甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学2024-2025学年九年级上学期期中数学检测卷一

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1．（本题3分）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（本题3分）一元二次方程的解是（ ）
A．2B．0C．2或0D．2或
3．（本题3分）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法判断
4．（本题3分）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A．y=x-12-5B．
C．D．
5．（本题3分）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线B．函数的最大值是3
C．抛物线开口向上D．顶点坐标为
6．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．（本题3分）如图，等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．（本题3分）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ）
A．B．C．D．
9．（本题3分）如图，是的弦，于点，若，，则弦的长为（ ）
A．4B．C．D．
10．（本题3分）二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．②③④
11．（本题3分）若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为 ．
12．（本题3分）已知是方程的一个根，则 ．
13．（本题3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
14．（本题3分）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是 ．
15．（本题3分）二次函数，自变量x与函数y的对应值如表

则抛物线的对称轴是
16．（本题3分）如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是 ．
17．（本题3分）在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ．
18．（本题3分）如图所示，在平面直角坐标系中，是一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转后放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转后放大得到等腰直角三角形，且，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
19．（本题6分）解方程：
(1)；
(2)．
20．（本题6分）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式；
21．（本题5分）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册，求这两年藏书的年平均增长率．
22．（本题6分）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集；
（3）若方程无实数根，写出的取值范围．
23．（本题6分）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．

(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？
24．（本题6分）在平面直角坐标系中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出向下平移5个单位所得到的，并写出点的坐标；
(2)画出将绕原点O逆时针方向旋转后的，并写出点的坐标．
25．（本题6分）图，将绕点A逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，求的长．

26．（本题7分）我校地安门校区的“月洞门”很有特色．月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因形如一轮十五满月的圆洞而得名．门体无门禁，经常作隔断，给人们新奇而美的感受．小丽想制作一个月洞门模型，她画了一个平面图，如图所示，净高为5，路面宽为2，求月洞门所在的半径．
27．（本题8分）如图， AB是⊙O的直径．点C在⊙O上．D是 的中点．若，求 的度数．
28．（本题10分）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)求于、两点坐标及三角形的面积．
(3)若点在轴上方的抛物线上，满足，求点的坐标．
评卷人
得分
一、单选题（共30分）
评卷人
得分
二、填空题（共24分）
x
…
1
3
…
y
…
2
4
2
…
评卷人
得分
三、解答题（共66分）
参考答案：
1．B
【分析】本题考查一元二次方程定义，理解题并掌握一元二次方程的定义是解题关键．形如（为常数，且），只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程是一元二次方程，据此逐项分析判断即可．
【详解】解：A.，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
B. ，是一元二次方程，符合题意；
C. ，当时，不是一元二次方程，故不符合题意；
D. ，是二元二次方程，不是一元二次方程，故不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了解一元二次方程．根据方程的形式选择合适的解法是解题的关键．
先移项，再利用因式分解法求解即可．
【详解】∵，
移项得，
分解因式得，
∴，
∴，
∴一元二次方程的解是2或0．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的值，再进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴
方程无实数根．
故选C．
4．D
【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即，
故选D
5．D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解．
【详解】解：，
对称轴为直线，最大值为，顶点坐标为，
∵，
∴开口向下，
故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
6．C
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解定义：轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，根据旋转的性质，得，，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，即可求得．
【详解】解：，，
，
由旋转得，，，
，
，
故选：B．
8．D
【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆中最长的弦为直径，即可求解．
【详解】解：∵的半径是，
∴中最长的弦长直径是．
故选：D
9．D
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，根据垂径定理可得，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据垂径定理求值，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，难度不大．
10．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口方向和，与y轴交点在y轴正半轴得到，根据对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据对称性抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，则当时，，据此可判断②③④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点横坐标在2和3之间，
那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，
∴当时，，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，
∴当时，不一定成立，故④错误，
∴正确的有②③，
故选：C．
11．
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．将方程转化为一般形式后，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴一次项的系数为，
故答案为：．
12．2025
【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入，得到，即可求得的值．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴．
∴，
故答案为：2025．
13．且
【分析】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的一元一次不等式组，求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意：且，
解得：且，
故答案为：且．
14．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的解析式即可得到答案．
【详解】解：，
∴将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线顶点坐标为，
故答案为：．
15．直线
【分析】本题考查利用对称性求抛物线的对称轴，找到表格中函数值相同的两个自变量的值，求出函数的对称轴即可．
【详解】解：由表格可知：和时的函数值相同，
∴对称轴为直线；
故答案为：．
16．/50度
【分析】本题考查旋转的性质，正确得出旋转角为是解题关键．根据旋转的性质旋转角为，结合，，即可解决问题．
【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，
∴旋转角为，
∵，，
∴，即旋转角的度数是，
故答案为：
17．或/7或1
【分析】如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解．
【详解】解：如图，，，
过点作于，交于点，连，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，
，
同理可得，
当圆心在与之间时，与的距离；
当圆心不在与之间时，与的距离．
故答案为7或1．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
18．
【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
，
将绕原点O顺时针旋转后放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转后放大得到等腰直角三角形，且，…，
∴每4次循环一周，，
∵，
∴点与B同在一个象限内，
∴点的坐标为．
故答案为：．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
（1）求出的值，再代入公式求出即可；两边除以2后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）用十字相乘法分解因式，得，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：,
，
，
解得，．
（2）解：因式分解得，
,
解得，．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“”时，方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系找出，．
（1）根据方程的系数结合根的判别式求出即可求解；
（2）利用根与系数的关系找出，，代入来求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：的两个实数根为，
，，
与的函数关系式为：．
21．这两年藏书的年平均增长率为20%
【分析】设这两年藏书的年平均增长率为x，根据2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册列出方程，解之即可．
【详解】解：设这两年藏书的年平均增长率为x．
根据题意，得，
解得，（舍去）
答：这两年藏书的年平均增长率为20%．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握增长率问题的解题思路是解题的关键．
22．（1），；（2）或；（3）
【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；
（3）根据图象可以看出k取值范围．
【详解】解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，
∴，．
（2）观察图象可知：不等式的解集为或．
（3）由图象可知，时，方程无实数根．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．
23．(1)
(2)当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米．
【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可；
（2）利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米，
，
，
，
y关于x的函数表达式为；
（2）解：，
∴当时，y取得最大值，此时，
即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是坐标与图形，画平移图形，画旋转图形，熟练的利用平移与旋转的性质进行作图是解本题的关键．
（1）分别确定A，B，C平移后的对应点，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标；
（2）分别确定A，B，C绕O旋转后的对应点，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图所示，
∴
（2）如图所示：
∴
25．
【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理，由旋转的性质得：，，再根据勾股定理即可求出．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，点和点是对应点，
∴，，
．
26．月洞门所在的半径为．
【分析】本题主要考查垂径定理的应用．设半径为r，根据垂径定理可以列方程求解即可．
【详解】解：设圆的半径为r，
由题意可知，，，
在中，，，
，
解得．
经检验：是方程的解，
答：月洞门所在的半径为．
27．
【分析】本题主要考查圆周角定理及其推论，牢记圆周角定理及其推论是解题的关键．根据D是 的中点可求得的度数，根据是的直径可求得的度数，根据圆内接四边形的对角互补，即可求得答案．
【详解】解：是的中点，
，
，
是的直径，
，
，
四个点都在上，
，
．
28．(1)
(2)，
(3)，或
【分析】（1）设抛物线顶点式解析式，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）令，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；
（3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标．
【详解】（1）∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式，
把点代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为；
令，则，
∴或，
∴；
∴，
∴；
（3）由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
∵点P在x轴上方的抛物线上，
∴，
∴，
∵抛物线的解析式为；
∴，
∴，
∴，或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
D
D
C
B
D
D
C