2023~2024学年山东省菏泽市牡丹区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省菏泽市牡丹区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1. 下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形B. 对角线互相垂直且平分的四边形
C. 对角线相等的四边形D. 对角线相等且互相平分的四边形
【答案】B
【解析】A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，不能判定是菱形，不符合题意；
B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，符合题意；
C.对角线相等的四边形不能判定是菱形，不符合题意；
D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，不能判定是菱形，不符合题意；
故选：B．
2. 下列等式是一元二次方程的为( )
①；
②；
③；
④．
A. ①B. ①②C. ①②③D. ①②③④
【答案】B
【解析】①，是一元二次方程；
②，是一元二次方程；
③，是一元一次方程；
④，不是一元二次方程；
所以，上列等式是一元二次方程的为①②，
故选：B．
3. 一个不透明的口袋中装有个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
故选：A．
4. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，则于H，则等于（ ）

A. B. C. 5D. 4
【答案】A
【解析】∵四边形为菱形，，，
∴，
∴，，
∵，
∴在中，由勾股定理可得，
∵，
∴，∴，
∴．故选：A．
5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，，都在横线上.若线段，则线段的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，

则，即，
解得：，
．
故选：C．
6. 如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，的三边为3、4、5，而，
为直角三角形，
，
而四边形为正方形，
，
，，
，
，
，即，
设为，则是，
是，
三角形直角三角形，
，
，
，
．
故选：D．
7. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】B
【解析】当时，原方程可化为：
，该方程有解；
符合题意；
当时，由题意可得：，
，
解得：，综上可得：，
故选：B．
8. 如图,在平面直角坐标系中,菱形的边长为2,点A在第一象限,点在轴正半轴上，，若将菱形绕点顺时针旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图：作.轴于H点，连接，作轴于D点，
∵四边形为菱形，
∴平分，
∴=30°，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∵菱形绕原点O顺时针旋转至第四象限的位置，
∴，
∴，
∴等腰直角三角形，
∴，
∴点的坐标为．
故选：A．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
9. 方程的解是___________．
【答案】
【解析】将原方程移项得：，
提取公因式得：，
∴，
解得：，
故答案为：．
10. 游客甲与游客乙将游玩菏泽牡丹园中的“古今园，百花园，曹州牡丹园”这三园中的一园，求他们游玩同一个园的概率______．
【答案】
【解析】设古今园、百花园、曹州牡丹园分别为A、B、C，如图，

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中甲、乙恰好游同一个园的等可能结果有3种， 所以甲、乙恰好游同一个园的概率为，
，
故答案为：．
11. 如图，与位似，点为位似中心，若的周长为，则的周长为___________．

【答案】
【解析】∵与位似，
∴，
∵，
∴，∴，
∴，
∵的周长为，
∴的周长为，
故答案为：．
12. 如图,中,,,D是上一点，于点E，于点F，连接，则的最小值为______．

【答案】
【解析】如图，连接．

∵，，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，解得，
∴线段的最小值为．
故答案为：．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．
【答案】10
【解析】如图，设与的交点为，
根据作图可得，且平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又， ，
，
，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
为的中点，
中， ，，
，
，
四边形AECF的周长为．
故答案为：．
14. 如图，正方形ABCD的边长是3，，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①；②；③；④当时，则，其中正确结论的是______（请将正确的结论序号填写在横线上）．
【答案】①③④
【解析】四边形是正方形，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即，故①正确；
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
不一定等于，故②不正确；
在和中，
，
，
，
即，故③正确；
，，
，
，
正方形中，，
，
，
，
，
，，
，
，
，故④正确，
所以其中正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题（本题共10个小题，共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
15. 用适当的方法解一元二次方程：
(1)；(2).
解：(1)
或
解得，；
(2)，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，；
16. 已知：关于的一元二次方程（为常数）．
（1）证明：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
解：（1）∵，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为，
∴，
∴，
即方程的另一个根为．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、，．

（1）画出将向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的相似比为；
（3）若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（2）的变化后点的对应点的坐标（用含a、b的代数式表示）．
解：（1）如图所示，为所求三角形．
（2）如图所示，为所求角形．
（3）由题意可知，且相似比为，
∴当点的坐标为时，对应点的坐标为：．

18. 如图，已知菱形的对角线相交于点，延长AB至点，使，连接CE．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
解：（1）菱形，
，，
又，，，
四边形是平行四边形，；
（2）平行四边形，
，
，
又菱形，
，
．
19. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边BC上一点，连接BD、AE，它们相交于点F，且∠BDA＝∠BAE．
（1）求证：BE2＝EF•AE；
（2）若BE＝4，EF＝2，DF＝8，求AB的长．
解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∵∠ADB=∠BAE，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠EBF=∠BAE，即∠BEF=∠BEA，
∴△EBF∽△EAB，
∴EB：EA=EF：EB，
∴BE2=EF•AE；
（2）∵BE2=EF•AE，
∴AE===8，
∴AF=AE﹣EF=8﹣2=6，
∵BE∥AD，
∴=，即=，解得BF=，
∵△EBF∽△EAB，
∴=，即=，
∴AB＝．
20. 某农场要建一个饲养场(矩形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为)，另外两边用木栏围成，中间用木栏隔成两个小矩形并在如图所示的两处各留宽的门(不用木栏)，建成后木栏总长．
（1）若饲养场(矩形的面积为，求边的长；
（2）小芳说：“饲养场的面积能达到．”若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由．
解：（1）设边CD的长为，则AD的长为，
由题意，得：，解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，∴边CD的长为；
（2）不能，理由如下：由题意，得：，
整理得：，
∵，∴该方程无解，不符合题意；
∴饲养场的面积不能达到．
21. 2023年杭州亚运会球类比赛中，有A排球，B篮球，C足球，D羽毛球，E乒乓球五种比赛很受我校同学们喜爱．小熙同学随机对我校同学在亚运会期间最想观看的一种球类比赛做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：

（1）直接写出本次随机调查的总人数，并补全条形统计图；
（2）若我校学生约有1600人，试估计想观看B种比赛的学生约有多少人？
（3）小熙同学在10月2号到杭州观看亚运会比赛，发现当天有比赛的是A，B，D，E四种比赛，若从中任选两种比赛观看，求选到B，E两种比赛的概率．（要求画树状图或列表求概率）
解：（1）本次随机调查的总人数是（人），
想观看比赛的人数为（人），
补全条形图如下：

（2）估计想观看B种比赛的学生约有（人）；
（3）画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到B，E两种比赛的有2种结果，
所以选到B，E两种比赛的概率为．
22. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
解：（1）设四、五这两个月销售量月平均增长百分率为，由题意，得：
，
解得：或（舍去）；
答：四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为；
（2）设降价元，由题意，得：，
解得：或（舍去）；
答：应降价5元．
23. 如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间t（秒）．
（1）则___________，___________（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于？
解：（1）根据题意，，
当点P未到点C时，；
当点P在点C右边时，；
故答案为：，或．
（2）若点P、Q分别沿延线段运动时，
，
即，
解得：（秒），
若点P在点C右边时，，
则，
解得：（秒），
故当或秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等．
24. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片的边所在的射线上一动点，将正方形沿着折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线于点P．
判断：根据以上操作，图1中与的数量关系：______．
（2）迁移探究
在（1）条件下，若点E是的中点，如图2，延长交于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段的长度，如果不确定，说明理由；
（3）拓展应用
在（1）条件下，如图3，，交于点G，取的中点H，连接，求的最小值．
解：（1）如图，设，交于点，

由轴对称性质可得：，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）点的位置确定，，理由如下：

连接，由折叠可知：，，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，，，
∴，
∴，
∴；
（3）取的中点，再取的中点，连接，，，

∵，
∴，
∵点是的中点，则是的中位线，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴当、、共线时，的最小值为．