江苏省海安高级中学2024-2025学年高一上学期期中学业质量监测数学试题

这是一份江苏省海安高级中学2024-2025学年高一上学期期中学业质量监测数学试题，共8页。试卷主要包含了命题“，”的否定为，已知，则“”是“”的条件，已知，则，已知，，，则，定义等内容，欢迎下载使用。
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则（ ）
A. B.1 C. D.
3.已知函数，则（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
4.命题“，”的否定为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
5.已知，则“”是“”的（ ）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.不充分不必要
6.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
7.已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8.定义：表示，中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.甲､乙､丙､丁四位同学均完成了1道选项为A，B，C，D的单选题，他们的对话如下：
甲：我选的A；
乙：我选的B；
丙：我选的C；
丁：我选的不是C.
已知这四位同学选的选项各不相同，且只有一位同学说了谎，则说谎的同学可能是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
10.已知函数，的定义域均为，下列结论正确的是（ ）
A.若，均为增函数，则也为增函数
B.若，均为减函数，则也为减函数
C.若，均存在零点，则也存在零点
D.若，均存在零点，则也存在零点
注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值
11.设，为正数，且且，则（ ）
A.的最小值是2 B.的最大值是
C.的最大值是 D.的最大值是
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数的定义域为__________.
13.已知，，则__________.（用，表示）
14.已知，关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，，，则__________，的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
16.（15分）
已知，命题，，命题，.
（1）若为真命题，求的最小值；
（2）若和恰好一真一假，求的取值范围.
17.（15分）
已知为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是，之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行.
（1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间；
（2）一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值.
18.（17分）
已知函数，.
（1）是否存在，使得？请说明理由；
（2）设函数，判断并证明在区间上的单调性；
（3）设函数证明：，，且，.
注：函数在上单调递增.
19.（17分）
我们知道，任何一个正实数都可以表示成.当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如.
（1）求，，并写出的表达式（不必写出过程）；
（2）若，且取，求以及；
（3）已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论.
高一数学期中参考答案与评分建议
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1ABDA BCBB
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.AB 10.AC 11.ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.3，
四､解答题：本题共5小题，共77分.
15.（13分）
解：集合.
（1）当时，，
则或，
所以.
（2）因为，所以.
即，所以
解得，所以的取值范围为
16.解：（1）因为，有，
所以（当且仅当，即时，取“=”），
因为为真命题，所以，即，故的最小值为.
（2）若为真命题，则，使得，
又函数的值域为，所以.
因为和恰好一真一假，
所以当真假时，；当假真时，.
综上，或.
17.解：（1）在中，，所以.
所以此人从海岛到达地的时间为.
又从地到达地的时间为，
故此人从海岛到达地的时间为.
答：此人从海岛到达地需.
（2）依题意，.
所以.
因为（当且仅当时，取“”），所以.
答：快递员速度的最大值为.
注：利用方程有解，判别式法亦参照给分.
18.证明：（1）若，则，
解得.
所以存在，使得.
（2）函数在上单调递减.
证明：设对任意的，且，
则
.
依题意，，
故，
所以，即.
所以函数在上单调递减.
（3）依题意，函数
，不妨设，则“”
等价于“”
等价于“，且”
等价于“在上单调递减，在上单调递增”.
下证之：
令
由（2）知，在上单调递减，且.
又在上单调递减，，故在上单调递减.
令
易知在上单调递增，且；
可证在上单调递增，.
所以在上单调递增.
综上，原命题得证，
19.解：（1）依题意，.
（2）由知，.
两边取以10为底的对数，得.
取，得.
所以，所以.
于是，所以.
（3）猜想：.
证明：设，则.
因为对于，显然不存在整数，使，所以.
又，其中，
所以.
所以.