黑龙江省哈尔滨市第十七中学校2024-2025学年八年级上学期十月质量评价数学试卷（解析版）-A4

这是一份黑龙江省哈尔滨市第十七中学校2024-2025学年八年级上学期十月质量评价数学试卷（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（每题3分，共30分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. a3·a3＝a9B. a3＋a2＝a5C. (a2)3＝a5D. (a4)3＝a12
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的运算法则即可求解.
【详解】A. a3·a3＝a6，故错误；
B. a3＋a2不能计算，故错误；
C. (a2)3＝a6，故错误；
D. (a4)3＝a12，正确
故选D.
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的乘法与幂的乘方法则.
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别；
根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，逐项判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
3. 如图，和关于直线l对称，连接，在直线l上任取一点O，连接，，下列结论中，不一定正确的是（ ）

A. B.
C. l垂直平分D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质及全等三角形的概念进行求解．
【详解】解：∵和关于直线l对称，
∴，l垂直平分，，
∴只有A选项不一定成立；
故选A．
4. 如图，在中，直线是线段的垂直平分线，若，的周长为13，则的周长为（ ）
A. 26B. 16C. 19D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，，
∴，，
∵的周长为13，
∴，
∴的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5. 如图、等腰三角形中，，中线与角平分线交于点F，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等边对等角以及三角形内角和定理得出，根据是的平分线，得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边对等角求角度，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，三角形角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
6. 已知：，，则用，可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方计算即可；
【详解】，
∵，，
∴原式；
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，准确计算是解题的关键．
7. 如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图，利用基本作图得到平分，则可对选项进行判断；利用基本作图可得到点为的垂直平分线与的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以可对B选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则，接着利用得到，可对A、C选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出，则可对D选项进行判断．
【详解】解：，，
，
，
由作图痕迹得到平分，点为的垂直平分线与的交点，
，所以A选项不符合题意；
，所以B选项不符合题意；
，
，
，
所以C选项不符合题意；
，，
，
，
D选项符合题意．
故选：D．
8. 如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】连接AF,得到∠AFC=90°，再证AE=EF,可得EF=AE=EC，即可求出EF的长.
【详解】解：如图：连接AF,
∵AB=AD, F是BD的中点,
∴AF⊥BD,
∵EF=EC,
∴∠EFC=∠C,
∵在Rt△AFC中，∠AFC=90°，
∴∠AFE+∠EFC=90°,∠FAC+∠C=90°,
∴∠AFE=∠FAC,
∴AE=EF,
∵AC＝8,
∴EF=AE=EC=AC=4.
故选B.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质.解题的关键是正确的添加辅助线.
9. 如图，是等边三角形，是上一点，于点E，F为上一点且，连接垂直平分，交于点H，交于点G，连接、．下列结论中正确的有（ ）
①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．
A. ①④B. ①②③C. ②③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故①正确；由题意易证，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故②正确；由题意易证，结合平行线的性质即可求出，故③正确；根据，即可判断，故④错误．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，即是等腰三角形，故①正确；
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故②正确；
∵垂直平分，，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④错误．
综上可知正确的结论为①②③．
故选B．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握各知识点是解题关键．
10. 下列命题中：①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③若与成轴对称，则一定与全等;④有一个角是60度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；正确；
②等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；不正确；
③若△ABC与△A'B'C'成轴对称，则△ABC一定与△A'B'C'全等；正确；
④有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；不正确；
⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，不正确．
正确命题为：①③，2个；
故选B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，属于基础知识，难度不大．
二、填空题（每题3分，共30分）
11. _____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了积乘方，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算；
【详解】解：
故答案为：
12. 若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为__cm．
【答案】35
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
【详解】①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；
②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是35cm．
答案为：35.
考点：(1)、等腰三角形的性质；(2)、三角形三边关系．
13. 计算：＝________________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据积的乘方公式逆运算即可求解.
【详解】
故填：2.
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知积的乘方公式逆运算.
14. 已知和关于轴对称，则的值为 _____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化轴对称、代数式求值，根据关于轴对称的点的坐标特征是横坐标相等，纵坐标互为相反数得到，，求出、值代入求解即可．
【详解】和关于轴对称，
，，
，，
，
故答案为：1．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=26°，则∠CDE=_________．
【答案】71°
【解析】
【详解】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=26°，
∴∠B=64°，
∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ECD=45°，∠CED=∠B=64°，
∴∠CDE=180°﹣∠ECD﹣∠CED=71°，
故答案为71°．
【点睛】翻折变换（折叠问题）．
16. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若cm，则阴影部分的面积是______cm2．
【答案】4.5
【解析】
【分析】由于，那么也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边的长；中，已知斜边AB及，易求得的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵，，cm，
∴cm．
由题意可知，
∴，
∴cm．
故（cm2）．
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形及等腰直角三角形的知识，发现是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边的长，是解答此题的关键．
17. 如图，是等边边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，若，则的长为 ___________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据等边三角形的三线合一得出，，连接，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出，根据含角的直角三角形的性质，得出，进而即可求解．
【详解】解：∵是等边边上的中线，
∴是上的高，是的平分线，，
∴，，
如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
18. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是____________．

【答案】(0，3)
【解析】
【分析】由题意根据轴对称做最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．
详解】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，

此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（-3，0），AE=4，
则B′E=4，即B′E=AE，
∵C′O∥AE，
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故答案为：（0，3）．
【点睛】本题主要考查利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在轴正半轴上，边在轴上，若，动点从点出发，沿轴正方向运动，设点的坐标为，当是钝角三角形时，满足的条件是_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，利用数形结合的思想是解题关键．过点作，交x轴于点P，根据等边三角形的性质得出，，从而可求出，．再根据当点D在线段上时（不含端点）和当点D在点P右侧时，是钝角三角形，求解即可．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴当点D在线段上时（不含端点），是钝角三角形，如图，
∴此时；
如图，过点作，交x轴于点P，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴当点D在点P右侧时，是钝角三角形，
∴此时．
综上可知满足的条件是或．
故答案为：或．
20. 中，为上一点，为上一点，过作，交于点，交于点，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，难度较大，难点在于添加辅助线构造全等三角形．
延长交于点，过点作平行线交延长线于点，角度推导证明，则，证明出，则，设，则，那么，由即可求出，即可求解．
【详解】解：延长交于点，过点作平行线交延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（21-25题每题8分，26，27题每题10分）
21. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键．
（1）先计算积和幂的乘方，再合并同类项即可；
（2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可；
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
22. 先化简，再求值，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】先运算乘方，然后运算乘法，最后合并同类项得，再代入求值即可．
【详解】
当，时，原式．
【点睛】题主要考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，，B−2,1．
（1）画出以为一边的等腰，点在小正方形的格点处，且的面积为；
（2）画出关于轴对称的（A、B、C的对应点分别为、、）；
（3）画出向上平移2个单位长度的；
（4）、、对应点分别为、、，连接，直接写出的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】本题考查作图—作等腰三角形，作图—轴对称，作图—平移，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）以为底，取格点C，使，则，即即为所作；
（2）找出各顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）找出各顶点平移后的对应点，再顺次连接即可；
（4）结合分别求出和的长，作比即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所做；
【小问2详解】
解：如图，即为所做；
【小问3详解】
解：如图，即为所做；
【小问4详解】
解：由图可知，，
∴．
24. 体育老师对九年级一个班级的学生进行了立定跳远项目的测试，得到一组测试分数的数据，并将测试所得分数绘制成如图所示的统计图，图中从左到右的学生人数之比为，且成绩为8分的学生有12人．请根据信息解答下列问题：
（1）这个班级有多少名学生？
（2）这组数据的众数是__________，中位数是__________；
（3）若该校九年级共有520名学生，8分及8分以上的测试成绩为合格，请估计该年级有多少名学生的测试成绩合格？
【答案】（1）40名；
（2）9，8.5； （3）416；
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，众数，中位数以及用样本估计总体数据，理解条形统计图中数据的含义，众数，中位数的概念，以及用样本估计总体数据的计算方法是解题的关键．
（1）根据得7分、8分、9分和10分的人数之比为，且成绩为8分的学生有12人，求得8分的学生占比为，即可求得该班的总人数；
（2）根据（1）中所求得的总人数即可求出得分分别为7分、9分和10分的人数，结合中位数和众数的定义即可确定出这组数据的中位数和众数；
（3）求出这个班级中得8分及8分以上合格的人数占比为，乘以该校九年级总体学生人数，即可估计该年级合格的总人数．
【小问1详解】
立定跳远测试成绩得7分、8分、9分和10分的人数之比为，且成绩为8分的学生有12人，
得8分的学生占比为，
这个班级总人数为：（人）．
【小问2详解】
这个班级总人数为40人，立定跳远测试成绩得7分、8分、9分和10分人数之比为，
得分为7分的人数；
得分为9分的人数，
得分为10分的人数，
得分为8分的有12人，
该班立定跳远成绩的众数是9分，
将成绩按从小到大排列后，第20个和21个成绩分别为8分和9分，
该班立定跳远成绩的中位数是分．
【小问3详解】
这个班级中得8分及8分以上合格的人数为32人，占比为，
若该校九年级共有520名学生，估计该年级合格的人数有：（人）．
答：若该校九年级共有520名学生，估计该年级合格的人数有416人．
25. 已知：在等边中，点为边上一点，为延长线上一点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长交于点，过点作于点，交于点，若点为中点，且，则的长为______．
【答案】（1）见详解 （2）2
【解析】
【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，注意数形结合思想的应用．
（1）过点D作，由等边，可求得是等边三角形，然后根据三角形全等证明即可；
（2）同理（1）可求得是等边三角形，由点为中点，可得点为中点,即可求出．
【小问1详解】
证明：过点D作，
是等边三角形，
，，
∵，
，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴；
【小问2详解】
过点D作，
由（1）可得是等边三角形，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
设则，
∴，
∴，
∴，
∴．
26. 某水果商从批发市场用元购进了大樱桃和小樱桃各千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多元．
（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？
（2）在运输过程中大樱桃损耗了，若大樱桃售价为每千克元，要使此次销售获利不少于元，则小樱桃的售价最少应为每千克多少元？
【答案】（1）；
（2）小樱桃售价至少元/千克．
【解析】
【分析】本题考查了方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设小樱桃进价元/千克，则大樱桃进价元/千克，列出方程，求解即可；
（2）设小樱桃售价元/千克，列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设小樱桃进价元/千克，则大樱桃进价元/千克
解得，，
∴．
【小问2详解】
解：设小樱桃售价元/千克，
，
解得
答：小樱桃售价至少元/千克．
27. 如图1，四边形中，对角线与交于点，，．
（1）求证：；
（2）如图2，当时，过点作，交于点，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点为中点，点为上一点，连接、，，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在和中根据三角形内角和，结合可推出，然后由推出，即，得证；
（2）根据题意可知，利用角的和差以及三角形外角的性质可推出，，结合，可证，从而得到，即可求得；
（3）延长使，连接，，，不妨设，那么，根据以及三角形内角和定理，可知，，结合和都是等腰直角三角形，，推出
，，结合是中点，推出是等腰直角三角形，接着证明，得到，，再证明和，得到，结合，推导出，最后利用勾股定理，算出，，，，，最后利用四边形面积可得到答案．
【小问1详解】
证明：，
，
又
又
小问2详解】
解：，，
，
由（1）可知，
在和中
为等腰直角三角形
【小问3详解】
解：延长使，连接，，
不妨设，那么
，
由（2）可知，，，，
和都是等腰直角三角形
，
由（2）可知，
，，
是中点
又
是等腰直角三角形
又
在和中
在和中
在中，，
，
在中，，
，
是中点
四边形的面积为
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积求解，平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键．