2024-2025学年浙江省温州市山海联盟协作学校八年级（上）期中数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年浙江省温州市山海联盟协作学校八年级（上）期中数学试卷（含详解），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，2）
3．（3分）已知x＜y，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．x﹣y＞0B．xm2＜ym2C．D．﹣3x＞﹣3y
4．（3分）对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3
5．（3分）若等腰三角形的两条边长分别是8和16，则它的周长是（ ）
A．40B．32C．32或40D．24
6．（3分）如图，一根长5米的梯子AB斜靠在与地面OC垂直的墙上，点P为AB的中点，当梯子的一端A沿墙面AO向下移动，另一端B沿OC向右移动时，OP的长（ ）
A．逐渐增大B．逐渐减小
C．不变D．先增大，后减小
7．（3分）已知△ABC的三条边分别为a、b、c，三个角分别为∠A、∠B、∠C，则下列选项中不能判定它是直角三角形的为（ ）
A．b2＝a2﹣c2B．∠C＝∠A﹣∠B
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝12：13：5
8．（3分）如图，若AB＝AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AE＝ADC．BE＝CDD．∠AEB＝∠ADC
9．（3分）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（ ）
A．5B．2C．4D．6
10．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝15米，AB＝40米，则BD的长为（ ）米．
A．50B．40C．40D．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）命题“对顶角相等”的逆命题是 ．
12．（3分）用不等式表示“2与m的3倍的和是正数”： ．
13．（3分）在平面直角坐标系中，将点（3，2）向左平移m个单位得到的点的坐标为（﹣4.5，2），则m＝ ．
14．（3分）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，已知AC＝3，BC＝4，则CD的长为 ．
16．（3分）如图，点A的坐标为（8，0），点B从原点出发，沿y轴负方向以每秒1个单位的速度运动，分别以OB，AB为直角边在第三，第四象限作等腰直角三角形OBF、等腰直角三角形ABE（∠FBO＝∠ABE＝90°，连结EF，交y轴于点P，经过t秒时，点F的坐标是 （用含t的代数式表示），PB的长是 ．
三、解答题（本题共有8小题，共72分，请务公写出解答这程
17．（8分）解一元一次不等式组，并把解表示在如图所示的数轴上．
18．（8分）已知：如图，点E，F在CD上，AC＝BD且AC∥BD，CF＝DE．求证：△AEC≌△BFD．
19．（8分）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题．
（1）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，求点P的坐标．
（2）若将点P向上平移3个单位恰好落在x轴上，求点P的坐标．
20．（8分）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（1）在如图所示的△ABC中，作AB边上的垂直平分线EF，交AB于点E，交BC于点F．
（2）在（1）的条件下，连结AF，若AE＝3，△ABC的周长为18，求△ACF的周长．
21．（8分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝45°，AD是底边BC上的高线，CE⊥AB于点E，交AD于点F．
（1）求证：EF＝BE．
（2）若AF＝8，求BD的长．
22．（10分）在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题：
（1）如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？
（2）如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？
23．（10分）【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，若用S1，S2，S3分别表示△ADE，△EBC，△ABE的面积，求证：S1+S2＝S3，”经过小组合作交流，找到了解决方法：“遇平行线+中点，延长构造全等”．
（1）请按照如下的思维框图，完成问题情境中的证明．
【探究应用】
（2）如图2，AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，求BE的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于点E，BM＝MC＝CD，求∠EMC与∠BEM的数量关系．
24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝150°．
（1）如图1，若AB＝8，则△ABC的面积为 .．
（2）如图2，P是腰AC上的一个定点，M，N分别是直线AB，BC上的动点，当△PMN的周长最小时，求∠MPN的度数．
（3）如图3，D为边BC上的一个动点，将△ABD沿AD翻折至△AB′D，连结B′C．当△DB'C为等腰三角形时，求∠BAD的度数．
2024-2025学年浙江省温州市山海联盟协作学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
2．【解答】解：点（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标是（3，2），
故选：A．
3．【解答】解：A、∵x＜y，
∴x﹣y＜0，
故A选项错误；
B、当m＝0时，xm2＝ym2，
故B选项是错误；
C、∵x＜y
∴，
∴，
故C选项错误；
D、∵x＜y，
∴﹣3x＞﹣3y，
故D选项正确；
故选：D．
4．【解答】解：根据题意可知，当a＝﹣3，b＝2时，a2＞b2，但不满足a＞b．
故选：B．
5．【解答】解：当腰长为8时，8+8＝16，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为16时，符合三边关系，其周长为16+16+8＝40．
故该等腰三角形的周长是40．
故选：A．
6．【解答】解：连接OP，
∵OA⊥OC，点B在OC上，
∴∠AOB＝90°，
∵点P为AB的中点，
∴OP＝AB，
∴OP的长不变，
故选：C．
7．【解答】解：A、∵a2﹣c2＝b2，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；
B、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠B+∠C＝∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项错误；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项正确；
D、∵52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；
故选：C．
8．【解答】解：A、根据ASA（∠A＝∠A，∠C＝∠B，AB＝AC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
B、根据SAS（∠A＝∠A，AB＝AC，AE＝AD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；
D、根据AAS（∠A＝∠A，AB＝AC，∠AEB＝∠ADC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
故选：C．
9．【解答】解：解方程3﹣2x＝3（k﹣2）得x＝，
∵方程的解为非负整数，
∴≥0，即k≤3，
不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到k＞﹣1，
∴﹣1＜k≤3，即整数k＝0，1，2，3，
当k＝0时，x＝4.5，不是整数；
当k＝2时，x＝1.5，不是整数，两个k的值不符合题意，舍去；
综上，k＝1，3，
则符合条件的整数k的值的和为4．
故选：C．
10．【解答】解：延长DC交AB于E，过C作CF⊥AB于F，过D作DH⊥AB于H，
∵∠ABC＝45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴BF＝FC＝BC＝×15＝15（米），
∴AF＝AB﹣BF＝40﹣15＝25（米），
∴AC＝＝5（米），
∵AC＝CD，∠ACD＝90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝10（米），
∵∠ACE＝180°﹣90°＝90°，
∴CE2＝EF2+CF2＝AE2﹣AC2，
∴EF2+152＝（25+FE）2﹣，
∴EF＝9米，
∴AE＝AF+EF＝34（米），
∴CE＝＝3（米），
∴DE＝CD+CE＝8（米），
∵△ADE的面积＝AE•DH＝DE•AC，
∴34×DH＝8×5，
∴DH＝40米，
∴AH＝＝10（米），
∴BH＝AB﹣AH＝30（米），
∴BD＝＝50（米）．
故选：A．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为：相等的角为对顶角．
12．【解答】解：根据题意，得2+3m＞0．
故答案为：2+3m＞0．
13．【解答】解：∵将点（3，2）向左平移m个单位得到的点的坐标为（﹣4.5，2），
∴3﹣m＝﹣4.5，
∴m＝7.5．
故答案为：7.5．
14．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则x2＝122+52＝169，
解得：x＝13，
∴“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．
故答案为：76．
15．【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD是△ABC的角平分线，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，
∴×DH×5+×DC×4＝×3×4，
∴5CD+4CD＝12，
∴CD＝．
故答案为．
16．【解答】解：如图，作EN⊥y轴于N，
∵∠ENB＝∠BOA＝∠ABE＝90°，
∴∠OBA+∠NBE＝90°，∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠NBE＝∠BAO，
在△ABO和△BEN中，
，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴OB＝NE＝BF，
∴点F的坐标是 （﹣t，﹣t），
∵∠OBF＝∠FBP＝∠BNE＝90°，
在△BFP和△NEP中，
，
∴△BFP≌△NEP（AAS），
∴BP＝NP，
又∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝BN＝8，
∴BP＝NP＝4，
故答案为：（﹣t，﹣t）；4．
三、解答题（本题共有8小题，共72分，请务公写出解答这程
17．【解答】解：，
由①得，x＞﹣3，
由②得，x≤2，
故不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，
在数轴上表示为：
．
18．【解答】解：∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D，
∵CF＝DE，
∴CF+EF＝DE+EF，
即CE＝DF，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（SAS）．
19．【解答】解：（1）∵点P（2a﹣2，a+5），点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，
∴2a﹣2＝4，
解得a＝3，
∴a+5＝3+5＝8，
∴P（4，8）；
（2）∵将点P向上平移3个单位恰好落在x轴上，
∴a+5+3＝0，
解得a＝﹣8，
∴2a﹣2＝2×（﹣8）﹣2＝﹣16﹣2＝﹣18，a+5＝﹣8+5＝﹣3，
∴P（﹣18，﹣3）．
20．【解答】解：（1）如图，EF为所求；
（2）∵BC的垂直平分线，
∴AF＝BF，BE＝AE＝3，
∴AB＝6，
∵△ABC的周长为18，
∴AB+AC+BC＝18，
∴AC+BC＝12，
∴△ACF的周长＝AF+CF+AC＝BF+CF+AC＝BC+AC＝12．
21．【解答】（1）证明：在等腰三角形ABC中，∠BAC＝45°，AD是底边BC上的高线，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝67.5°，BD＝CD＝BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝22.5°，
∵CE⊥AB，∠BAC＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AE＝CE，∠ACE＝∠BAC＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠BAD＝∠BCE＝22.5°，
∵AD是底边BC上的高线，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠CEB＝90°，
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴EF＝BE；
（2）解：由（1）知：△AEF≌△CEB，BD＝CD＝1/2BC，
∴AF＝BC，
∵AF＝8，
∴BC＝8，
∴BD＝CD＝BC＝4．
22．【解答】解：（1）设装运A种葡萄酒需x辆无人车，装运B种葡萄酒需y辆无人车，
根据题意得：，
解得：．
答：装运A种葡萄酒需13辆无人车，装运B种葡萄酒需11辆无人车；
（2）设用m辆无人车装运A种葡萄酒，用n辆无人车装运B种葡萄酒，则用（40﹣m﹣n）辆无人车装运C种葡萄酒，
根据题意得：6m+8n+9（40﹣m﹣n）＝310，
∴n＝50﹣3m，
又∵m，n，（40﹣m﹣n）均为不小于11的正整数，
∴或或，
∴无人车的装运方案共有3种，
方案1：用11辆无人车装运A种葡萄酒，17辆无人车装运B种葡萄酒，12辆无人车装运C种葡萄酒；
方案2：用12辆无人车装运A种葡萄酒，14辆无人车装运B种葡萄酒，14辆无人车装运C种葡萄酒；
方案3：用13辆无人车装运A种葡萄酒，11辆无人车装运B种葡萄酒，16辆无人车装运C种葡萄酒．
23．【解答】解：（1）分别延长AE，BC交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠ECF＝∠D．
∵E为CD的中点，
∴CE＝DE．
在△FCE 和△ADE中，
，
∴△FCE≌△ADE（ASA），
∴S△FCE＝S△ADE，FE＝AE，
∴S△FBE＝S△ABE
∵S△FBE＝S△FCE+S△EBC＝S△ADE+S△EBC，
∴S△ADE+S△EBC＝S△ABE，
∴S1+S2＝S3．
（2）延长BE与CD相交于点F，则EF＝BE，
证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠ABE＝∠DFE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEB与△DEF中，
，
∴△AEB≌△DEF（AAS），
∴DF＝AB＝6，BE＝EF＝BF，
∴CF＝CD+DF＝18，
∵BC⊥CD，
∴BF＝＝2，
∴BE＝BF＝．
（3）∠EMC＝3∠BEM，
理由是：延长EM交DC的延长线于F，连接DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MCF＝∠B，
在△MCF和△MBE中，
，
∴△MCF≌△MBE（AAS），
∴EM＝FM，
即M是EF的中点，
∵AB∥CD，DE⊥AB，
∴DE⊥FD，
∴△DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，
∴MD＝MF，
∴∠F＝∠MDC，
∵MC＝CD，
∴∠MDC＝∠CMD，
∴∠MCF＝∠MDC+∠CMD＝2∠F．
∴∠EMC＝∠F+∠MCF＝3∠F＝3∠BEM．
24．【解答】解：（1）过B作BW⊥AC于W，如图：
∵∠BAC＝150°，
∴∠BAW＝30°，
∵AB＝8，
∴AC＝8，BW＝AB＝4，
∴S△ABC＝AC•BW＝×8×4＝16，
∴△ABC的面积为16；
故答案为：16；
（2）分别作P关于BC，AB的对称点T，K，连接KT，交AB于M，交BC于N，此时△MNP的周长最小，如图：
∵∠PHM＝∠PGN＝90°，∠B＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
∴∠KPT＝360°﹣∠PHM﹣∠PGN﹣∠B＝360°﹣90°﹣90°﹣15°＝165°，
∴∠K+∠T＝180°﹣∠KPT＝180°﹣165°＝15°，
∵PM＝KM，NP＝NT，
∴∠MPK＝∠K，∠NPT＝∠T，
∴∠MPK+∠NPT＝∠K+∠T＝15°，
∴∠MPN＝∠KPT﹣（∠MPK+∠NPT）＝165°﹣15°＝150°；
（3）设∠BAD＝α，
∵将△ABD沿AD翻折至△AB′D，
∴∠B'AD＝∠BAD＝α，∠B＝∠AB'D＝15°＝∠ACB，AB'＝AB＝AC，
∴∠B'AC＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠B'AD＝150°﹣2α，
∴∠AB'C＝∠ACB'＝（180°﹣∠B'AC）÷2＝α+15°，
∴∠DCB'＝∠ACB'﹣∠ACB＝α，∠DB'C＝∠AB'C+∠AB'D＝α+30°，
①当CD＝B'C时，如图：
∴∠CDB'＝∠DB'C＝α+30°，
∵∠DB'C+∠CDB'+∠DCB'＝180°，
∴α+30°+α+30°+α＝180°，
∴α＝40°，
∴∠BAD＝40°；
②当B'D＝B'C时，如图：
∴∠B'DC＝∠DCB'＝α，
∵∠B'DC+∠DCB'+∠DB'C＝180°，
∴α+α+（α+30°）＝180°，
∴α＝50°，
∴∠BAD＝50°，
③当CD＝B'D＝BD时，D为BC中点，此时AD⊥BC，B'与C重合，这种情况不存在；
综上所述，∠BAD的度数为40°或50°．
葡萄酒种类
A
B
C
每辆无人车装载量（箱）
6
8
9