黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校初中部2023-2024学年八年级（上）十月月考数学试卷（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校初中部2023-2024学年八年级（上）十月月考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算中正确的是（ ）
A．x+x3＝x4B．x•x3＝x4
C．（x2）3＝x5D．（x•y）3＝xy3
3．点（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，﹣1）
4．与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．三边的垂直平分线的交点
5．一个等腰三角形的顶角是120°，则它的底角度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．不能确定
6．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE等于（ ）
A．1mB．2mC．3mD．4m
7．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．70°
8．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数是（ ）
A．100°B．110°C．120°D．150°
9．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列说法正确的有（ ）个．
①等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线；
②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
③等腰三角形的角平分线、中线、高线相互重合；
④有两个角都等于60°的三角形是等边三角形；
⑤幂的乘方，底数不变，指数相加．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．a2•a3＝ ．
12．计算：（x3）2＝ ．
13．等边三角形的两条中线所夹锐角的度数为 ．
14．计算：＝ ．
15．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则AB的长度是 ．
17．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，的△ABD周长为13cm，则△ABC的周长为 cm．
18．已知等腰三角形的一个角为80°，则顶角为 ．
19．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 ．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC延长线上，∠BDC＝∠E＝45°，BD＝5，CE＝3，则△BDC的面积为 ．
三、解答题（共计60分）
21．（7分）计算：
（1）x•x3+x2•x2；
（2）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2．
22．（7分）（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（其A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出B1点的坐标；
（3）△ABC的面积是 ．
23．（8分）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．
24．（8分）在△ABC中，AB＝AC，点D、点E在边BC上，BD＝CE，连接AD、AE．
（1）如图1，求证：AD＝AE；
（2）如图2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（△ABC除外）．
25．阅读探究，理解应用
根据乘方的意义填空，并思考：
①25×22＝（2×2×2×2×2）×（2×2）＝
②a3•a2＝（a•a•a）•（a•a）＝
③5m×5n＝（）×（）＝ （m，n是正整数）
④一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有：am•an＝ ．
根据你发现的规律，完成下列问题：
计算：
（1）b5•b＝ ；y2n•yn+1＝ ；＝ ；
（2）已知am＝5，an＝125，求am+n的值．
26．如图，已知等腰△ABC，AC＝BC，点A的坐标为（0，6），B点坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0）．（1）如图1，求△ABC的面积；
（2）如图2，以AC为斜边在AC的上方作等腰直角△ACD，求点D的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交△ABC的高CE于点F，连接AF，BF，求AF2的值．
27．已知，如图，等腰△ABC，AC＝BC，CN平分∠ACM．
（1）如图1，求证：CN∥AB；
（2）如图2，若△ABC是等边三角形，在BC上取点D，CN上取点E，使BD＝CE，连接AD，DE，AE．求证：△ADE是等边三角形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过B点作BH∥DE，分别交AD，AC，AE于G，F，H，连接HC交DE于点K，若HK：KC＝1：2，GF＝4，AE＝7，求DG的长．
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校初中部八年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
2．下列运算中正确的是（ ）
A．x+x3＝x4B．x•x3＝x4
C．（x2）3＝x5D．（x•y）3＝xy3
解：A．x与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．x•x3＝x4，故本选项符合题意；
C．（x2）3＝x6，故本选项不合题意；
D．（x•y）3＝x3y3，故本选项不合题意；
故选：B．
3．点（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，﹣1）
解：点（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：C．
4．与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．三边的垂直平分线的交点
解：如图：
∵OA＝OB，∴O在线段AB的垂直平分线上，
∵OB＝OC，∴O在线段BC的垂直平分线上，
∵OA＝OC，∴O在线段AC的垂直平分线上，
又三个交点相交于一点，
∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．
故选：D．
5．一个等腰三角形的顶角是120°，则它的底角度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．不能确定
解：（180°﹣120°）÷2
＝60°÷2
＝30°
答：它的每个底角是30度．
故选：A．
6．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE等于（ ）
A．1mB．2mC．3mD．4m
解：如图所示，
∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
∴AE：CE＝AD：BD，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
在Rt△ABC中，BC＝AB＝4，
∴DE＝2．
故选：B．
7．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．70°
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝，
可得2x＝，
解得：x＝36°，
则∠A＝36°，
故选：B．
8．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数是（ ）
A．100°B．110°C．120°D．150°
解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．
又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠CAQ＝30°．
∴∠BAC＝120°．
故∠BAC的度数是120°．
故选：C．
9．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
（ ）
A．
B．
C．
D．
解：A、如图所示：此时BA＝BP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
B、如图所示：此时PA＝PC，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
C、如图所示：此时CA＝CP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
D、如图所示：此时BP＝AP，故能得出PA+PC＝BC，故此选项正确；
故选：D．
10．下列说法正确的有（ ）个．
①等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线；
②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
③等腰三角形的角平分线、中线、高线相互重合；
④有两个角都等于60°的三角形是等边三角形；
⑤幂的乘方，底数不变，指数相加．
A．1B．2C．3D．4
解：①等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在的直线，故原命题错误，不符合题意；
②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，正确，符合题意；
③等腰三角形的顶角平分线、底边的中线、底边的高线相互重合，故原命题错误，不符合题意；
④有两个角都等于60°的三角形是等边三角形，正确，符合题意；
⑤幂的乘方，底数不变，指数相乘，故原命题错误，不符合题意，
正确的与2个，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．a2•a3＝ a5 ．
解：a2•a3＝a5，
故答案为：a5．
12．计算：（x3）2＝ x6 ．
解：（x3）2＝x6．
故填x6．
13．等边三角形的两条中线所夹锐角的度数为 60° ．
解：如图，
∵等边三角形ABC，AD、BE分别是中线，
∴AD、BE分别是角平分线，
∴∠1＝∠2＝∠ABC＝30°，
∴∠3＝∠1+∠2＝60°．
故答案为：60°
14．计算：＝ 1 ．
解：57×（）7
＝（5×）7
＝17
＝1．
故答案为：1．
15．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 100° ．
解：△ABC 与△A'B'C'关于直线 l 对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴∠A＝∠A'＝50°，∠C＝∠C'＝30°，
∴∠B＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故答案为：100°．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则AB的长度是 12 ．
解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），
∵AD＝3，
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12．
∴AB的长度是12．
故答案为：12．
17．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，的△ABD周长为13cm，则△ABC的周长为 19 cm．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+CD＝13cm，
即AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．
故答案为：19．
18．已知等腰三角形的一个角为80°，则顶角为 80°或20° ．
解：（1）当80°角为顶角时，其顶角为80°
（2）当80°为底角时，得顶角＝180°﹣2×80°＝20°；
故填80°或20°．
19．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 5 ．
解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，
∵等边△ABC中，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF＝BF，
即BF+EF＝CF+EF＝CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD＝5，
即BF+EF＝5．
故答案为：5．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC延长线上，∠BDC＝∠E＝45°，BD＝5，CE＝3，则△BDC的面积为 10 ．
解：过点C作CF⊥CD，交AB的延长线于点F，
∴∠DCF＝90°，
∵∠BDC＝45°，
∴∠F＝90°﹣∠BDC＝45°，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∵∠E＝45°，
∴∠F＝∠E＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠ACB+∠BCE＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠BCE＝∠CBF，
∵BC＝CB，
∴△ECB≌△FBC（AAS），
∴CE＝BF＝3，
∵BD＝5，
∴DF＝BD+BF＝8，
∵△DCF是等腰直角三角形，
∴DC＝CF＝＝4，
∴△DCF的面积＝DC•CF＝×4×4＝16，
∵＝，
∴△BDC的面积＝△DCF的面积＝10，
故答案为：10．
三、解答题（共计60分）
21．（7分）计算：
（1）x•x3+x2•x2；
（2）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2．
解：（1）原式＝x4+x4＝2x4；
（2）原式＝a8+a8+4a8＝6a8．
22．（7分）（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（其A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出B1点的坐标；
（3）△ABC的面积是 ．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）点B1的坐标为（3，1）；
（3）△ABC的面积是×（1+4）×5﹣×1×2﹣×3×4＝，
故答案为：．
23．（8分）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝70°，
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
24．（8分）在△ABC中，AB＝AC，点D、点E在边BC上，BD＝CE，连接AD、AE．
（1）如图1，求证：AD＝AE；
（2）如图2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（△ABC除外）．
【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE．
（2）解：由（1）可知，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE
∴三角形ADE是等腰三角形，则∠ADE＝∠AED，
∵∠DAE＝∠C＝45°，
∴∠B＝45°，∠BAC＝90°，，，
∵BF∥AC，
∴∠F＝∠FAC＝∠DAE+∠CAE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠BDF＝∠ADE＝67.5°，
∴∠F＝∠BDF＝67.5°，
∴三角形BDF是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°+22.5°＝67.5°＝∠ADE，
∴三角形CAD是等腰三角形，同理可得三角形BAE是等腰三角形，
∴等腰三角形有：△ADE，△BDF，△CAD，△BAE．
25．阅读探究，理解应用
根据乘方的意义填空，并思考：
①25×22＝（2×2×2×2×2）×（2×2）＝ 27
②a3•a2＝（a•a•a）•（a•a）＝ a5
③5m×5n＝（）×（）＝ 5m+n （m，n是正整数）
④一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有：am•an＝ am+n ．
根据你发现的规律，完成下列问题：
计算：
（1）b5•b＝ b6 ；y2n•yn+1＝ y3n+1 ；＝ ；
（2）已知am＝5，an＝125，求am+n的值．
解：①25×22＝（2×2×2×2×2）×（2×2）＝27；
②a3•a2＝（a•a•a）•（a•a）＝a5；
③5m×5n＝（）×（）＝5m+n（m，n是正整数）；
④一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有：am•an＝am+n；
故答案为：①7；
②5；
③5m+n；
④am+n；
（1）b5•b＝b5+1＝b6；y2n•yn+1＝y2n+n+1＝y3n+1；＝（﹣）6＝；
故答案为：b6；y3n+1；；
（2）∵am＝5，an＝125，
∴am+n＝am•an
＝5×125
＝625，
∴am+n的值为625．
26．如图，已知等腰△ABC，AC＝BC，点A的坐标为（0，6），B点坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0）．（1）如图1，求△ABC的面积；
（2）如图2，以AC为斜边在AC的上方作等腰直角△ACD，求点D的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交△ABC的高CE于点F，连接AF，BF，求AF2的值．
解：（1）∵点A的坐标为（0，6），B点坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0），
∴OA＝6，OB＝2，OC＝8，
∴BC＝OB+OC＝10．
∴△ABC的面积＝×BC•OA＝10×6＝30；
（2）过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥OA交y轴于点N，如图，
∵DM⊥BC，DN⊥OA，OA⊥OC，
∴四边形NOMD为矩形，
∴∠DNA＝∠NDM＝∠DMO＝90°，
∴∠NDA+∠ADM＝90°．
∵∠MDC+∠NDM＝90°，
∴∠NDA＝∠MDC．
在△NDA和△MDC中，
，
∴△NDA≌△MDC（AAS），
∴DN＝DM，NA＝MC．
∴矩形NOMD为正方形，
∴OA＝OM．
设NA＝MC＝x，
∴ON＝OA+NA＝6+x，OM＝OB﹣MC＝8﹣x，
∴6+x＝8﹣x，
∴x＝1．
∴OM＝ON＝7．
∴D（7，7）；
（3）过点F作FH⊥OA于点H，如图，
∵AC＝BC，CE⊥AB，
∴AE＝BE．
∵点A的坐标为（0，6），B点坐标为（﹣2，0），
∴E（﹣1，3）．
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CE的解析式为y＝x+．
∵D（7，7），
∴直线OD的解析式为y＝x，
∴，
∴．
∴F（2，2）．
∴FH＝2，OH＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝4，
∴AF2＝FH2+AH2＝22+42＝20．
27．已知，如图，等腰△ABC，AC＝BC，CN平分∠ACM．
（1）如图1，求证：CN∥AB；
（2）如图2，若△ABC是等边三角形，在BC上取点D，CN上取点E，使BD＝CE，连接AD，DE，AE．求证：△ADE是等边三角形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过B点作BH∥DE，分别交AD，AC，AE于G，F，H，连接HC交DE于点K，若HK：KC＝1：2，GF＝4，AE＝7，求DG的长．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A，
∴∠ACM＝∠A+∠B＝2∠B，
∵CN平分∠ACM，
∴∠ACM＝2∠MCN，
∴∠B＝∠MCN，
∴AB∥CN；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BCA＝60°，
∴∠ACM＝120°，
∴∠ACN＝∠NCM＝60°＝∠B，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形；
（3）如图3，
∵HK：KC＝1：2，
∴设HK＝x，CK＝2x，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，AD＝AE，
∵BH∥DE，
∴∠AGH∠ADE＝60°，∠AHG＝∠AED＝60°，∠CDE＝∠CBF，
∴△AGH是等边三角形，
∴AG＝AH＝GH，
∴GD＝HE，
∵∠AGH＝∠ABG+∠BAG＝60°＝∠ABC＝∠ABG+∠CBF，
∴∠BAG＝∠CBF，
又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，
∴△ABD≌△BCF（ASA），
∴BD＝CF，∠ADB＝∠BFC
又∵BD＝CE，
∴BD＝CE＝CF，
∴AF＝CD，
∵AB＝AC，∠BAG＝∠CAH，AG＝AH，
∴△BAG≌△CAH（SAS），
∴∠AGB＝∠ACH＝120°，
∴∠CHB＝∠CHE＝60°，
∴△HEK是等边三角形，
∴HE＝HK＝KE＝DG＝x，∠HKE＝∠DKC＝60°，
∴∠AHF＝∠DKC＝60°，
又∵∠CDE＝∠CBF＝∠CAE，AF＝CD，
∴△AFH≌△DCK（AAS），
∴FH＝CK＝2x，
∵AH+HE＝AE＝7，GH﹣FH＝GF，
∴AH+x＝7，AH﹣2x＝4，
∴x＝1，AH＝6，
∴DG＝1．