8 数学广角——找次品（讲义） 五年级下册数学人教版

五年级下册数学“数学广角——找次品”讲义一、基础知识讲解在日常生活和工业生产中，我们经常需要对一批产品进行检查，以找出其中的次品。这类问题在数学上通常被称为“找次品”问题。解决这类问题的关键是运用逻辑推理和数学方法，以最少的检测次数找出次品。解决找次品问题的一般步骤是：明确问题：了解产品的总数、次品的数量以及检测的条件。制定策略：根据问题的特点，确定检测的顺序和方法。执行检测：按照制定的策略进行检测，并记录结果。分析结果：根据检测结果，分析并确定次品的位置。在解决找次品问题时，常用的数学方法包括分组法、称重法等。这些方法需要根据具体问题的特点进行选择和应用。二、例题解析例1：有9个外观完全相同的乒乓球，其中一个是次品（次品较轻），现在有一架天平，你最少称几次一定能找出这个次品乒乓球？解析：我们可以将9个乒乓球分为三组，每组3个。第一次称重：选择两组各3个的乒乓球进行称重。情况A：如果两边平衡，说明这6个乒乓球都是正常的，次品乒乓球一定在未被称重的那组3个里。情况B：如果两边不平衡，说明次品乒乓球一定在较轻的那组3个里。第二次称重：从第一次称重确定的那组3个乒乓球中任取2个进行称重。情况A：如果两边平衡，说明这两个乒乓球都是正常的，次品乒乓球就是未被称重的那个。情况B：如果两边不平衡，较轻的那个就是次品乒乓球。因此，最少称2次一定能找出这个次品乒乓球。例2：有12瓶矿泉水，其中有一瓶是次品（次品较重），现在有一架天平，你最少称几次一定能找出这个次品矿泉水？解析：首先，我们可以将12瓶矿泉水分为三组，每组4瓶。第一次称重：选择两组各4瓶的矿泉水进行称重。情况A：如果两边平衡，说明这8瓶矿泉水都是正常的，次品矿泉水一定在未被称重的那组4瓶里。情况B：如果两边不平衡，说明次品矿泉水一定在较重的那组4瓶里。第二次称重：从第一次称重确定的那组4瓶矿泉水中再分为三组，分别为1瓶、1瓶、2瓶，将两组各1瓶的矿泉水进行称重。情况A：如果两边平衡，说明这两瓶矿泉水都是正常的，次品矿泉水一定在剩下的那组2瓶里。情况B：如果两边不平衡，较重的那一瓶就是次品矿泉水。第三次称重（仅当第二次称重后次品在剩下的2瓶中时）：将剩下的2瓶矿泉水进行称重，较重的那瓶就是次品矿泉水。因此，最少称3次一定能找出这个次品矿泉水。三、表格汇总以下是关于找次品问题的一些常见策略和方法的表格汇总：表1：找次品问题常用策略表2：找次品问题示例四、考法技法提炼明确问题条件：在解决找次品问题时，首先要明确产品的总数、次品的数量以及次品的特征（如轻重、颜色等）。这些信息是制定检测策略的基础。制定合理策略：根据问题的条件，制定合理的检测策略。一般来说，分组法和称重法是解决找次品问题的常用方法。在实际应用中，可以根据问题的特点灵活运用这两种方法。注意逻辑推理：在解决找次品问题时，逻辑推理是非常重要的。通过逻辑推理，我们可以根据已知信息推断出未知信息，从而更快地找出次品。总结规律：在解决多个找次品问题后，可以总结规律，以便在遇到类似问题时能够更快地找到解决方法。五、易错题解析例3：有27盒外观相同的巧克力，其中有一盒少了两块，如果用天平称，至少称几次可以找出少两块巧克力的那盒？错误解法：有的学生可能会直接将27盒巧克力分为三组，每组9盒进行称重。然而，这样并不能在第一次称重中直接找出少两块巧克力的那盒，因为即使确定了哪一组较轻，也还需要进一步称重来找出具体的那一盒。正确解法：首先，将27盒巧克力分为三组，每组9盒。第一次称重，选择两组各9盒的巧克力进行称重。确定出较轻的那一组后，再将这9盒巧克力分为三组，每组3盒。第二次称重，选择两组各3盒的巧克力进行称重。最后，将确定出的较轻的那组3盒巧克力中的任意两盒进行称重，如果平衡，则剩下的一盒就是少了两块巧克力的；如果不平衡，较轻的一盒就是目标。因此，至少称3次可以找出少两块巧克力的那盒。易错点：未考虑到在确定了较轻的一组后，还需要进一步细分并进行称重。六、针对练习有15个零件，其中一个是次品（次品较轻），用天平至少称几次可以保证找出次品？请写出你的称重策略。有28袋食盐，其中一袋是不合格的（不合格的那袋较轻），现在有一架天平，你至少称几次一定能找出这袋不合格的食盐？请说明你的称重步骤。有一个外形完全相同的钢珠，其中有一个是空心的（比其他的轻），现有无砝码的天平一架，最少称几次能找出这个空心钢珠？答案及解析1.【答案】至少称3次可以保证找出次品。称重策略：首先，将15个零件分为三组，每组5个。第一次称重，选择两组各5个的零件进行称重。如果平衡，则次品在未被称重的那组5个里；如果不平衡，则次品在较轻的那组5个里。然后，将确定的那组5个零件再次分为三组，分别为2个、2个、1个。第二次称重，选择两组各2个的零件进行称重。如果平衡，则剩下的那1个零件就是次品；如果不平衡，则次品在较轻的那组2个里。最后，将确定的那组2个零件进行第三次称重，较轻的那个就是次品。2.【答案】至少称3次一定能找出这袋不合格的食盐。称重步骤：首先，将28袋食盐分为三组，分别为9袋、9袋、10袋。第一次称重，选择两组各9袋的食盐进行称重。如果平衡，则不合格的食盐在未被称重的那组10袋里；如果不平衡，则不合格的食盐在较轻的那组9袋里。然后，根据第一次称重的结果，将确定的那组食盐再次分组并称重，直到找出不合格的食盐为止。3.【答案】最少称2次能找出这个空心钢珠。首先，将钢珠分为三组，每组数量尽可能相等。如果总数是奇数，则有一组会比其他两组少一个。进行第一次称重，选择两组数量相同的钢珠进行称重。如果平衡，则空心钢珠在未被称重的那组中；如果不平衡，则空心钢珠在较轻的那组中。然后，从确定的那组钢珠中任选两个进行第二次称重，如果平衡，则剩下的那个就是空心钢珠；如果不平衡，则较轻的那个就是空心钢珠。总结：解决找次品问题时，关键是要根据产品的数量和次品的特征制定合理的称重策略。通过分组和逐步缩小范围的方法，可以有效地找出次品。同时，要注意逻辑推理的运用，以便更快地确定次品的位置。策略描述适用情况分组法将产品分成若干组进行称重比较产品数量较多，且可以分组进行称重时称重法使用天平对产品进行称重，比较重量差异次品与正常产品在重量上有明显差异时逻辑推理法根据已知信息进行逻辑推理，确定次品的位置问题条件复杂，需要综合运用多种信息时示例编号产品总数次品数量次品特征称重次数策略19个乒乓球1个较轻2次分组法+称重法212瓶矿泉水1瓶较重3次分组法+称重法