浙江省杭州市萧山城区8校联考2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题(含解析)

这是一份浙江省杭州市萧山城区8校联考2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
2．下列计算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，下面哪个条件能判断的是（ ）

A．B．C．D．
4．方程2x+y=8的正整数解的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．已知，则的值为（ ）
A．B．C．5D．1
6．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍.”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊一样多.”两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来．请问甲乙各有多少只羊呢？设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
7．下列多项式的乘法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B=90°，AB=6，DH=3，平移距离为4，则阴影部分的面积为（ ）
A．12B．16C．18D．24
9．若（3x+2）（3x+a）的化简结果中不含x的一次项，则常数a的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
10．如图，已知直线ABCD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，EM平分∠AEF交CD于点M．G是射线MD上一动点（不与点M，F重合）．EH平分∠FEG交CD于点H，设∠MEH=α，∠EGF=β．现有下列四个式子：①2α=β，②2α-β=180°，③α-β=30°，④2α+β=180°，在这四个式子中，正确的是（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．②③④
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．已知二元一次方程，用含的代数式表示，则 ．
12．已知与的两边分别平行，其中为，的为，则 度．
13．如图，，则∠1、∠2、∠3的关系为 ．
14．若，且，则 ．
15．两个小长方形如图①摆放，重叠部分是边长为b的正方形，阴影部分的面积为s，四个小长方形如图②摆放，左上角形成的是边长为b的正方形，此阴影部分面积为，另一阴影部分的面积为，则之间的数量关系为 ．
16．已知关于x，y的二元一次方程的解如表：
关于x，y的二元一次方程的解如表：
则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
三、解答题（本大题有8个小题，共66分）
17．解下列方程组：
(1)；
(2)．
18．计算：
(1)
(2)
19．图①、图②均为5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位，的顶点均在格点上，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺按要求作图并解答．

(1)在图①中过点B画线段的平行线．
(2)将向右上方平移，使点B平移到点，
①请在图②中画出经平移后得到的；
②在平移过程中，线段扫过的面积为________．
20．（1）已知，求代数式的值．
（2）已知，求代数式的值．
21．已知：如图所示，和的平分线交于E，交于点F，．
(1)求证：；
(2)试探究与的数量关系．
22．已知关于的二元一次方程组．
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求的值；
(3)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解．
23．【阅读材料】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．比如：我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了图1的等式：．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式： ；
(2)如图3，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则可以拼成的正方形中边长最长为 ．
(3)利用图2得到的结论，解决问题：
若实数满足，，求的值．
24．（1）【问题】
如图1，若，，．求的度数；
（2）【问题迁移】
如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
参考答案与解析
1．D
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
2．C
【分析】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【详解】解：当∠1=∠2时，EF∥AC；
当∠4=∠C时，EF∥AC；
当∠1+∠3=180°时，DE∥BC；
当∠3+∠C=180°时，EF∥AC；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
4．B
【详解】解：先用含x的代数式表示y为：y=8－2x；
当x=1时，y=6；
当x=2时，y=4；
当x=3时，y=2.
一共3组.
故选：B.
5．A
【分析】先计算求出，再代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的法则，多项式乘以多项式，用第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，再合并同类项，熟知法则是解题的关键．
6．D
【分析】根据题意列出相应的二元一次方程组即可
【详解】解：设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意得：
故选：D
【点睛】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，正确找到等量关系是关键
7．D
【分析】根据多项式乘法的运算法则以及完全平方公式即可求出答案．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
8．C
【分析】先根据平移的性质可得，，再根据线段和差可得，然后根据阴影部分的面积为即可得．
【详解】解：由平移的性质得：，，
，
，
则阴影部分的面积为
，
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．
9．A
【分析】先用多项式乘以多项式的法则展开，然后合并同类项，不含x的一次项，就让x的一次项的系数等于0．
【详解】解：（3x+2）（3x+a）
＝9x2+3ax+6x+2a
＝9x2+（3a+6）x+2a，
∵不含x的一次项，
∴3a+6＝0，
∴a＝﹣2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘积中不含某一项，就是该项的系数等于0是解题的关键．
10．B
【分析】分两种情况讨论，即当G在F左侧时，当G在F的右侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义分别求出2α=β或2α+β=180°，则可作出判断.
【详解】解：如图，当G在F左侧时，
∵∠MEH=∠MEF-∠HEF=∠AEF-∠GEF= α ，
∠EGF=∠GEB=∠AEG=∠AEF-∠GEF=β ，
∴2α=β， 故①正确；
如图，当G在F的右侧时，
∵∠MEH=∠MEF+∠HEF=∠AEF+∠GEF= α ，
∠EGF=∠GEB=180°-∠AEG=180°-∠AEF-∠GEF=β ，
∴2α+β=2(∠AEF+∠GEF)+180°-∠AEF-∠GEF=180°， 故④正确；
综上所述，正确的是①④ ；
故选：B.
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质．
11．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12．80或60##60或80
【分析】本题考查的是平行线的性质，在解答此题时要注意分类讨论．分与两种情况进行讨论即可求解．
【详解】解：（1）如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
此时；
（2）如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
此时；
综上分析可知：或．
故答案为：80或60．
13．
【分析】根据可得，，又因为，所以可得．
【详解】解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，正确判断角之间的关系是解答本题的关键．
14．
【分析】根据，，且，进行计算即可得到答案．
【详解】解：，，且，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，解题的关键是利用完全平方公式变形得到．
15．
【分析】根据题意分别求出图①和图②中阴影部分的面积即可得到答案．
【详解】解：由图①可得，
由图②得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，正确求出2个图形中的阴影部分面积是解题的关键．
16．
【分析】此题考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，解题的关键是能通过两个表格将关于x，y的二元一次方程组变为，解方程组即可得出答案．
【详解】解：∵从第一个表格中可知，当时，，时，，
∴，
解得：，
把代入得：
，
整理得：，
∵从第二个表格中可知，当时，，时，，
∴，
解得：，
把代入得：
，
整理得：，
①和②组成方程组，
解得：
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算．
（1）用代入消元法解二元一次方程组；
（2）用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】（1）解：，
由②得：，
把③代入①得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为：．
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据单项式乘单项式，积的乘方运算即可；
（2）根据平方差公式，单项式乘多项式的计算，化简即可；
【详解】（1）解：
；
（2）
；
【点睛】本题考查了整式的运算，涉及到单项式乘单项式，单项式乘多项式，积的乘方，平方差公式，掌握积的乘方，平方差公式的运算法则是解题的关键；
19．(1)见解析
(2)①见解析；②9
【分析】（1）利用网格取格点，连接即可．
（2）①根据平移的性质作图即可．②连接，，取格点，则线段扫过的面积为，结合三角形面积公式可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）①如图，即为所求．

②连接，，取格点，
线段扫过的面积为．
故答案为：9．
【点睛】本题考查作图平移变换、平行线的判定与性质，熟练掌握平移的性质、平行线的判定与性质是解答本题的关键．
20．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，注意整体思想的应用．
（1）先将变形为，然后整体代入求值即可；
（2）先将变形为，再由，得出，然后整体代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
．
（2）解：
，
，
∴原式．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）已知、平分和，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行．
（2）已知，即；那么，将等角代换，即可得出与的数量关系．
【详解】（1）证明：∵、平分和，
∴，；
∵，
∴，
∴；（同旁内角互补，两直线平行）
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，难度不大．
22．(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）先判断出为偶数，再求出的取值范围，然后确定值；
（2）求出与的解，然后代入，最后求出；
（3）将含有的项提出，使其为求解．
【详解】（1）由可得：，
为偶数，
为偶数，
为偶数，
，
，
∴
或；
（2），
，
把代入得：
，
解得：，
，
把代入得：
，
解得：
（3），
当时，，
固定解为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的知识，有一定的难度，掌握代入消元法是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键．
（1）用两种不同的方法表示出大正方形的面积，即可得出结论；
（2）利用完全平方公式进行求解即可；
（3）根据，得出，根据，得出，代入数据求值即可．
【详解】（1）解： 由图2知，大正方形的面积，
大正方形的面积个边长分别为a、b、c的正方形的面积个长和宽分别为a、b小长方形的面积个长和宽分别为a、c小长方形的面积个长和宽分别为b、c小长方形的面积，
∴；
故答案为：．
（2）解：∵有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片，
又∵，
∴从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形，可以拼成的正方形的最大边长为．
故答案为：．
（3）解：∵，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴
即，
∵
∴．
24．（1）；（2），见解析；（3）
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
（1）过点P作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
（2）过P点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解；
（3）过点G作的平行线．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解．
【详解】解：（1）如图1，过点P作，
，，
CD∥PQ．
，
又，
，
；
（2），
理由：如图2，过P点作，则，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，过点G作的平行线．
，，
，
，∠HGF=∠CFG，
又的平分线和的平分线交于点G，
，，
由（2）得，，
．
x
…
0
1
…
y
…
4
2
…
x
…
0
1
…
y
…
4
1
…