专题23 平面向量基本定理及坐标表示4题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
5.已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
一、单选题
1．（2024·北京）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
2．（2024高三上·天津武清·阶段练习）在中，，E是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ）
A．10B．4C．7D．13
【答案】D
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，，
，
当且仅当，即时取等.
故选：D.
3．（2024·四川成都·一模）已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
设，设，，利用向量的基本定理可得，求得，从而问题可解.
【详解】
设，则，，
设，，
则，，
因为，
所以，解得，
所以，即.
故选：C.
4．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）在中，点满足，点满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用、作为一组基底表示出、，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为点满足，所以为的中点，
所以，又，
所以，
所以，又，
因为，所以，
即，
所以，解得，所以.
故选：C
5．（2024·全国·模拟预测）在中，点D是线段AB上靠近B的四等分点，点E是线段CD上靠近D的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；
方法二：设是等腰直角三角形，且，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，从而得到方程组，求出答案.
【详解】方法一：如图，由题意得，，
故
；
方法二：不妨设是等腰直角三角形，且，
以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
则，
设，
故，
所以，解得，
故．
故选：C．
6．（2024高二上·甘肃兰州·学业考试）已知向量，，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】计算，再计算模长即可.
【详解】由题意知，
所以，
故选：D．
7．（2024·广东·模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用坐标法，建立如图所示的平面直角坐标系，表示出各点坐标利用坐标运算结合平面向量基本定理即得.
【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.

不妨设，则，，，，，
故，，.
设，则，
解得，
所以.
故选：B.
8．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案.
【详解】若，则，即，故，充分性成立，
不妨设，此时，但不满足，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
9．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】C
【分析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得．
【详解】由得，即，，
，
，
，
与同向的单位向量为，反向的单位向量为．
故选：C．
10．（2024高三上·四川·开学考试）设向量，，则“与同向”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面平行向量的坐标表示求出的值，验证同向与反向即可.
【详解】，
当时，，同向；
当时，，反向.
故选：A．
11．（2024·全国·模拟预测）在菱形中，，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的四等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系后计算即可得.
【详解】作出图形如图所示.记线段交于点，
分别以所在直线为，轴建立平面直角坐标系.
设，则，，
故，，设，
则，解得.
故选：C.

12．（2024高三上·河南·专题练习）如图，在正八边形中，，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出向量的坐标运算得解.
【详解】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图.设正八边形的边长为1，
可得，，，，
所以，，.
因为，所以，
所以，解得，则.
故选：D.
13．（2024·陕西西安·一模）已知向量，，若不超过3，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的坐标表示和几何意义可得，解之即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，得，
即，解得，
即实数m的取值范围为.
故选：B
14．（2024高三上·河北保定·期末）已知向量，，，若正实数，满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用向量线性运算的坐标表示求得，从而得解..
【详解】
因为，，，
所以，
所以，解得，
所以.
故选：A.
15．（湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性检测数学试题）已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据平面向量共线的基本定理可得关于实数的等式，解之即可.
【详解】因为与共线，则存在，使得，即，
因为向量、不共线，则，整理可得，即，
解得或.
故选：C.
16．（2024·陕西宝鸡·一模）设向量，，若向量与共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量共线的坐标运算求出的值，再由向量线性运算的坐标表示求.
【详解】向量，，则，
若向量与共线，有，解得，则，
所以.
故选：A.
17．（2024·山东青岛·一模）已知向量＝（－1，2），＝（3，m），m∈R，则“m＝－6”是“∥”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由平面向量线性运算及共线的的坐标表示运算可得解.
【详解】由题意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6.
当m＝－6时，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，
则“m＝－6”是“”的充要条件.
故选：A.
18．（2024高三上·安徽池州·期末）已知向量，若，则下列关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标关系可直接求得答案.
【详解】，
由可得，，整理得．
故选：D.
19．（2024高三上·江苏常州·期末）已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，则，求出，利用同角三角函数关系得到，，求出答案.
【详解】令，则，
，解得，
即，又，
又，解得，，
，即，
所以.
故选：B．
20．（2024高三上·北京朝阳·期末）在中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得.
【详解】如下图所示：
在直线上取一点，使得，
所以，当时，取得最小值为，即；
又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形，
建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：
又可得为的中点，
由以及可得在上，
可得，
所以，可得，
则，
令，由可得，
所以，，
由二次函数在上单调递增可得，.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果.
21．（2024·湖南邵阳·一模）如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出，进而求出的值.
【详解】
，
所以，所以，
所以，
.
故选：D.
22．（湖南省益阳市2023-2024学年高三上学期期末数学试题）如图所示的矩形中，满足，为的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】将作为基底，根据平面向量基本定理结合已知条件把用表示，从而可求出的值.
【详解】连接，
由题可知，
又因为为的中点，所以，
所以，
所以，所以.
故选：A.
23．（2024·河南·模拟预测）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理，用表示即可得答案.
【详解】解：如图，因为点为的中点，，
所以，，
，
所以，即，解得
所以，的值为.
故选：B
24．（2024·全国）已知向量，则
A．B．2
C．5D．50
【答案】A
【分析】本题先计算，再根据模的概念求出．
【详解】由已知，，
所以，
故选A
【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．
25．（2024高三上·全国·竞赛）平面向量，则（ ）
A．3B．5C．7D．11
【答案】B
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及模的坐标表示即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B
26．（2024高二上·安徽·期中）如图，在长方形 中，，点 P 满足，其中，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到，，从而求出，求出最值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
因为，所以，即，
故，，
则，
则，
因为，所以，，
故.
故选：B
27．（2024高三上·河南南阳·期末）下列向量中，与向量共线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据共线向量定理的坐标运算得到，验证即可.
【详解】与向量共线的向量需满足.
故选：C
28．（2024高三上·河北保定·期末）已知命题，，与共线，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据平面向量共线的坐标表示，结合必要条件与充分条件的定义，可得答案.
【详解】充分性：由与共线，则，解得或0，p是q的不充分条件；
必要性：当，时，由，则与共线，p是q的必要条件.
故选：B.
29．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三点共线的向量关系式即可求解.
【详解】因为A，B，C三点共线，
则，，
即，
则，解得.
故选：C
30．（2024·四川巴中·一模）已知向量，若三点共线，则实数（）
A．B．C．4D．5
【答案】A
【分析】先求，然后向量共线的坐标表示可得.
【详解】因为，
所以，
.
又三点共线，所以向量与向量共线，所以，解得.
故选：A
31．（2024·广西·模拟预测）已知和是两个正交单位向量，，且，则（ ）
A．2或3B．2或4C．3或5D．3或4
【答案】B
【分析】根据题意得到，，求得，集合向量模的计算公式，列出方程，即可求解.
【详解】因为和是正交单位向量，，，
可得，所以，解得或.
故选：B．
32．（2024高二上·江苏南京·期末）已知的顶点在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出三点的坐标，由抛物线定义求出，，再根据坐标化即可求解.
【详解】解析：由题意知，，设，
由抛物线定义可得，，，
所以，
因为，所以，
则，所以．
故选：C．
33．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知，，是直线上不同的三点，点在外，若，则（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量基本定理解题即可.
【详解】由已知得，
故，
易知，，是直线上不同的三点，故，，三点共线，
必有，解得，
故选：A
34．（2024高一下·江西九江·期末）已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到与不共线，从而列出不等式，求出答案.
【详解】若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，
∵，，，
∴，，
∴，解得.
故选：B．
35．（2024高三上·北京大兴·期末）设向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的数乘公式和模的公式代入即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以.
故选：D
36．（2024高三上·山东威海·期末）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量平行坐标表示求出，再应用模长公式求解即可.
【详解】向量，，，
.
故选：B.
37．（2024高三上·北京·期中）已知向量，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面共线向量的坐标表示可得，结合二倍角的正切公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，得，
所以.
故选：A.
38．（2024高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量共线的坐标运算，求得参数，再结合向量线性运算的坐标运算求模长即可.
【详解】根据题意可得：，解得或；
当时，与共线同向，故舍去；
当时，，，
.
故选：C.
39．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知向量 ，若与共线且同向，则实数λ的值为（ ）
A．2B．4C．D．或4
【答案】C
【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数的值并检验即可得解.
【详解】因为，，且与共线且同向，
所以，解得或，
当时，，则，满足题意；
当时，，则，不满足题意；
综上，.
故选：C．
40．（2024高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
判断两个向量是否共线即可确定两个向量是否能作为一组基底.
【详解】对于A，假设共线，则存在，使得，
因为不共线，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；
对于B，假设共线，则存在，使得，
即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；
对于C，因为，所以两向量共线，
不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设共线，则存在，
使得，
即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底，
故选:C.
41．（2024·河北沧州·模拟预测）在中，点为与的交点，，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量基本定理得到，，从而列出方程组，求出，得到，求出答案.
【详解】因为，所以为中点，
三点共线，故可设，即，
整理得，
因为，所以，即，
三点共线，
可得，
所以，解得，
可得，则，.
故选：B
42．（2024·全国·模拟预测）如图，在中，，，其中，，若AM与BN相交于点Q，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设条件运用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理，将由，线性表示，再由Q，M，A三点共线得到关于，的关系式，从而确定正确选项．
【详解】由题意得，
因为Q，M，A三点共线，由三点共线可得向量的线性表示中的系数之和为1，
所以，
化简整理得．
故选：C．
43．（2024·广东汕头·三模）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设，，F是DE的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的运算，利用基底向量表示即可.
【详解】因为点D、E分别AC、BC的中点，F是DE的中点，
所以 .
即.
故选：C.
44．（2024·山西大同·模拟预测）在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据图象及其性质，即可得出，，进而根据，即可求出的值，即可得出答案.
【详解】
因为是的中点，所以，.
又因为是的中点，
所以，，
又，所以，，所以．
故选：A．
45．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平行四边形中，M，N分别为，上的点，且，，连接，交于P点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取为平面的基底，根据给定条件，结合平面向量基本定理求出作答.
【详解】在中，取为平面的基底，
由，得，
由，得，
由，知，
由，得，
因此，则，解得，
所以.
故选：C
46．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在四边形中，,，点在线段上，且，设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，利用表示，根据即可求解.
【详解】在梯形中，，且，则，
因为在线段上，且，则，
，
所以.
故选:D.
47．（2024·安徽·二模）如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】确定，，相加整理得到答案.
【详解】，则①；
，则②；
①②两式相加，，即，
故选：C.
48．（2024·全国·模拟预测）如图，平行四边形中，与相交于点，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，得到为的中点，化简得到，得到，结合，求得的值，即可求解.
【详解】因为平行四边形中，与相交于点，可得为的中点，
由，可得为的中点，所以，
可得，
又由，所以，所以.
故选：B．
49．（2024高三·全国·对口高考）已知向量．若实数k与向量满足，则可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，先求出的坐标，利用建立方程组，找出的关系来判断选项即可.
【详解】设，
因为向量，
所以，
又，
所以，
时不成立，所以，
所以，
选项A，不满足，
选项B，不满足，
选项C，不满足，
选项D，满足，
故选：D.
50．（2024·河北·模拟预测）在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法列关于的方程，解之即可求得的值.
【详解】在正六边形ABCDEF中，以A为原点，
分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，
不妨令，则，
,
由，可得，解之得
故选：B
51．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图，在四边形ABCD中，，，，，，，则（ ）

A．B．2C．3D．6
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，根据，结合向量的坐标运算，即可求得答案.
【详解】以A为坐标原点，以为x轴，过点A作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

则,
故,
则由可得，
即，
故，
故选：A
52．（2024高一下·广东梅州·期末）已知，且三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的共线定理的坐标运算即可求解.
【详解】由，得,
因为三点共线，所以，即，解得.
所以.
故选：A.
二、多选题
53．（2024高三上·黑龙江牡丹江·期末）已知向量，则（ ）
A．B．
C．可以作为平面向量的一个基底D．
【答案】BC
【分析】根据向量的模公式计算可判断A；由向量坐标运算可判断B；由向量共线的坐标表示可判断C；先求坐标，再由向量共线的坐标表示可判断D.
【详解】选项A，，即，A错误；
选项B，，B正确；
选项C，，即不共线，即可以作为平面向量的一个基底，C正确；
选项D，，由，即与不共线，D错误．
故选：BC
54．（2024高一下·福建福州·期中）已知向量不共线，且，其中，若三点共线，则角的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】三点共线即向量共线，由向量共线的坐标运算求得值再判断．
【详解】三点共线，即共线，所以存在实数使得，
即，
又不共线，所以，，又，所以或．
故选：CD．
55．（2024高三下·山东济宁·开学考试）已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能.
【详解】因为，，可得，
又因为点是线段的三等分点，则或，
所以或，
即点的坐标为或.
故选：AC.
56．（2024高三上·山东青岛·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，，，点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点，则（ ）
A．B．
C．的坐标为D．的坐标为
【答案】ACD
【分析】由题意表示出，结合题设可求得，即得，，判断；根据题中定义求得坐标，可得点坐标，判断D；再求得，求得其模，判断A.
【详解】由题意可知点，点，故，
因为，故 ，
又，即，故，
所以，，故B错误，C正确；
因为点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点，
所以，
则由,可得点坐标为，故D正确；
故，则，A正确，
故选：ACD
57．（2024·江苏·一模）已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出，，三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.
【详解】设，，
，，
，，
对于A，，故选项A正确；
对于B， ，，故选项B正确；
对于C，，
当时，，故选项C错误；
对于D， ，
可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项D错误.
故选:AB.
三、填空题
58．（2024高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知平面向量满足：，，，设向量（为实数），则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】以为坐标原点，建立坐标系，设，，为线段上一点，则，得到点在以为圆心的圆上，所以，得到，根据圆的性质，即可求解.
【详解】如图所示，以为坐标原点，边长为2的正方形的，所在直线为轴和轴，建立坐标系，
设，，为线段上一点，则，
因为，所以以为圆心，为半径画圆，点为圆上一点，
设，，，所以，
所以，，所以，所以，
可得直线表示斜率为，纵截距为的直线，
当圆心为点时，与相切且点在轴的下方时，
可得圆的方程为，可得切线坐标为，
此时，取得最小值；
当圆心为点时，经过圆心时，圆的方程为，
当点时，此时，取得最大值，
所以的取值范围为．
故答案为：．

59．（2024高三下·安徽·阶段练习）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设，,又，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可.
【详解】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设，
又，
则，
，即
，
解得，
,
因为，则，
所以当时，取得最大值1，
则的最大值为.
故答案为：.
60．（2024高一下·山东菏泽·阶段练习）如图所示，向量与的夹角为，向量与的夹角为，，，若，（，），则 ．

【答案】/
【分析】建立直角坐标系，结合三角函数定义，利用向量坐标运算求解即可.
【详解】以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，垂直于OB且向上的方向为y轴建立平面直角坐标系，
则．设，，
于是，，
且，．
由，得，
∴解得∴．
故答案为：.

61．（2024高三上·湖南永州·阶段练习）已知平面向量，，且，则 ．
【答案】1
【分析】根据向量的坐标运算结合模长的坐标公式求解.
【详解】由题意可得：，
因为，则，解得.
故答案为：1.
62．（2024高三·全国·专题练习）向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 .

【答案】4
【分析】首先以向量和的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1，再利用平面向量坐标运算求解即可.
【详解】以向量和的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，

则，
所以.
因为，所以.
所以.
所以.
故答案为：4
63．（2024·广东深圳·一模）设点，若动点满足，且，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】设，根据向量的坐标表示和模的概念可得，由题意和相等向量可得，进而，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】设，则，
由，得，
整理，得，
又，
代入，
有，所以，
由，得，当且仅当时等号成立，
所以，得，
所以.
即的最大值为.
故答案为：
64．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，，若向量与平行，则 ．
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算及向量平行求解即可.
【详解】由题意可知，，
又与平行，所以，解得.
故答案为：.
65．（2024·广西南宁·一模）已知向量．若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算和向量共线的坐标形式得到方程，解出即可.
【详解】因为，所以.
又，所以，解得.
故答案为：.
66．（2024·全国）已知向量，，．若，则 ．
【答案】
【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】由题可得

,即
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
67．（2024高二上·上海长宁·期末）如图，已知平面内有三个向量，，，其中与和的夹角分别为和，且，，若，则 ．
【答案】8
【分析】过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于两点，得到四边形平行四边形，结合平面向量的基本定理，即可求解。
【详解】如图所示，过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于两点，
所以四边形平行四边形，则，
因为向量与和的夹角分别为和，
即,则,
在直角中，，，所以，
在直角中，，，所以，
又由，可得，
又因为，所以，
所以．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性运算和向量的运算法则的应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理利用平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力．
68．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，且，则实数 ．
【答案】±1
【分析】利用向量的坐标运算、向量的模长公式求解即可．
【详解】由题意，得，所以，解得．
故答案为：±1.
69．（2024·甘肃定西·模拟预测）已知向量，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据向量的共线和向量乘法的坐标计算公式即可求解.
【详解】设，
因为向量，且与的夹角为钝角，
所以，所以，
不妨令，则，故，
故答案为：（答案不唯一）.
70．（2024·湖北武汉·三模）已知向量，，向量，，若，则实数 .
【答案】
【分析】根据题意可知，不共线，若，则，使得，代入结合向量相等运算．
【详解】根据题意可知，不共线
若，则，使得，即
则可得，解得
故答案为：．
71．（2024·北京·模拟预测）已知向量，若，则实数 .
【答案】
【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式即可求出结果.
【详解】因为向量且，
所以,解得，
故答案为：
72．（2024·上海普陀·模拟预测）已知，，若与互相平行，则实数的值是 ．
【答案】
【分析】由向量共线的坐标公式，列出方程求解即可．
【详解】因为，
所以，解得，
故答案为：．
四、解答题
73．（2024高三上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在中，分别是边上的动点.

(1)证明：；
(2)当分别是边的中点时，用表示.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用向量共线的充要条件和向量的加法运算法则即可求证；
（2）综合运用平面向量基本定理和向量的线性运算法则即可解答.
【详解】（1）因为分别是边上的动点，
所以存在 使，
所以.
令，则，因为，所以，
所以.
（2）因为分别是边的中点，
所以，又，所以，
所以，所以，即，
所以.
故.
74．（2024高一·湖南·课后作业）在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，，，分别计算出它们的坐标．
【答案】，，．
【分析】根据向量坐标的定义，以及向量的模和三角函数，即可求解向量的坐标.
【详解】设，，，
则，，
，，
，，
因此，，．
75．（2002·北京）已知是的三个顶点．
(1)写出的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G,F,H三点共线;
(2)当直线与平行时,求顶点C的轨迹．
【答案】(1),证明见解析
(2)
【分析】(1)根据三个点的坐标,以及各个心所满足的条件设点列方程求出坐标即可;
(2)由(1)得两点坐标,根据平行列出方程,然后配方化简,判断方程类型即可.
【详解】（1）解:由题知,
重心坐标为,
不妨设
即
,
,
不妨设
即
,
,
,
故G,F,H三点共线;
（2）由(1)知,
与平行,
,
,
记,,
配方得,
所以顶点C的轨迹是以为中心点,1为短轴长,为长轴长且去掉四个顶点的椭圆.
76．（2024高三上·西藏拉萨·期中）设两个非零向量与不共线．
(1)若，，，判断A，B，D三点是否共线？
(2)试确定实数，使和同向．
【答案】(1)A，B，D三点共线
(2)
【分析】（1）由题意化简得到，得到共线，进而得到三点共线.
又由有公共点，所以三点共线．
（2）由和同向，存在实数，使，得出方程组，即可求得的值.
【详解】（1）解：由题意，向量，，，
可得，
所以共线，
又由有公共点，所以三点共线．
（2）解：因为向量和同向，
所以存在实数，使，
即，所以 ，
又由是不共线的两个非零向量，可得，解得或，
又因为，所以．
77．（广西河池市八校2023-2024学年高一下学期第一次联考（4月）数学试题）已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三点共线，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出，的坐标，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】（1）因为，，所以，
因为，所以，解得.
（2）因为，，
因为，，三点共线，所以，所以，解得，
故的值为．
78．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，，.
（1）求椭圆的方程.
（2）过的直线与椭圆交于，两点（均不与，重合），直线与直线交于点，证明：，，三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由题设，可直接求出a、c，进而写出椭圆方程.
（2）设为，，，联立椭圆方程，应用韦达定理可得，，又为求G点坐标，根据向量共线的判定，即可证结论.
【详解】（1）由，即，又，即.
∴，故椭圆的方程为.
（2）证明：可设直线的方程为，，，
联立方程，得且，
∴，，而直线的方程为，
∴令，得，则有，，
又∵，
∴，而，
∴，，三点共线.
【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程，联立椭圆方程应用韦达定理求，，结合向量共线的判定证明三点共线.
（一）
平面向量基本定理的应用
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
题型1：平面向量基本定理的应用
1-1．（2024高一下·重庆北碚·阶段练习）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【分析】根据基底的知识确定正确答案.
【详解】依题意，不共线，
A选项，不存在使，
所以和可以组成基底.
B选项，不存在使，
所以和可以组成基底.
C选项，，
所以和不能构成基底.
D选项，不存在使，
所以和可以组成基底.
故选：C
1-2．（2024高三·全国·专题练习）设向量是平面内一个基底，且，则向量可以用另一个基底表示，即 .
【答案】
【分析】设，将代入，利用向量基本定理，得出的关系式，求解，即可得出结论.
【详解】设，因为，
所以，因为不共线，
所以，解得，，
故答案为：.
1-3．（2024高三上·陕西西安·期末）在中，在上，且，在上，且.若，则 .
【答案】/
【分析】根据已知条件先确定，，再根据平面向量基本定理，把向量与向量作为一组基底表示出向量即可.
【详解】因为，所以，因为，所以，
因为，
所以，则，
因为，所以，则.
故答案为：
1-4．（2024·湖南·模拟预测）在中，，点满足，若，则的值为 .
【答案】
【分析】根据向量的加减运算即可得出答案.
【详解】由题意可得：
.
所以.
故答案为：.
1-5．（2024高三下·河南·开学考试）已知分别为平行四边形的边的中点，若点满足，则 .
【答案】
【分析】根据题意，结合平面向量的运算，由条件可得，即可得到结果.
【详解】因为，则，
所以，又，
则，
，
所以.
故答案为：
1-6．（2024·天津红桥·一模）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据向量的加减运算，以为基底，表示出，和已知等式比较，即可得的值，求得的值；结合已知用表示，结合三点共线可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】在中，，，则，
故
，
故；
又，而，，
所以，则，
又三点共线，所以，结合已知可知，
故，
当且仅当，结合，即时，取等号；
即的最小值为，
故答案为：；
【点睛】结论点睛：若，则三点共线.
1-7．（2024高三上·陕西西安·期末）在中，在上，且在上，且．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的基本定理和平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】因为，
所以，则．
因为，所以，则．
故选：C
（二）
平面向量的坐标运算
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．
题型2：平面向量的坐标运算
2-1．（2024高三·全国·对口高考）为平行四边形的对角线，，则 ．
【答案】
【分析】画图，根据平行四边形的性质及向量加法法则运算即可.
【详解】
如图在平行四边形中，
，
在中，，
所以，
故答案为：.
2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，，且，则 .
【答案】
【分析】根据向量的坐标线性运算即可求解.
【详解】，
由可知 解得故．
故答案为：
2-3．（2024高三·全国·对口高考）已知点，若与的夹角是，，则点B坐标为 ．
【答案】
【分析】由向量与的夹角是，知向量与方向相反，设，则，，则， ，解得，得到答案.
【详解】由向量与的夹角是，
所以向量与方向相反，
设，则，，
则，
故，
所以，
故，由，
所以，故.
故答案为：.
2-4．（2024高一下·全国·课后作业）已知，，且，则点M的坐标为 .
【答案】
【分析】设出点M的坐标，将各个点坐标代入中，计算结果.
【详解】解：由题意得，所以.
设，则，
所以，解得 ，
故点M的坐标为.
故答案为：
（三）
向量共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
题型3：利用向量共线求参数
3-1．（2024·江西上饶·一模）已知向量，，若三点共线，则 .
【答案】
【分析】由三点共线得向量共线，然后利用向量共线的坐标运算得答案．
【详解】三点共线，
与共线，
，解得．
故答案为：．
3-2．（2024高三上·上海黄浦·开学考试）若三点不能构成三角形，则 .
【答案】
【分析】三点不能构成三角形转化为三点共线，利用向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】当三点共线，即时，三点不能构成三角形.
由已知得，
，
由得，，解得.
故答案为：.
3-3．（2024·湖南长沙·二模）已知向量，若B，C，D三点共线，则 .
【答案】
【分析】根据三点共线得出向量共线，从而得到，然后根据诱导公式求的值.
【详解】因为，
所以，
，
因为B，C，D三点共线，
所以，即，
所以.
故答案为：.
3-4．（2024高三下·全国·开学考试）已知向量，若，则实数a＝ .
【答案】
【详解】，由，得，解得.
3-5．（2024高一下·山西运城·期中）已知向量，若，则 ．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
3-6．（2024高三·全国·对口高考）已知向量．若与共线，则实数 ．
【答案】
【分析】求得的坐标，根据向量共线的坐标表示，列式即可求得答案.
【详解】由题意知向量，
故，
由于与共线，故，
故答案为：
3-7．（2024高三上·天津河北·期中）设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 .
【答案】 2
【分析】由题意求得，根据三点共线可得向量共线，利用向量共线的条件可得的值，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由，，可得，
由于，，三点共线，故共线，
所以，即，
则，
当且仅当，结合，即时取等号，
故答案为：2；
题型4：利用向量共线求向量或点的坐标
4-1．（2024高三上·福建厦门·开学考试）写出一个与向量共线的向量 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据共线向量定理求解即可
【详解】与向量共线的向量为.
取，可得出一个与向量共线的向量为
（答案不唯一，满足即可）.
故答案为：（答案不唯一）
4-2．（2024高三·全国·专题练习）在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】将相交条件转化为向量共线建立点坐标满足的方程组，求解即可.
【详解】因为点，，
所以，.
设，则，而，
因为三点共线，所以与共线，
所以，即.
而， ，
因为三点共线，所以与共线，
所以，即.
由，得，
所以点M的坐标为.
故答案为：.
4-3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】解设点坐标，根据已知得出，利用直线方程，解设点坐标，再根据，得出答案即可.
【详解】由题知，，设，
，，，，
，，
，，则直线方程为，
设点坐标为，，
，，
求解可得，，，即点坐标为.
故答案为：
4-4．（2024高三·全国·专题练习）已知点 ，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 .
【答案】(3,3)
【分析】法一：利用向量的共线可设，表示出的坐标，根据向量共线列出方程，即可求得答案；
法二：设点P(x,y)，进而表示出相关向量的坐标，根据向量共线，列出方程，求得答案.
【详解】法一:由O，P，B三点共线，可设,
则,
又，
由共线，得，
解得 ，所以,
所以点P的坐标为(3,3),
故答案为：
法二:设点P(x,y)，则 ，因为，且 与共线，
所以 ，即x=y.
又 ， ，且共线，
所以 ，解得x=y=3，
所以点P的坐标为(3,3)，
故答案为：