得当x＝时，代数式﹣x2+3x+1有最大值为，进而可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝3，x1x2＝＝1．
故答案为：3；﹣1．
（2）由题意，∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝3，mn＝﹣1，
∴+＝＝＝＝﹣11．
（3）由题意得，﹣x2+3x+1＝﹣（x﹣）2+．
又∵（x﹣）2≥0，
∴﹣（x﹣）2≤0．
∴﹣x2+3x+1＝﹣（x﹣）2+≤．
∴当x＝时，代数式﹣x2+3x+1有最大值为．
答案为：，大，．
【点评】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、分式的化简求值、根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
21．【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
（2）四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积＝AC•BO+AC•DO＝AC•BD；
（3）①连接CG、BE，证出∠GAB＝∠CAE，由SAS证明△GAB≌△CAE，得出BG＝CE，∠ABG＝∠AEC，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出∠BNM＝90°，得出BG⊥CE即可；
②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【解答】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形；
故答案为：菱形、正方形；
（2）解：如图1所示：
∵四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积＝AC•BO+AC•DO＝AC（BO+DO）＝AC•BD；
故答案为： AC•BD；
（3）①证明：连接CG、BE，AB、CE相交于点M，如图2所示：
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴∠F＝∠CAG＝∠BAE＝90°，FG＝AG＝AC＝CF，AB＝AE，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴BG＝CE，∠ABG＝∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME＝90°，∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
∴∠BNM＝90°，
∴BG⊥CE，
∴四边形BCGE为垂美四边形；
②解：∵FG＝CF＝AC＝4，∠ACB＝90°，AB＝5，
∴BC＝＝3，
∴BF＝BC+CF＝7，
在Rt△BFG中，BG＝＝＝，
∴CE＝BG＝，
∵四边形BCGE为垂美四边形，
∴四边形BCGE的面积＝BG•CE＝．
【点评】本题是四边形综合题目，考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
x
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
ax2+bx+c
﹣0.44
﹣0.25
﹣0.04
0.19
0.44
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
D
A
A
C
B
B
A
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6