2025届江西省萍乡市高三(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2025届江西省萍乡市高三(上)期中考试数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】由可得，所以．
故选：C．
2. 已知集合，，若，则（ ）
A. 6B. 4C. D.
【答案】B
【解析】，，
因为，所以，则，
故选：B．
3. 已知直线，与平面满足，，对于下列两个命题：①“”是“”的充分不必要条件；②“”是“”的必要不充分条件.判断正确的是（ ）
A. ①，②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题D. ①，②都是假命题
【答案】A
【解析】①若，则“”“”，
反之，“”推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件，故①是真命题；
②若，则“”“”，
反之，“”推不出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，故②是真命题．故选：A．
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】定义域为，，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称，可排除BC；
，可排除D.
故选：A.
5. 已知，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，，
所以
．
故选：D．
6. 已知平面向量，，，若，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，解得，
所以，所以在上的投影向量为．
故选：D．
7. 已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数恰有5个零点，所以方程有5个根．
设，结合fx图象可得至多有三根，则方程化为，此方程有两个不等的实根，，
结合的图象可知，，，
令，
则由二次函数的零点的分布情况得：解得．
故选:B．
8. 已知数列是等比数列，且，，，成等差数列．若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. （0，1）B.
C. D.
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，依题意，，又，
可得，解得，所以，
所以．
当为偶数时，由，得，
所以对任意的偶数成立，
因为单调递减，所以当时取最大值，
故；
当为奇数时，由，得，
所以对任意的奇数成立，
因为单调递增，且当是无限接近于12，故．
综上所述，．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知实数，，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，因为，所以指数函数在上为减函数，
所以，即，故A错误；
对于B，因为幂函数在上为增函数，所以，即，故B正确；
对于C，因为，所以，，所以，故C正确；
对于D，取，，可得，，不满足，故D错误．
故选：BC．
10. 若函数图像的两相邻对称轴间的距离为，且图像关于点中心对称，将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则（ ）
A. 在区间上单调递减
B. 在区间上有两个极值点
C. 的图像与的图像关于直线对称
D. 直线是曲线的切线
【答案】ABD
【解析】由题知，的最小正周期为，所以，
所以，
又的图像关于点对称，所以，
即，，
因为，所以，故．
令，解得，
故在上单调递减，故A正确；
，令，得，，
所以在区间上有两个极值点和，故B正确；
因为，，
所以的图像与的图像不关于直线对称，故C错误；
，令，解得或，，
故曲线在点处的切线斜率为，
故切线方程为，即，故D正确．
故选：ABD．
11. 已知函数，函数的定义域为，且在区间上单调递减，若的图像关于直线对称，则（ ）
A. 的图像关于轴对称
B. 的图像关于原点对称
C. 若恒成立，则或
D.
【答案】AD
【解析】因为函数的定义域为，的图像关于直线对称，
通过整体向右平移2个单位长度，所以关于对称，为偶函数．
又在区间上单调递减，所以在区间上单调递增．
易知函数在上单调递增，
又，所以是上的奇函数．
对于A，由于，所以为偶函数，
其函数图像关于轴对称，故A正确；
对于B，，所以为偶函数，
易知不恒成立，所以的图像不关于原点对称，故B错误；
对于C，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且为偶函数，由恒成立，
得恒成立，
又，所以，解得，故C错误；
对于D，令，则，
当时，，所以在区间上单调递增，
所以，即，即，
所以，所以，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知正数满足，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】（当且仅当，即，时取等号），
，（当且仅当，时取等号），即的最小值为.
13. 用铁水灌注上、下底面的边长分别为和的正四棱台工件，若其侧面梯形的高为，则所需铁水的体积为_____．（灌注过程中铁水无额外损耗）
【答案】
【解析】如图，在正四棱台中，，，，
，分别为侧面上的高以及棱台的高，则，，
在等腰梯形中，，
等腰梯形中，过作，垂足为，
则，
所以，
所以该正四棱台的体积为，
即所需铁水的体积为．
14. 设，且，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】，
令，则，且，
所以，
因为是上的减函数，所以，
即．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．
（1）证明：，，，四点共面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
解：（1）如图，取的中点，连接，，
则，
在正方体中，，，
所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以，，，四点共面．
（2）如图，延长交的延长线于点，
延长交的延长线于点，
连接，，，则点在上．
不妨设正方体的棱长为，
则，，，，
所以是的中点，
所以，，
所以是平面与平面的夹角．
因为平面平面，
所以，
所以．
16. 如图，在平面四边形中，，，，．
（1）求四边形的周长；
（2）求四边形的面积．
解：（1）因为，，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以四边形的周长为；
（2）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以四边形的面积为．
17. 已知首项为1的正项数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列bn的前项和为，证明：．
解：（1）因为，，且，
所以，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
所以，
因为，所以，且，
所以是首项和公差均为1的等差数列，即有．
（2），
所以，
两式相减得，
所以，因为，
所以．
18. 已知函数．
（1）证明：的图象与轴相切；
（2）设．
（i）当时，求函数的单调区间；
（ii）若在上恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）的定义域为0,+∞，
所以，令，解得，
当时，f'x>0，单调递增；当时，f'x0，hx单调递增，
又，得，
则，
所以，即实数的取值范围为．
19. 定义：多面体在点处离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，．
（1）求四棱锥在顶点处的离散曲率；
（2）求四棱锥内切球的表面积；
（3）若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围．
解：（1）因为平面，平面，所以，
因为，则．
因为平面，平面，所以，
又，，、平面，所以平面，
又平面，所以，即，
由离散曲率的定义得．
（2）因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，
设四棱锥表面积为，
则
．
设四棱锥的内切球的半径为，
则，
所以，
所以四棱锥内切球的表面积．
（3）如图，过点作交于点，连接，
因为平面，
所以平面，
则为直线与平面所成的角．
易知，当与重合时，；
当与不重合时，设，
在中，由余弦定理得
因为，所以，所以，则，
所以．
当分母最小时，最大，即最大，此时（与重合），
由，得，即，
所以的最大值为，
所以直线与平面所成角的取值范围为．