浙江省杭州市采荷实验学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份浙江省杭州市采荷实验学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了不允许使用计算器计算等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间120分钟．
2．请在答题卡上指定位置填写学校、班级、姓名，正确填涂准考证号．
3，全卷答案必须写在答题卡的相应位置上，做在试题卷上无效．
4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．
5．不允许使用计算器计算．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数：形如的函数，判断作答即可．
【详解】解：由题意知，不是二次函数，故A不符合要求；
不是二次函数，故B不符合要求；
，是二次函数，故C符合要求；
，不是二次函数，故D不符合要求；
故选：C．
2. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r.
解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.
故选D.
“点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系.
3. 一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（ ）
A. 摸出的2个球中有黑球B. 摸出的2个球中有白球
C. 摸出的2个球都是黑球D. 摸出的2个球都是白球
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项分析即可得解，熟练掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解此题的关键．
【详解】解：A、摸出的2个球中有黑球是随机事件，故不符合题意；
B、摸出的2个球中有白球是必然事件，故符合题意；
C、摸出2个球都是黑球是不可能事件，故不符合题意；
D、摸出的2个球都是白球是随机事件，故不符合题意；
故选：B．
4. 将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减即可得解，熟练掌握平移法则是解此题的关键．
【详解】解：抛物线先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为，即，
故选：D．
5. 在2024年巴黎奥运会男子跳远决赛中，中国选手张溟鲲以8.07米的成绩获得亚洲第一，若记张溟鲲起跳后时间为t秒，他所处的高度为h米，则可用函数来描述他起跳后高度的变化，当，，时；所对应的高度记为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得抛物线开口向下，对称轴为直线，结合即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
故抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴，
故选：A．
6. 如图，点A，B，C在上，若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴，
故选：B．
7. 在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象的综合判断，分别判断各个选项中两个函数的、的符号，看是否一致，即可得解，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：A、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，，函数的图象开口向上，对称轴在轴左边，故，，即，故不符合题意；
B、由图可得，函数经过一、二、四象限，故，，函数的图象开口向下，对称轴在轴右边，故，，即，故不符合题意；
C、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，，函数的图象开口向上，对称轴在轴右边，故，，即，故符合题意；
D、由图可得，函数经过一、三、四象限，故，，函数的图象开口向下，对称轴在轴左边，故，，即，故不符合题意；
故选：C．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 经过三个不同的点可以画一个圆
B. 平分弦的直径，平分这条弦所对的弧
C. 每条边都相等的圆内接多边形是正多边形
D. 如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的定义，垂径定理，正多边形与圆，弦与圆周角的关系对各选项判断作答即可．
【详解】解：由题意知，经过不在同一直线上的三个不同的点可以画一个圆，A错误，故不符合要求；
平分弦（不是直径的弦）直径，平分这条弦所对的弧，B错误，故不符合要求；
每条边都相等的圆内接多边形是正多边形，C正确，故符合要求；
同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角相等，D错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的定义，垂径定理，正多边形与圆，弦与圆周角的关系．熟练掌握圆的定义，垂径定理，正多边形与圆，弦与圆周角的关系是解题的关键．
9. 如图，在半圆O中，直径，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将半圆O补充成一个整圆，过点C作的垂线交于点，连接交于点P，连接、，连接，延长交于点E，连接．根据垂径定理可知是的垂直两平分线，从而可得最小值为的长度；根据圆周角定理求得，从而求得，由对顶角的性质可知，再根据三角形内角和定理求得，由三角函数求出即可．
【详解】解：如图所示，将半圆O补充成一个整圆，过点C作的垂线交于点，连接交于点P，连接、，连接，延长交于点E，连接．
∵为直径，，
∴是的垂直两平分线，
∴，
∴，
∴最小值为的长度，
，，
，
∴
∴
∴，
∵为直径，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路线问题，作点C的对称点并将的最小值转化为线段，掌握圆周角定理、垂径定理、三角形内角和定理、特殊角的三角函数是解题的关键．
10. 已知抛物线开口向下，过，两点，且．甲同学认为：若点，在抛物线上，，且，则．乙同学认为：当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A. 甲、乙都正确B. 甲、乙都错误
C. 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数解析式，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由题意得，，，由点Mx1,y1，Nx2,y2在抛物线上，可得，根据，可判断甲的正误；令，整理得，，根据，可判断乙的正误．
【详解】解：∵抛物线开口向下，过，两点，
∴，，
∵点Mx1,y1，Nx2,y2在抛物线上，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，甲正确，故符合要求；
令，
整理得，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，乙正确，故符合要求；
故选：A．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．
根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为______（精确到0.01）
【答案】0.90
【解析】
【分析】本题考查了由频率估计概率，观察大量重复实验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计发芽概率，由此即可得解．
【详解】解：根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为0.90，
故答案为：0.90．
12. 若二次函数的图象经过原点，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意可得，，计算即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数图象经过原点，
∴，，
解得：，
故答案为：．
13. 如图，点A，B，C，D在上，若，，则______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补是解题的关键．
由，可得，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，的直径是10，点C是弦AB延长线上的一点，连结，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，含30°的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，含30°的直角三角形，勾股定理是解题的关键．
如图，作于，连接，则，由，，可得，由勾股定理得，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，连接，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得，，，
∴，
故答案为：．
15. 已知抛物线的顶点坐标为，若关于x的方程在范围内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与一元二方程的综合应用、二次函数的图像与性质等知识，将一元二次方程根的情况转化为抛物线与不等式问题是解题关键．
先把顶点坐标代入中求出函数解析式，再根据关于的一元二次方程在范围内有两个不同的实数根时，判别式大于零，根据方程根的分布情况列出不等式组，解答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
，
，
，，
将，，代入得
，
即，
方程在范围内有两个不同的实数根，
，其对称轴为，
，
由于抛物线开口向下，顶点坐标为，
顶点处的函数值为最小，
要使抛物线在范围内与x轴有两个交点，需要满足：
，
解得：，
故答案为：．
16. 如图，点C在以AB为直径的半圆O上，，点F是的中点，AD平分交于点D，则______度；当时，则的长为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由AB为直径，可得，由F是的中点，可得，由AD平分，可得，可求，根据，计算求解即可；，如图，连接，，则，，由，可得，，则，证明，则，，设，则，由勾股定理得，，可求，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：∵AB为直径，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∵AD平分，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
如图，连接，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
解得，a=2，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等弧所对的圆周角相等，角平分线，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，中位线，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，等弧所对的圆周角相等，角平分线，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，中位线，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 一个不透明的箱子里装有3个只有颜色不同的球，其中1个红球，2个黑球，从箱子里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，求下列事件发生的概率：
（1）事件A：摸出1个红球，1个黑球．
（2）事件B：摸出2个黑球．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列举法求概率．正确的画树状图是解题的关键．
（1）由题意画树状图，然后求概率即可；
（2）由（1）的树状图求概率即可．
【小问1详解】
解：由题意画树状图如下；
∴共有9种等可能的结果，其中摸出1个红球，1个黑球共有4种等可能的结果，
∴摸出1个红球，1个黑球的概率为；
【小问2详解】
解：由（1）可知，摸出2个黑球共4种等可能的结果，
∴摸出2个黑球的概率为．
18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均在网格线的交点上，以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到．
（1）请在网格中画出．
（2）求点A从开始到结束所经过的路径长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换、轨迹，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作出对应点，再连接即可；
（2）点A从开始到结束所经过的路径是以为圆心为半径的圆上弧，利用弧长公式计算即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：点A从开始到结束所经过的路径长为．
19. 如图，AD是的直径，弦于点P，连接．
（1）若，求的度数．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】（1）由AD是的直径，可得，由，可得，然后作答即可；
（2）由题意知，，设半径为，则，由勾股定理得，，即，计算求解，然后作答即可．
【小问1详解】
解：∵AD是的直径，
∴，
∵弦，
∴，
∴，
∴的度数为．
【小问2详解】
解：∵弦，
∴，
设半径为，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴的半径为10．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理是解题的关键．
20. 已知某二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
（1）直接写出m，n的值，并求当x在什么范围时，y随x的增大而增大．
（2）若点在该二次函数图象上，当时，求q的取值范围．
【答案】（1），当时，y随x的增大而增大
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键．
（1）由在二次函数图象上，可求对称轴为直线，由和关于对称轴对称，可求m，n的值，由时，，可知当时，y随x的增大而增大．
（2）由（1）可知，二次函数的顶点坐标为，即，由x=-1时，；时，；可求，然后作答即可．
【小问1详解】
解：∵在二次函数图象上，
∴对称轴为直线，
∴和关于对称轴对称，
∴，，
∵时，，
∴当时，y随x的增大而增大．
【小问2详解】
解：由（1）可知，二次函数的顶点坐标为，
∴，
当x=-1时，；
当时，；
∵，
∴，
∴．
21. 如图，在中，，点E在上，经过A，B，E三点的圆交于点D，且D是的中点．
（1）求证：AB是圆的直径．
（2）连结，若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图1，连接AD，由题意知，，则，由，可得，则，进而结论得证；
（2）如图1，连接，作于，则，由，，可得，则，，，由勾股定理得，，则，证明是等边三角形，则，，根据，计算求解即可．
小问1详解】
证明：如图1，连接AD，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AB是圆的直径．
【小问2详解】
解：如图1，连接，作于，
∵AB是圆直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等弧所对的圆周角相等，90°的圆周角所对的弦为直径，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，扇形的面积，含30°的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握这些知识是解题的关键．
22. 在某社区中心广场，矗立着一个造型独特的人工喷泉．喷泉的喷水枪竖直放置，喷水口距地面2米．喷出的水流轨迹呈抛物线形状，水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米．水流落地点距离喷水枪底部的距离为2米．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请解决以下问题：
（1）求出水柱最高点P到地面的距离．
（2）若在线段上距离喷水枪所在直线1.5米处放置一个精致的艺术雕塑，为避免雕塑被水流淋到，则雕塑的高度应小于多少米？请说明理由．
【答案】（1）米
（2）雕塑的高度应小于米
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，二次函数的性质，正确得出函数解析式是解题关键．
（1）依据题意，可得，，又水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米，则可设，再将，代入解析式求出，后，得出顶点，然后可以判断得解；
（2）依据题意，当时，，进而得解．
【小问1详解】
解：由题意，，．
水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米，
可设．
将，代入上面的解析式可得，
，
．
水流所在抛物线为．
顶点为．
水柱最高点到地面的距离为米．
【小问2详解】
解：雕塑的高度应小于1.25米．理由如下：
当时，．
答：雕塑的高度应小于米．
23. 已知二次函数．
（1）若该函数的图象经过点，．
①求该函数的表达式及顶点坐标．
②当时，该函数的最大值与最小值的差为3，求m的值．
（2）若点，都在该函数图象上，且，求n的取值范围．
【答案】（1）①，顶点坐标为；
（2）当时，；当时，或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）①利用待定系数法得出函数解析式，再化为顶点式即可；②由①可得，函数的对称轴为直线，开口向上，再情况讨论求解即可；
（2）分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：①∵该函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴函数的表达式为，
∵，
∴顶点坐标为；
②由①可得，函数的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，函数有最小值为，当时，，当时，，
∵当时，该函数的最大值与最小值的差为3，
∴当时，函数在上随着的增大而减小，此时最大值为，最小值为，即，解得：或（不符合题意，舍去）；
当时，函数在的最大值为，最小值为，，不符合题意；
当时，函数在的最大值为，最小值为，，不符合题意；
当时，函数在的最大值为，最小值为，即，解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去），
综上所述，的值为；
【小问2详解】
解：∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，
当时，点关于直线对称的点为，
∵点，都在该函数图象上，且，
∴，
解得：，
当时，点关于直线对称的点为，
∵点，都在该函数图象上，且，
∴或，
解得：或；
综上所述，当时，；当时，或．
24. 如图，以AB为直径作的外接圆，的角平分线交于点D，连结BD．
（1）若，求的度数．
（2）若，，求与CD的长．
（3）猜想CD与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）由AB是直径，可得，则，由，可得，计算求解即可；
（2）如图1，连接，作于，则，由，可得，，由勾股定理得，，可求，则，由勾股定理得，，由，可得，由勾股定理得，，可求，由勾股定理得，，根据，计算求解即可；
（3）如图2，连接BD，作于，同理（2），，则，，设，则，由勾股定理得，，，同理（2），，由勾股定理得，，由，可得．
【小问1详解】
解：∵AB是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
【小问2详解】
解：如图1，连接，作于，
∵CD平分，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
解得，，
由勾股定理得，，
∴，
∴的长为3，CD的长为．
【小问3详解】
解：，理由如下；
如图2，连接BD，作于，
同理（2），，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，，
同理（2），，
由勾股定理得，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线等知识，熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线是解题的关键．
试验种子数m（粒）
1000
2000
3000
4000
5000
发芽频数n
890
1840
2730
3600
4500
发芽频率
0.89
0.92
0.91
0.90
0.90
x
0
1
2
3
n
5
y
m
1
0