专题22 平面向量 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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一、向量的基本概念
1、向量概念
既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中A为起点，B为终点）.
注：谈到向量必须说明其方向与大小.
向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作或.
2、零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量
零向量：长度为零的向量，记为，其方向是不确定的.
单位向量：模为1个单位长度的向量.当时，向量是与向量共线（平行）的单位向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为.
平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.
规定零向量与任何向量平行（共线），即.
注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中平行不可以重合；③， ，不一定有，因为可能为.
二、向量的线性运算
1、向量的加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量，，在平面内任取一点A，作，，则向量叫做向量与的和（或和向量），即.

向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图所示，向量=.
2、向量的减法
（1）相反向量.
与长度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，记作.
（2）向量的减法.
向量与的相反向量的和叫做向量与的差或差向量，即=.
向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图所示，，则向量.
3、向量的数乘
（1）实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，它的长度和方向规定如下：
①
②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ