甘肃省庆阳市2024—2025学年上学期九年级数学期中考试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省庆阳市2024—2025学年上学期九年级数学期中考试卷（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了本试卷共120分，请将各题答案填在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共120分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填在答题卡上．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现．在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（ ）
A. 三叶玫瑰线B. 笛卡尔心形线
C. 蝴蝶曲线D. 四叶玫瑰线
【答案】D
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
2. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. B. C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤．先根据一元二次方程解的定义，把代入关于的一元二次方程得关于的方程，解方程即可．
【详解】解：把代入关于的一元二次方程得：
，
，
故选：C
3. 方程的解为（ ）
A. B. 或C. D. 或4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法即可求解．
【详解】解：，
，
，
即或，
故选B．
4. 将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查图形旋转，分析出图中图形的构造方式即可求解．
【详解】解：此图形可看作由一个基本图形旋转组成的，故这个角度可以是或的整数倍，
故选C．
5. 一元二次方程配方后可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．将常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：
则
∴，
故选：B．
6. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么得到抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”是解答此题的关键．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为，
故选C．
7. 如图所示的抛物线可能是下面哪个二次函数的图象（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，
先根据抛物线开口向上可知，可排除C，D，再根据对称轴的位置可知a，b同号，即可得出答案．
【详解】∵抛物线的开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，
∴A，B符合题意．
∵对称轴在y的左侧，
∴a，b同号，
即，
所以符合题意．
故选：A．
8. 如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，先求出旋转角，再根据可得答案．
【详解】根据旋转性质可知，
∵，
∴．
故选：B．
9. 如图，现将一幅长，宽的照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同，均为，已知矩形衬纸的面积为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意可得衬纸的长为，宽为，再根据面积等于420列出方程即可．
【详解】根据题意，得，
故选：A．
10. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上……依次进行下去．若点，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了点的坐标规律变换，勾股定理，首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，每偶数之间的相差个单位长度，根据这个规律即可求得的坐标，通过图形旋转，找到点坐标的变化规律是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∴的横坐标为，且，
∴的横坐标为，且，
，
∴点的横坐标为，且，
∴点的坐标为，
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，理解并掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题关键．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点的坐标为．据此可以直接得到答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
13. 抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与轴的另一个交点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的对称性，解题关键是明确二次函数的对称性，根据关于对称轴对称点的坐标特征解答．根据对称性可直接求出坐标．
【详解】解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∵抛物线对称轴是直线，
∴抛物线与轴的两个交点关于直线对称，
∴，
解得：，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
故答案为：．
14. 如图，四边形是边长为的正方形，是上一点，，将绕点顺时针旋转到与重合，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，勾股定理的应用，掌握旋转变换的性质是解题的关键．根据旋转变换的性质求出、，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由旋转变换的性质可知，，而四边形是正方形，
，，
，
，，共线，
根据题意得：，，
，，
．
故答案为：．
15. 关于二次函数，当时，的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据二次函数的性质，可以得到当时，取得最大值，再分别计算出和时的函数值，比较即可．
【详解】解：二次函数，
该函数图象开口向下，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，取得最大值，
当时，，当时，，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
16. 生物学研究表明：在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定的温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值（单位：）与温度（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度为________时，该种酶的活性最强．
【答案】14
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．将化为顶点式求解即可．
【详解】解：，
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，的最大值为，
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：方程变形得：x（x-7）=0，
可得x=0或x-7=0，
解得：x1=0，x2=7．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18. 用公式法解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】先确定系数，，的值，计算出根的判别式，由根的判别式大于0得到方程有解，然后将，，的值代入求根公式即可求出方程的解．
【详解】解：由题意得，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
即，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式及找出方程二次项系数，一次项系数及常数项的值是解题关键．
19. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，
先设抛物线的顶点式，将顶点坐标代入，再将点代入，即可求出答案．
【详解】解：设抛物线的顶点式，
∵抛物线的顶点坐标是，
∴抛物线的关系式为．
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的关系式为．
20. 若是关于一元二次方程的一个根．
（1）求的值；
（2）求方程的另一个根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）将代入得到，即可求解；
（2）由得方程为，因式分解法即可求解．
【小问1详解】
解：∵是元二次方程的一个根，
∴将代入得，，
解得：；
【小问2详解】
解：∵，
∴方程为，
解得：，
∴方程的另一个根为．
21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将绕某点旋转后得到，其中点的对应点是，则旋转中心的坐标是 ；
（2）画出关于原点对称的．
【答案】（1）
（2）作图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转作图，作中心对称图形，
（1）连接，并作的垂直平分线，连接，并作的垂直平分线，交于点D，可得坐标；
（2）作三个顶点关于原点对称的点，再依次连接即可．
【小问1详解】
解：如图所示，旋转中心的坐标是．
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图所示，是所求作的图形．
22. 已知一个二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：

（1）这个二次函数的解析式是______ ；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像；
（3）当时，的取值范围为______ ．
【答案】（1）
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，可设解析式为，然后再选择一个合适的值代入求解即可；
（2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可；
（3）根据，0时的函数值，再结合可知当时，，即可写出的取值范围．
【小问1详解】
解：由题意可得二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的顶点式为：，
把点代入得，解得，
抛物线解析式为，即；
【小问2详解】
解：如图所示：
【小问3详解】
解：，
∵对称轴为，，
∴，
当时，；当时，，开口向上，离对称轴越远函数值越大，
当时，的取值范围是．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 随着《初见庆阳》宣传片在各媒体的播放，优美的生态风光，极具特色的农村文旅产业备受大众青睐．2024年8月份华池县某民宿的营业额为4万元，随着大批游客的到来，营业额稳步提升，10月份的营业额达到5.76万元，求该民宿8月份9月份营业额的月平均增长率．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，
先设8月份9月份的营业额的月平均增长率为x，根据题意得出形如的方程，再求出解即可．
【详解】解：设8月份9月份的营业额的月平均增长率为x，根据题意，得
，
解得，
所以8月份9月份的营业额的月平均增长率为．
24. 如图，是等边内一点，，，，线段绕点逆时针旋转到，连接，．
（1）求的长；
（2）求的度数．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理：
（1）根据旋转前后对应边相等证明是等边三角形，即可求解；
（2）先证，推出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解．
【小问1详解】
解：线段绕点逆时针旋转到，
，，
是等边三角形，
；
【小问2详解】
解：是等边三角形，
，，
由（1）知，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
是直角三角形，
25. 中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒．
（1）设售价每盒下降x元，则每天能售出多少盒？（用含x的代数式表示）；
（2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润最大？
【答案】（1）
（2）166元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用、列代数式．
（1）根据每盒月饼降价1元，商场每天就可以多售出5盒．列出代数式即可；
（2）设月饼每盒售价下降元，则每天能售出盒，单件利润为元，列出利润的表达式，求最大值即可；
【小问1详解】
解：∵当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒，如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒，
∴售价每盒下降x元，则每天能售出盒；
【小问2详解】
解：设销售利润为y元，由题意可得：
降价前，单件利润为：元，
降价后，单件利润元，每天能售出盒，
则：，
整理得：
当时，元，此时售价为元，
答：当月饼每盒售价为166元时，每天的销售利润最大为3380元．
26. 在同一平面内，和按如图1所示的方式放置，其中．将绕着边的中点旋转得到，将绕着边的中点旋转得到，如图2，请解决下列问题：
（1）试猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）连接，，如图3，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）菱形，理由见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，平行四边形的判定和菱形的判定与性质．
（1）根旋转的性质得，，由于，所以，则可根据菱形的判定方法得到四边形是菱形；
（2）由于四边形是菱形，则，且，再根据旋转的性质易得四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得，且，所以，，所以可判断四边形是平行四边形．
【小问1详解】
解：四边形是菱形．
理由如下：
绕着边的中点旋转得到，
，．
∴四边形是平行四边形，
又，
．
四边形是菱形；
【小问2详解】
证明：四边形是菱形，
，且．
绕着边的中点旋转得到，
，．
四边形平行四边形．
，且．
，，
四边形是平行四边形．
27. 定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．
（1）抛物线的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线”的顶点坐标为 ；
（2）求抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式；
（3）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，．依次连接点，，，．当四边形为正方形时，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．
（1）根据顶点式直接写出顶点坐标；
（2）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；
（3）写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求a．
【小问1详解】
解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为，
故答案为：，
【小问2详解】
解：，
∴顶点为，
∵关于x轴的对称点为，
∴抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式为：；
【小问3详解】
解：当时，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线L的对称轴为直线，
∴点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
解得：（舍）或．