湖南省岳阳市临湘市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份湖南省岳阳市临湘市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合求解和,求解
【详解】根据题意,，
则.
故选：B
2. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的乘方计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：A
3. 设，若向量，，满足，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的基本概念，向量的共线定理，以及向量的数量积的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】由向量，满足，，且，，
对于A中，若，则，又，
若均为非零向量，则，显然与矛盾，所以A不正确；
对于B中，若，则存在实数使，可得，又，
若均为非零向量，则，显然与矛盾，所以B不正确；
对于C中，因为向量，满足，，且，
则
，所以，所以C正确；
对于D中，由，
所以不一定成立，所以D不正确.
故选：C.
4. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复合函数单调性的规则以及函数在上有意义列不等式求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，解得.
故选：B.
5. 若椭圆：与双曲线：的离心率之和为，则（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出椭圆和双曲线的离心率，由两者的离心率之和为，解方程即可得出答案.
【详解】椭圆：的离心率为，
双曲线：的离心率为，
所以，解得：.
故选：A.
6. 设圆C:x−22+y−12=36和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离为，则实数（ ）
A. 2B. 4C. 26D. 41
【答案】C
【解析】
【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离为，即可求出的值，再由直线不过第三象限求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为圆C:x−22+y−12=36的圆心为，半径，
因为圆上恰有三点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，解得或，
又直线不过第三象限，则a3≥0，解得，
所以.
故选：C
7. 设且，命题甲：为等比数列；命题乙：；则命题甲是命题乙的（ ）
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由等比数列的定义结合等比中项的公式代入计算，即可判断.
【详解】若为等比数列，则满足，即，
所以，故充分性不成立，
当时，数列满足，但此时为等比数列不成立，
故必要性不成立，
所以为等比数列是的既不充分也不必要条件.
故选：D
8. 若，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两角和与差求解余弦公式求解，进而求出，求出，利用二倍角求出
【详解】由，则,
由，
所以，则，
则，
故.
故选：D
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若成等差数列（公差不为零）的一组样本数据，，……，，的平均数为，标准差为，中位数为；数据，……，，的平均数为，标准差为，中位数为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】根据平均数、标准差和中位数定义和计算公式求解即可.
【详解】等差数列（公差不为零）的一组样本数据，，……，，
所以，，
所以，
由等差数列的性质可得，所以，故A正确；
，，故B，C正确；
由标准差的定义知，数据，，……，与平均数距离更远，
所以，故D正确.
故选：ABCD.
10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则（ ）
A. B. 的最大值为8
C. 的取值范围是D. 的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式判断AB；设出点的坐标，利用向量的坐标运算，结合椭圆的范围计算判断CD.
【详解】由椭圆定义得，，，A错误；
，当时取等号，B错误；
，设，则，，，
，由，得，C正确；
，，D正确.
故选：CD
11. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知为正整数，若，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求解即得.
详解】由，，得或，解得或，
而，解得，，
所以.
故答案为：2
13. 已知，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】依题意可得，再由基本不等式“”的妙用即可得解.
【详解】因为，
所以，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
显然此时有解，所以的最小值为.
故答案为：.
14. 已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．
【详解】椭圆方程为，双曲线方程为，
若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
可得椭圆的焦点坐标，，正六边形的一个顶点
，
，
椭圆离心率，
同时，双曲线的渐近线的斜率为3，即，
可得双曲线的离心率为．
故答案为．
【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力属于中档题．
四、解答题（本大题共3个小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 不透明的盒中有四个除所标数字外均相同的球，它们分别标有数字，，，，现从中随机取个球．
（1）求取到个标有数字的球的概率；
（2）设为取出的个球上的数字之和，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）根据满足要求的情况数除以总的情况数得到结果；
（2）先分析的可取值，然后计算出对应概率，由此可知分布列并可计算出数学期望.
【小问1详解】
抽到个标有数字的球的可能情况共有种，从个球中任取个共有种取法，
∴取到个标有数字的球的概率．
【小问2详解】
的所有可能取值为，，，，
，，，，
所以的分布列为：
∴．
16. 从4名男生和3名女生中各选2人，
（1）共有多少种不同的选法？
（2）如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？
（3）选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答）
【答案】（1）18 （2）15
（3）84
【解析】
【分析】（1）根据排列组合求解即可．
（2）按甲乙是否被选中分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
（3）先求男生甲和女生乙同时被选中的选法，再根据间接法求出甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法，再根据分步乘法计数原理求解即可．
【小问1详解】
根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人，
男生有种选法，女生有种选法，
故选法有种；
【小问2详解】
根据题意，分3种情况讨论：
男生甲被选中，女生乙没有被选中，有种．
男生甲没有被选中，女生乙被选中，有种，
男生甲和女生乙被选中，有种，
则共有种选法.
【小问3详解】
男生甲和女生乙同时被选中的选法为种，
4人参加百米接力赛的总安排方法为种，
甲跑第一棒的安排方法为种，
乙跑最后一棒的安排方法为种，
甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法为种，
甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法为种．
17. 已知等比数列的前n项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用等比数列通项公式、前n项和求基本量，进而写出等比数列通项公式.
（2）等比数列前n项和公式写出，应用裂项相消法求
【小问1详解】
由题知：①，
②，
②÷①得，，解得，代入①式得，，
所以．
【小问2详解】
由（1）知：，
所以，
所以 ．
附加题（注：不作考试要求，不计入总分）
18. 点分别是函数图象上的点，若点关于原点对称，则称点是一对“关联点”．已知，则函数图象上的“关联点”有（ ）对
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】法一：根据题意将转化为关于的方程，根据方程解的个数作出判断即可；法二：将问题转化为函数图象的交点问题，根据图象作出判断即可.
【详解】法一：根据题意，设为，图象上的“关联点”，则，即，
设，则，解得或（舍去），
由，得，且，
则方程有个不同实根，故函数，图象上的“关联点”有对，
故选：C.
法二：令，则，该方程表示圆心为，半径为的半圆（轴上方），
先作出这个半圆和函数的图象，再将半圆旋转，由图象可知，满足条件的“关联点”有对，
故选：C.
19. 若函数与的图象存在公切线，则实数a的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】法一：设公切线与，图象分别切于点，写出图象在A处的切线方程和图象在B处的切线方程，由两直线重合，消去得到，令，再由求解.方法二： 由，分别为上凸和下凸函数，要使，存在公切线，转化为在上恒成立求解.
【详解】法一：设公切线与，图象分别切于点，
则图象在A处的切线方程为：，
即，
同理：图象在B处的切线方程为：，
即，
由上述两直线重合，消元可得，，
令，
则，当时，，当时，，
所以hx在单调递增，在单调递减，
则，解得，
方法二：在同一坐标系中作出，的图象如图所示：

由图象知：，分别为上凸和下凸函数，要使，存在公切线，
只须在上恒成立即可，
即在上恒成立
令，求导得，
当时，h′x>0，当时，h′x