专题13 导数的应用--函数的极值问题5题型分类练习-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

这是一份专题13 导数的应用--函数的极值问题5题型分类练习-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测，文件包含专题13导数的应用--函数的极值问题5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测原卷版docx、专题13导数的应用--函数的极值问题5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共93页， 欢迎下载使用。

1、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
一、单选题
1．（2024·全国）若是函数的极值点，则的极小值为．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
2．（2024高二下·安徽亳州·期末）设函数一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是将的图象关于y轴对称，所以是其极大值点,错误；对于C中的是将的图象关x轴对称，所以才是其极小值点，错误；而对于D中的是将的图象关原点对称，故是其极小值点，正确.
故选D.
3．（2024高三上·全国·单元测试）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
4．（2024高三·全国·课后作业）已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0)B．C．(0,1)D．(0，＋∞)
【答案】B
【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，）．
故选B．
5．（2024·吉林通化·模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（ ）
A．有极大值，无最小值B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值D．无极大值，无最大值
【答案】D
【分析】利用导函数研究单调性，结合区间最值求得，进而判断在上的单调性，即可得答案.
【详解】由，则时，时，
所以在上递增，上递减，
而，在上的最大值为k，
所以，即，此时在上递减，且无极大值和最大值.
故选：D
6．（2024高二下·河北秦皇岛·期末）已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则极值点的个数为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据函数图象得到的取值情况，即可得到的单调性，即可得到极值点数.
【详解】由图可知，当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减.
所以在处取得极小值，在处取得极大值，
故极值点的个数为.
故选：B
7．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．是函数的极小值点
B．是函数的极大值点
C．函数在上单调递增
D．函数在处的切线斜率小于零
【答案】C
【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.
【详解】由图象得时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，
故是函数的极小值点，即选项A、B错误，C正确；
对选项D：显然，故D错误.
故选：C．
8．（2024·陕西）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是
A．是的零点B．1是的极值点
C．3是的极值D．点在曲线上
【答案】A
【详解】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．
【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．
9．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数，则的极小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用导数求出函数极小值作答.
【详解】函数的定义域为，
求导得，
，，则由，得或，由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，取得极小值，
所以函数的极小值为.
故选：A
10．（2024高三·全国·专题练习）函数的大致图像如图所示，，是函数的两个极值点，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求得，将已知条件，是函数的两个极值点转化为，是的两个根，再根据韦达定理求解即可．
【详解】因为函数的图像过原点，所以．
又，即，解得，
所以，则，
又，是函数的两个极值点，
所以，是的两个根，
所以，，
所以．
故选：C．
11．（2024高二下·吉林长春·阶段练习）已知实数成等比数列，且曲线的极大值点为，极大值为，则等于（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据实数成等比数列，可得．利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出结论．
【详解】因为实数成等比数列，所以，
由，得，
令，解得，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递减；函数在上单调递增；函数在上单调递减．
所以时，函数取得极小值，时，函数取得极大值．
因为曲线的极大值点为，极大值为，
所以，，即．
所以，所以，
故选：A．
12．（2024高二下·新疆昌吉·期末）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①x=-2是函数的极值点；
②x=1是函数的极值点；
③的图象在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增．
则正确命题的序号是（ ）
A．①②B．②④C．②③D．①④
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出判断.
【详解】对于①，根据导函数图像可知，-2是导函数的零点，且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，故①正确；
对于②，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致，故②错误；
对于③，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，故③错误；
对于④，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，故④正确.
故选：D
【点睛】根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号.
13．（2024高二下·全国·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点B．是的极小值点
C．在区间上单调递减D．曲线在处的切线斜率小于零
【答案】D
【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC选项，根据导数的定义和几何意义即判断D选项，从而得出答案.
【详解】由图像知，当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，
是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误；
又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确.
故选：D.
14．（2024高三上·湖北武汉·阶段练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（ ）个单调区间.
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.
【详解】若函数存在一个极大值与一个极小值，则至少有3个单调区间，
若有3个单调区间，
不妨设的定义域为，若，其中可以为，可以为，
则在上单调递增，在上单调递减，（若定义域为内不连续不影响总体单调性），
故，不合题意，
若，则在上单调递减，在上单调递增，有，不合题意；
若有4个单调区间，
例如的定义域为，则，
令，解得或，
则在上单调递增，在上单调递减，
故函数存在一个极大值与一个极小值，且，满足题意，此时有4个单调区间，
综上所述：至少有4个单调区间.
故选：B.
15．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【答案】C
【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.
【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，
又a1，则当时，；
当时，.
所以在x=1处取得极小值.
若，则当时，，
所以.
所以1不是的极小值点.
综上可知，a的取值范围是.
方法二：.
（1）当a=0时，令得x=1.
随x的变化情况如下表：
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令得.
①当，即a=1时，，
∴在上单调递增，
∴无极值，不合题意.
②当，即01满足题意.
（3）当a，则当x∈(，2)时，f ′(x)0．
所以f (x)0，当x0