2024-2025学年浙江省温州市苍南县星海学校九年级（上）第二次月考数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年浙江省温州市苍南县星海学校九年级（上）第二次月考数学试卷（含详解），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）抛物线y＝﹣x2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
2．（3分）要得到抛物线y＝4（x﹣2）2﹣3，可以将抛物线y＝4x2（ ）
A．向右平移2个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移2个单位，再向上平移3个单位
D．向右平移2个单位，再向上平移3个单位
3．（3分）小南观察某个红绿灯口，发现红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）已知抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），则关于x的方程x2﹣bx+c＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝1，x2＝3
5．（3分）如果二次函数y＝x2﹣4x+c的最小值为0，那么c的值等于（ ）
A．2B．4C．﹣2D．8
6．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）若A（0，y1），B（3，y2），C（4，y3）为二次函数y＝（x﹣3）2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y2＜y3＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y1＜y3D．y1＜y3＜y2
8．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若∠ACB＝20°，则∠ACD的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
9．（3分）某数学兴趣小组借助数学软件探究函数y＝ax2（x﹣b）的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象如图所示，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A．a＜0，b＜0B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0D．a＞0，b＞0
10．（3分）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，点C的横坐标为﹣1，则点A的横坐标为（ ）
A．3B．4C．3.5D．2
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）欢欢抛一枚质地均匀的硬币14次，有9次正面朝上，当他抛第15次时，正面朝上的概率为 ．
12．（3分）已知⊙O中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 厘米．
13．（3分）从﹣2，0，1三个数中随机抽取一个数记为a，不放回，再抽取一个数记为b，则抽出的数（a，b）是二次函数y＝x2﹣2x﹣2图象上的点的概率为 ．
14．（3分）将抛物线y＝（x﹣2）2+1绕原点O旋转180°，则得到的抛物线的函数表达式为 ．
15．（3分）如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为1.1米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为2.0米．身高为1.6米的小吉站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 ．
16．（3分）已知抛物线y＝x2﹣4x﹣1上有且只有三个点到x轴的距离等于k，点A（a，b）在抛物线上，且点A到y轴的距离小于3．
（1）k＝ ．
（2）b的取值范围是 ．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）一个不透明的布袋里只有2个红球和2个白球（仅颜色不同）．
（1）若从中任意摸出一个球，是红球的概率为多少？
（2）若从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，再摸出一个球，两个都是红球的概率为多少？（请用列表或画树状图的方法来表示）
18．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8．
（1）求CE的长度；
（2）求OC的长度．
19．（8分）已知二次函数y＝x2+（k+2）x+6﹣k与x轴只有一个交点．
（1）求k的值．
（2）从k+3，k﹣3中任选一个数记做a，求使二次函数y＝ax2的图象开口方向向上的概率．
20．（8分）实践任务：测量不规则草地面积（如图阴影图形）．
方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如表：
数据分析：
（1）通过各组实验可以发现，石子落在草地内的概率大约是 ；
（2）请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程．
21．（8分）2023年第十九届亚运会在杭州举行，这是我国第三次举办亚运会，在中国队对阵韩国队的男篮四分之一决赛中，中国队表现出色，赢得了比赛．如图，一名中国运动员在距离篮球框中心A点4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为3.5m，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面3.05m．
（1）求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式；
（2）求出篮球在该运动员出手时的高度．
22．（10分）设二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0，b是实数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
（1）若m＝4，求二次函数的表达式．
（2）在（1）的条件下，写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而增大．
（3）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是负数，求a的取值范围．
23．（10分）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
24．（12分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若P是二次函数图象上的一点，直线PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB面积的2倍，求点P的坐标．
（3）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点Q（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，求（1）中抛物线关于x轴对称的抛物线的“开口大小”．
2024-2025学年浙江省温州市苍南县星海学校九年级（上）第二次月考数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：抛物线顶点坐标是（0，﹣2），
故选：D．
2．【解答】解：抛物线y＝4x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到y＝4（x﹣2）2﹣3，
故选：A．
3．【解答】解：∵红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，
∴遇到绿灯的概率是＝，
故选：D．
4．【解答】解：∵与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴方程x2﹣bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3．
故选：B．
5．【解答】解：函数解析式可转化为y＝（x﹣2）2﹣4+c，
根据该图象开口向上，可知函数的最小值是﹣4+c，
又由已知条件可知函数的最小值是0，可得：
﹣4+c＝0，
解得c＝4．
故选：B．
6．【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B、由抛物线的开口向下，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，m＜0，n2＞0，正确；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，m＞0，错误，
故选：C．
7．【解答】解：由抛物线解析式y＝（x﹣3）2+m可知，图象开口向上，对称轴为x＝3，
∴离对称轴越远，值越大，
∵A（0，y1）距离对称轴3个单位长度，
B（3，y2）距离对称轴0个单位长度，
C（4，y3）距离对称轴1个单位长度，
∴y2＜y3＜y1，
故选：A．
8．【解答】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝20°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°﹣20°＝70°．
故选：D．
9．【解答】解：令y＝ax2（x﹣b）＝0，
解得，x＝0或x＝b，
由图象可知，x＝b＞0，
当x＜0时，x﹣b＜0，y＝ax2（x﹣b）＜0，
∴a＞0，
故选：D．
10．【解答】解：设B（x，2x），点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，
∴x2＝2x
解得：x1＝2或x2＝0（舍去），
∴B（2，4），
∴，
∵四边形OABC为正方形，
∴，
过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，
，
∴△CDO≌△OEA（AAS），
∴CD＝OE，
∵点C的横坐标为﹣1，
∴OD＝1
∴在Rt△CDO中，，
∴OE＝3，
所以点A的横坐标为3，
故选：A．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：根据题意可知，掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，
∴她第15次掷这枚硬币时，正面向上的概率是：．
故答案为：．
12．【解答】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O中最长的弦为12厘米，
∴⊙O的直径是12厘米．
∴⊙O的半径是6厘米．
故答案为：6．
13．【解答】解：根据题意，列表如下：
共有9种等可能的结果，
抽出的数（a，b）是二次函数y＝x2﹣2x﹣2图象上的点的结果如下：
将x＝﹣2代入二次函数y＝x2﹣2x﹣2，可得y＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣2＝6，
故点（﹣2，﹣2），（﹣2，0），（﹣2，1）均不在该二次函数图象上，
将x＝0代入二次函数y＝x2﹣2x﹣2，可得y＝02﹣2×0﹣2＝﹣2，
故点（0，﹣2）在函数图象上，而点（0，0），（0，1）均不在该二次函数图象上，
将x＝1代入二次函数y＝x2﹣2x﹣2，可得y＝12﹣2×1﹣2＝﹣3，
故点（1，﹣2），（1，0），（1，1）均不在该二次函数图象上，
∴抽出的数（a，b）是二次函数y＝x2﹣2x﹣2图象上的点的结果有1种，
∴抽出的数（a，b）是二次函数y＝x2﹣2x﹣2图象上的点的概率为．
故答案为：．
14．【解答】解：由条件可知：（﹣x，﹣y）在旋转后的图形上，
∴﹣y＝（﹣x﹣2）2+1，
化简得：y＝﹣（﹣x﹣2）2﹣1，
故答案为：y＝﹣（x+2）2﹣1．
15．【解答】解：如图建立直角坐标系：
由题意可知OD＝6，A（0，1.1），B（6，1.1），最高点C的纵坐标为2，
∴点C的横坐标为，
∴C（3，2），
设y＝a（x﹣3）2+2，
把A（0，1.1）代入解析式可得：
a＝﹣0.1，
∴y＝﹣0.1（x﹣3）2+2，
当y＝1.6时，y＝﹣0.1（x﹣3）2+2＝1.6，
x1＝1，x2＝5，
∴m的取值范围是1＜m＜5．
故答案为：1＜m＜5．
16．【解答】解（1）由条件可知：k为抛物线顶点到x轴的距离，
∵y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1的顶点位（2，﹣5），
∴抛物线顶点到x轴的距离为5，
∴k＝5；
（2）设点A到y轴的距离为3，
∴a＝±3
当a＝3时，将A（3，b）代入y＝x2﹣4x﹣1，
∴b＝﹣4；
当a＝﹣3，把A（﹣3，b）代入y＝x2﹣4x﹣1，
∴b＝20，
∵点A到y轴的距离小于3
∴﹣3＜a＜3，
∵a＝2时，b＝﹣5，
∴当2≤a＜3时，﹣5≤b＜﹣4；当﹣3＜a≤2时，﹣5≤b＜20，
∴当﹣3＜a＜3时，b的取值范围为﹣5≤b＜20．
故答案为：（1）5；（2）﹣5≤b＜20．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：（1）一个不透明的布袋里只有2个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，摸出红球的概率为＝；
（2）列表得：
共有16种等可能的结果数，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，两次摸出都是红球的结果数是4种，
∴两个都是红球的概率为．
18．【解答】解：（1）∵直径AB⊥CD，
∴CE＝CD＝×8＝4；
（2）∵∠OEC＝90°，OE＝3，CE＝4，
∴OC＝＝5．
19．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+（k+2）x+6﹣k与x轴只有一个交点，
∴一元二次方程x2+（k+2）x+6﹣k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（k+2）2﹣4×1×（6﹣k）＝0，
解得：k＝﹣10或k＝2；
（2）由（1）得k＝﹣10或k＝2，
∴当k＝﹣10时，k+3＝﹣10+3＝﹣7；k﹣3＝﹣10﹣3＝﹣13；
当k＝2时，k+3＝2+3＝5；k﹣3＝2﹣3＝﹣1；
∴k+3，k﹣3对应值为﹣7，﹣13，5，﹣1；
∵二次函数y＝ax2的图象开口方向向上，
∴a＞0，
∴当a＝5时，二次函数y＝ax2的图象开口方向向上，
∴二次函数y＝ax2的图象开口方向向上的概率为：．
20．【解答】解：（1）当投掷的次数很大时，则石子落在草地上的频率越来越接近0.30，
∴石子落在草地内的概率大约是0.30，
故答案为：0.30；
（2）草地的面积＝5×4×0.30＝6（平方米）．
21．【解答】解：（1）根据题意得：B（0，3.5），A（1.5，3.05），点C的横坐标为﹣2.5．
设y与x满足的函数解析式为y＝ax2+3.5，
把点A（1.5，3.05）代入得：3.05＝1.52a+3.5，
解得：a＝﹣0.2，
∴y与x满足的函数解析式为y＝﹣0.2x2+3.5；
（2）由（1）知y＝﹣0.2x2+3.5，
令x＝﹣2.5，则y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25，
∴篮球在该运动员出手时的高度是2.25米．
22．【解答】解：（1）把（﹣1，4），（4，2）分别代入解析式得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式是：，
（2）将解析式配方得：y＝，
则有抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大（答案不唯一），
（3）由条件可知：抛物线的对称轴为直线，
∴（2，n）是顶点，（﹣1，m）和（5，p）关于对称轴对称，
∴m＝p，
在m，n，p这三个实数中，只有一个是负数，
∴n＜0，
则抛物线必须开口向上，m＝p＞2，
∵，
∴b＝﹣4a，
∴二次函数为y＝ax2﹣4ax+2，
∴n＝4a﹣8a+2＜0，m＝a+4a+2＞2，
∴．
23．【解答】解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＜57时，w随x的增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）依题意剩余利润为（w﹣200）元，
∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，
由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．
24．【解答】解：（1）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣3），将点A，点C的坐标代入得：
解得
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）P是二次函数图象上的一点，直线PC交x轴于点D，设P（m，n），
∵△PDB与△CDB同底，且△PDB的面积是△CDB面积的2倍，
∴|n|＝2CO＝6，
当m2+2m﹣3＝6时，
，
此时点P的坐标为或；
当m2+2m﹣3＝﹣6时，m无解，
综上所述，点P的坐标为或．
（3）∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4关于x轴对称的抛物线为y＝﹣（x+1）2+4，
∵x′﹣m＝y′﹣k≠0，
∴x′+1＝﹣（x′+1）2+4﹣4≠0，
解得x′+1＝﹣1．
∴抛物线y＝x2+2x﹣3关于x轴对称的抛物线的“开口大小”为2|x′+1|＝2×|﹣1|＝2．
实验分组
一组
二组
三组
四组
五组
六组
七组
石子落在草地内的次数
40
67
115
149
180
209
252
投掷石子总次数
120
240
360
480
600
720
840
石子落在草地上的频率
0.33
0.28
0.32
0.31
0.30
0.29
0.30
x
⋯
﹣1
0
2
4
5
⋯
y
⋯
m
2
n
2
p
⋯
a b
﹣2
0
1
﹣2
（﹣2，﹣2）
（﹣2，0）
（﹣2，1）
0
（0，﹣2）
（0，0）
（0，1）
1
（1，﹣2）
（1，0）
（1，1）
红1
红2
白1
白2
红1
红1，红1
红1，红2
红1，白1
红1，白2
红2
红2，红1
红2，红2
红2，白1
红2，白2
白1
白1，红1
白1，红2
白1，白1
白1，白2
白2
白2，红1
白2，红2
白2，白1
白2，白2